第二章流体运动学基本概念

第二章流体运动学基本概念1第1页，共51页，2023年，2月20日，星期三

2.1.1流体运动的特点流体运动与固体运动相比复杂得多，在于:（1）流体由无穷多个质点构成，很难采用质点曲线运动理论来研究；（2）在运动中流体要变形，考虑流体团块运动时，除了平动和转动外，还必须考虑流体变形的因素。因此，流体运动学有鲜明的特点。2.1概述第2页，共51页，2023年，2月20日，星期三

在数学上，流体的运动参数就被表示为：空间和时间的函数。

vx=vx(x,y,z,t)vy=vy(x,y,z,t)

（2—1）

vz=vz(x,y,z,t)

场：由于流体团所占据的空间每一点都是研究对象，因此就将其看成一个“场”。

流场：充满流体的空间被称为“流场”。相应地有“速度场”、“加速度场”、“应力场”、“密度场”等。

第3页，共51页，2023年，2月20日，星期三

2.1.2流动的分类（1）流动按其时间变化特性可分为稳态流动和非稳态流动

稳态流动：流体运动参数与时间无关，也叫定常流动、恒定流动。

vx=vx(x,y,z)vy=vy(x,y,z)vz=vz(x,y,z)

非稳态流动：流体运动参数与时间有关，也叫非定常流动、非恒定流。如式（2-1）所示。（例1.2.3.）

说明一点：流体流动稳态或非稳态流动与所选定的参考系有关。（举例说明：等加速直线运动和等角速旋转的容器中的液体）第4页，共51页，2023年，2月20日，星期三（2）流动按其空间变化特性可分一、二、三维流动

一维流动：通常流体速度只沿一个空间坐标变化的流动称为一维流动。

二维流动：通常流体速度只沿二个空间坐标变化的流动称为二维流动。录像1录像2

三维流动：通常流体速度只沿三个空间坐标变化的流动称为三维流动。

第5页，共51页，2023年，2月20日，星期三ZyxVx=0Vy=0Vz=Vz(x,y)Vz(a)二维流动rzθVr=0Vθ=0Vz=Vz(r)(b)一维流动

思考题：如果对于图（a）中有Vx=0，Vy=0，Vz=Vz(x,y,z)则应该属于几维流动？其流动有何特点？

说明一点：流动的维数与流体速度的分量数不是一回事。如图（a）、(b)所示（详细说明）第6页，共51页，2023年，2月20日，星期三（3）按流动状态可分为层流和湍流（1.2.3.）1883年，著名的雷诺实验揭示出粘性流动有两种性质不同的型态，层流和湍流。流态的判断：判断指标是雷诺准数Re=ρud/μ对于管内流动，Re<2300为层流，Re>4000为湍流。第7页，共51页，2023年，2月20日，星期三2.2描述流体运动的两种方法

2.2.1拉格朗日法（又称质点法）通过研究流场中单个质点的运动规律，进而研究流体的整体运动规律。具体地说：是沿流体质点运动的轨迹进行跟踪研究。

基本思想：将流体质点表示为空间坐标、时间的函数。在描述流体时，跟踪流体质点，指出各流体质点在不同时刻的位置和有关的物理参数（比如速度，压强、密度、温度）。

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要跟踪流体，首先要区别流体质点，最简单的方法是：以某一初始时刻t0质点的位置作为质点的标志。流体质点在不同时刻的位置用直角坐标系可表示为：r0r(a,b,c,t0)(x,y,z,t)x=x(a,b,c,t)y=y(a,b,c,t)z=z(a,b,c,t)2—3

式中：a,b,c被称为拉格朗日变数。不同的一组（a,b,c）表示不同的流体质点。2—4r=xi+yj+zk=r(a,b,c,t)

→→→→→或用矢量表示为第9页，共51页，2023年，2月20日，星期三

2-5

其加速度可表示为：

2-6

式中：

vx=vx(a,b,c,t)vy=vy(a,b,c,t)vz=vz(a,b,c,t)ax=ax(a,b,c,t)ay=ay(a,b,c,t)az=az(a,b,c,t)

对于任一流体质点，其速度可表示为：

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同样流体密度、压力和温度可表示为：ρ=ρ（a,b,c,t）p=p（a,b,c,t）T=T（a,b,c,t）对于流体任一物理参数B均可类似地表示为B=B(a,b,c,t).对于任一流体质点的任一物理参数B的变化率都可以表示为：

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用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到的，往往不能用统一的函数形式描述所有质点的物理参数的变化。所以这种方法只在少数情况下使用，在本书中主要使用欧拉法。第12页，共51页，2023年，2月20日，星期三2.2.2欧拉法（也叫场法）

基本思想：在确定的空间点上来考察流体的流动，将流体的运动和物理参量直接表示为空间坐标和时间的函数，而不是沿运动的轨迹去追踪流体质点。例：在直角坐标系的任意点（x,y,z）来考察流体流动，该点处流体的速度、密度和压力表示为：

v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+vy(x,y,z,t)j+vz(x,y,z,t)k

ρ=ρ(x,y,z,t)

p=p(x,y,z,t)

