材料力学第九章 压杆稳定

材料力学第九章压杆稳定第1页，共51页，2023年，2月20日，星期一

第九章压杆稳定（BucklingofColumns）

§9-1

压杆稳定的概念

(Thebasicconceptsofcolumns)§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力

(Euler’sFormulaforotherendconditions)§9-2

两端铰支细长压杆的临界压力(TheCriticalLoadforastraight,uniform,axiallyloaded,pin-endedcolumns)第2页，共51页，2023年，2月20日，星期一§9-4

欧拉公式的应用范围经验公式(ApplicablerangeforEuler’sformula

theexperimentalformula)§9-5

压杆的稳定校核(Checkthestabilityofcolumns)§9-6

提高压杆稳定性的措施(Themeasurestoenhancethecolumnsstability)第3页，共51页，2023年，2月20日，星期一

第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为

例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为20mm

1mm.钢的许用应力为[]=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为[F]=A[]=3.92kN§9–1

压杆稳定的概念

(Thebasicconceptsofcolumns)

实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发明显的弯曲变形,丧失了承载能力.一、引言(Introduction)第4页，共51页，2023年，2月20日，星期一

工程中有些构件具有足够的强度、刚度,却不一定能安全可靠地工作.构件的承载能力①强度②刚度③稳定性第5页，共51页，2023年，2月20日，星期一二、工程实例（Exampleproblem）第6页，共51页，2023年，2月20日，星期一第7页，共51页，2023年，2月20日，星期一第8页，共51页，2023年，2月20日，星期一案例120世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（TheodoreCooper）在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(QuebecBridge)1907年8月29日，发生稳定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一.三、失稳破坏案例(Buckingexamples)第9页，共51页，2023年，2月20日，星期一案例21995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人.第10页，共51页，2023年，2月20日，星期一案例32000年10月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人.研究压杆稳定性问题尤为重要第11页，共51页，2023年，2月20日，星期一1.平衡的稳定性（Stabilityofequilibrium

）

四、压杆稳定的基本概念(Thebasicconceptsofcolumns)随遇平衡第12页，共51页，2023年，2月20日，星期一2.弹性压杆的稳定性(StabilityofEquilibriumappliestoelasticcompressivemembers)—稳定平衡状态

—临界平衡状态

—不稳定平衡状态

关键确定压杆的临界力

Fcr稳定平衡不稳定平衡临界状态临界压力:Fcr过度对应的压力第13页，共51页，2023年，2月20日，星期一五、稳定问题与强度问题的区别(Distinguishbetweenstableproblemandstrengthproblem)

平衡状态应力平衡方程极限承载能力直线平衡状态不变平衡形式发生变化达到限值小于限值s<ss变形前的形状、尺寸变形后的形状、尺寸实验确定理论分析计算强度问题稳定问题压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？压杆第14页，共51页，2023年，2月20日，星期一§9-2

两端绞支细长压杆的临界压力(TheCriticalLoadforastraight,uniform,axiallyloaded,pin-endedcolumns)mmFmxmwBxylM(x)=-FwFxyB第15页，共51页，2023年，2月20日，星期一该截面的弯矩杆的挠曲线近似微分方程压杆任一x截面沿y

方向的位移（a)令

(b)式的通解为（A、B为积分常数）(b)得

mmxyBFM(x)=-Fw第16页，共51页，2023年，2月20日，星期一边界条件

由公式(c)讨论：

若

mxmwBxylF则必须第17页，共51页，2023年，2月20日，星期一

这就是两端铰支等截面细长受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）.令n=1,得当时，挠曲线方程为挠曲线为半波正弦曲线.mxmwBxylF第18页，共51页，2023年，2月20日，星期一§9-3

其它支座条件下细长压杆的临界压力(Euler’sFormulaforotherendconditions)1.细长压杆的形式（Differentendconditionsofastraightcolumns)

两端铰支一端自由一端固定一端固定一端铰支两端固定第19页，共51页，2023年，2月20日，星期一2.其它支座条件下的欧拉公式(Euler’sFormulaforOtherEndConditions)lFcr2lFcrl0.3l0.7lFcrl—长度因数—相当长度欧拉公式lFcrl/4l/4l/2l第20页，共51页，2023年，2月20日，星期一两端铰支一端固定，另一端铰支两端固定一端固定，另一端自由表9-1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式