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按欧拉法，流动问题有关的任意物理量φ（可以是矢量，也可以是标量）均可表示为：

φ=φ（x,y,z,t）

若流场中任何一物理量φ都不随时间变化，这个流场就称之为稳态流场。相应的流动称为稳态流动或定常流动，或者说对于稳态流动有：看录像第14页，共51页，2023年，2月20日，星期三

2.2.3质点导数

定义：流体质点的物理量对于时间的变化率。拉格朗日法中，由于直接给出了质点的物理量的表达式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。

如速度的质点导数（即加速度）为：

（2-15）第15页，共51页，2023年，2月20日，星期三

对于欧拉法描述的流场，质点导数以速度为例分析：

假设在直角坐标系中存在速度场v(x,y,z,t)。设在时刻t和空间点p(x,y,z)处，流体质点的速度为：

vp=v(x,y,z,t)

zxypṕvΔt

经过时间间隔Δt后，该流体质点运动到p′(x+vxΔt,y+vyΔt,z+vzΔt)点，质点移动的距离为vΔt´。在p′点处流体质点的速度为：第16页，共51页，2023年，2月20日，星期三

vp′=v(x+vxΔt,y+vyΔt,z+vzΔt,t+Δt)显然，经过时间间隔Δt后，流体质点的速度增量为：Δv=vp′-vp=v(x+vxΔt,y+vyΔt,z+vzΔt,t+Δt)-v(x,y,z,t)对上式右边第一项作泰勒展开并略去二阶以上高阶无穷小量得：又由矢量运算公式：其中矢量算子叫哈密顿算子第17页，共51页，2023年，2月20日，星期三

于是质点的速度增量可以表示为：

（2-16）

则速度的质点导数——加速度（2-17）

由上式可见，在欧拉法中，流体速度的质点导数或加速度包括两部分：第18页，共51页，2023年，2月20日，星期三

一部分是随空间的变化率显示流场在空间中的不均匀性。

另一部分是随时间的变化率әv/әt

表示流场的非稳态部分。

通常用符号Dv/Dt来表示欧拉法中的质点导数，则（2-17）式可以写成：

类似地，可用同样方法得到其他物理量的质点导数，如密度和压力的质点导数分别为：第19页，共51页，2023年，2月20日，星期三

推而广之，欧拉法中任意物理量Ф的质点导数可以写成：第20页，共51页，2023年，2月20日，星期三称为质点导数算子。以D/Dt表示的导数通常称为随体导数。为使用方便，给出柱坐标和球坐标系的质点导数算子的表达式：柱坐标：r—径向坐标，θ—周向坐标，z—轴向坐标

球坐标：r—径向坐标，θ—周向坐标，Ф—轴向坐标第21页，共51页，2023年，2月20日，星期三例2-1.已知流场的速度为v=xti+ytj+ztk，温度为T=At2/(x2+y2+z2)。求：1）流体质点温度的变化率。2）速度变化率即加速度。第22页，共51页，2023年，2月20日，星期三解：1）第23页，共51页，2023年，2月20日，星期三第24页，共51页，2023年，2月20日，星期三思考题：1.流体流动与固体运动有何区别？2.流体流动如何分类？3.拉格朗日法和欧拉法的基本思想有何不同？4.两种方法质点导数的求法是否相同？为什么？5.流体的速度导数包括那两部分？6.试写出哈密顿算子、质点导数算子的表达式。第25页，共51页，2023年，2月20日，星期三2.2.4两种方法的关系

拉格朗日法和欧拉法是描述流体运动的两种不同方法，对同一流场，两种方法都可以使用。因此两种方法在数学上是可以互相推导的。在拉格朗日法中，流体的运动和物理参数被表示成拉格朗日变数(a,b,c,t)的函数；在欧拉法中，流体的运动和物理参数则被表示成欧拉变数(x,y,z,t)的函数。因此，两种方法之间的关系就是两种变数之间的数学变换。第26页，共51页，2023年，2月20日，星期三(1)拉格朗日表达式→欧拉表达式可解得：则代入Ф=Ф(a,b,c,t)后，就得到该物理参数的欧拉法表达式Ф=Ф(x,y,z,t)。若已知拉格朗日法变数(a,b,c,t)表示的物理参数Ф=Ф(a,b,c,t)。由式第27页，共51页，2023年，2月20日，星期三(2)欧拉法表达式→拉格朗日表达式

对上面微分方程进行求解，其结果为：

其中c1，c2，c3，是积分常数，由t=t0时的初始条件(a,b,c)决定。于是有

若已知用欧拉法变数(x,y,z,t)表示的物理量Ф=Ф(x,y,z,t)，则首先由欧拉法的速度表达式求出欧拉变数第28页，共51页，2023年，2月20日，星期三并代入欧拉方法表达式Ф=Ф(x,y,z,t)后就得到该物理量的拉格朗日法表达式Ф=Ф(a,b,c,t)。第29页，共51页，2023年，2月20日，星期三2.3.1迹线

定义：流体质点的运动轨迹曲线称为迹线。迹线是某一流体质点在一段时间内所经过的路径。(看录像)

拉格朗日法表达式就是迹线的参数方程，即：2.3迹线和流线第30页，共51页，2023年，2月20日，星期三

从这个方程组中消去参数t并给定(a,b,c)的质点就可以得到以x,y,z表示的流体质点(a,b,c)的轨迹。在欧拉方法中，将速度定义v=dr/dt中的dr理解为质点在时间间隔dt内所移动的距离。因此，轨迹的微分方程即解这个方程并消去参数t后可得到迹线方程。第31页，共51页，2023年，2月20日，星期三例2-2.已知用欧拉法表示的速度场

v=Axi-Ayj其中A为常数。求：流体质点的轨迹方程。第32页，共51页，2023年，2月20日，星期三解：方法一

用速度场的迹线的微分方程为分离变量得：分别积分上式得：其中，c1，c2是积分常数。消去参数t得迹线方程:该流场中流体质点的迹线为一双曲线。

（b）

(a)第33页，共51页，2023年，2月20日，星期三

方法二拉格朗日法由(b)式得：

对于t=t0时位于x=x0=a,y=y0=b的流体质点，由上式可得拉格朗日变数为：

于是可得积分常数

（c）第34页，共51页，2023年，2月20日，星期三其结果与欧拉法结果相同。

说明一点：拉格朗日法的结果也可写成

再代入(c)式的该质点的轨迹参数方程第35页，共51页，2023年，2月20日，星期三

2.3.2流线(1)流线的定义与性质

定义：流线是任一时刻流场中存在的这样一条曲线，该曲线上任一点的切线方向与流体在该点的速度方向一致。（看录像）

注意：流线与迹线是两个不同的概念。流线是同一时刻不同质点构成的一条流体线(可用照相机实现)；而迹线是同一质点在不同时刻经过的空间点所构成的轨迹线(可用录像机实现)。（看录像）第36页，共51页，2023年，2月20日，星期三

流线的性质：

1）除了在速度为零（质点运动方向不确定或任意）和无穷大的那些点（该点流体运动是不连续）以外，经过空间一点只有一条流线，即流线不能相交，因为在空间每一点只能有一个速度方向；2）流场中每一点都有流线通过，所有的流线形成流线谱；3）稳态流动时流线的形状和位置不随时间变化，并与迹线重合。非稳态流动时流线的形状和位置是随时间变化的。第37页，共51页，2023年，2月20日，星期三（2）流线方程流线上矢量增量与质点速度流线zxryr′vdr0设r是流线上某点的位置矢量，v是流体在该点的速度矢量。根据流线的定义，由于速度与流线相切，所以流线微元段对应的矢径增量必然与该点的速度平行，由于两个平行矢量的乘积为零，所以有即第38页，共51页，2023年，2月20日，星期三

上式即为流线方程的矢量表达式。在直角坐标系中表示为：（解释）

说明：由于流线是对同一时刻而言的，所以在上面方程积分时，变量t被当作常数处理。在非稳态流动下，流体速度是空间坐标和时间的函数，在积分结果中则包含t，因此不同时刻有不同的流线。第39页，共51页，2023年，2月20日，星期三例2-3.已知直角坐标系中的速度场

vx=x+t，vy=y+t试求：①迹线方程；②流线方程；③以拉格朗日变数表示的流体速度。第40页，共51页，2023年，2月20日，星期三

解：①将vx=x+t，vy=y+t代入迹线微分方程得：

解这个一阶常系数微分方程得：

其中a，b为积分常数。

②将vx=x+t，vy=y+t代入流线微分方程得：第41页，共51页，2023年，2月20日，星期三t被看成常数，则积分上式得：即：

由这个流线方程可见，流线是随时间变化的，不同时刻有不同的流线。③将迹线方程代入欧拉速度表达式或由迹线方程求时间偏导数可得拉格朗日法表示的速度为：第42页，共51页，2023年，2月20日，星期三总结：1.拉格朗日法和欧拉法是描述流体运动的两种不同方法，对同一流场，两种方法都可以使用。因此两种方法在数学上是可以互换的。2.拉格朗日法表达式就是迹线的参数方程为：

从这个方程组中消去参数t并给定(a,b,c)的质点就可以得到以x,y,z表示的流体质点(a,b,c)的轨迹。第43页，共51页，2023年，2月20日，星期三4.流线微分方程在直角坐标系中表示为：3.在欧拉方法中解下面方程并消去参数t后可得到迹线方程。第44页，共51页，2023年，2月20日，星期三2.3.3流管

定义：在流场中，作一条不与流线重合的任意封闭曲线，则通过此曲线的所有流线将构成一个管状曲面，这个管状曲面称为流管。几点说明：（1）根据流线不相交的性质，流管表面不可能有流体穿过；（2）稳态流动时，流管的形状和位置都不随时间变化；（3）非稳态流动时，流管的形状和位置一般都是随时间而变化的。第45页，共51页，2023年，2月20日，星期三n2v2流线流线v1n1dAθdAA1A2如图所示，流管表面与两个流管截面A1，A2构成一个封闭