支承情况临界力的欧拉公式长度因数

=1=0.7=0.5=2欧拉公式的统一形式(GeneralEulerBucklingLoadFormula)（

为压杆的长度因数）第21页，共51页，2023年，2月20日，星期一5.讨论（Discussion)

为长度因数

l

为相当长度（1）相当长度l

的物理意义

压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度l.

l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度.第22页，共51页，2023年，2月20日，星期一zyx取Iy，Iz中小的一个计算临界力.

若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力.I为其相应中性轴的惯性矩.

即分别用Iy，Iz

计算出两个临界压力.然后取小的一个作为压杆的临界压力.（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩I

若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则I应取最小的形心主惯性矩.第23页，共51页，2023年，2月20日，星期一例题1已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状为工字钢形，惯性矩Iz=6.5×10

4

mm4,Iy=3.8×10

4

mm4，弹性模量E=2.1×10

5MPa.试计算临界力Fcr.x8801000yzyxz880第24页，共51页，2023年，2月20日，星期一FFlxz880（1）杆件在两个方向的约束情况不同；x8801000yzy（2）计算出两个临界压力.最后取小的一个作为压杆的临界压力.分析思路：第25页，共51页，2023年，2月20日，星期一解：x8801000yzy所以连杆的临界压力为134.6kN.xOy面：约束情况为两端铰支m=1，I=Iz，l=1mxOz面：约束情况为两端固定m=0.5，I=Iy，l=0.88mFFlxz880第26页，共51页，2023年，2月20日，星期一

压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平衡时，横截面上的压应力可按

=F/A

计算.

§9-4

欧拉公式的应用范围经验公式

(ApplicablerangeforEuler’sformula

theexperimentalformula)一、临界应力

(Criticalstress)欧拉公式临界应力

(Euler’scriticalstress)

按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为第27页，共51页，2023年，2月20日，星期一i

为压杆横截面对中性轴的惯性半径.

称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响.

越大，相应的

cr

越小，压杆越容易失稳.令令则则

若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力cr。第28页，共51页，2023年，2月20日，星期一二、欧拉公式的应用范围

(ApplicablerangeforEuler’sformula)

只有在cr≤

p的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界压力Fcr（临界应力cr）.或令第29页，共51页，2023年，2月20日，星期一

即l

≥1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围.

当＜1但大于某一数值2的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式.1的大小取决于压杆材料的力学性能.例如，对于Q235钢，可取E=206GPa，p=200MPa，得第30页，共51页，2023年，2月20日，星期一三.常用的经验公式

(Theexperimentalformula)式中：a

和

b是与材料有关的常数，可查表得出.

2是对应直线公式的最低线.直线公式

的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.

或令第31页，共51页，2023年，2月20日，星期一四、压杆的分类及临界应力总图(ClassificationofColumnsandtheDiagramofcriticalstresscrversusslendernessratio)1.压杆的分类（ClassificationofColumns）（1）大柔度杆（Longcolumns）（2）中柔度杆（Intermediatecolumns）（3）小柔度杆（Shortcolumns）第32页，共51页，2023年，2月20日，星期一2.临界应力总图l1l2第33页，共51页，2023年，2月20日，星期一例题2图示各杆均为圆形截面细长压杆.已知各杆的材料及直径相等.问哪个杆先失稳?dF1.3a

BF1.6aCaFA第34页，共51页，2023年，2月20日，星期一解：A杆先失稳.杆A杆B杆CdF1.3a

BF1.6aCaFA第35页，共51页，2023年，2月20日，星期一例题3压杆截面如图所示.两端为柱形铰链约束，若绕y轴失稳可视为两端固定，若绕z轴失稳可视为两端铰支.已知，杆长l=1m，材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa.求压杆的临界应力.30mm20mmyz解：第36页，共51页，2023年，2月20日，星期一30mm20mmyz

因为z

>y

，所以压杆绕

z

轴先失稳，且z

=115>1，用欧拉公式计算临界力.第37页，共51页，2023年，2月20日，星期一例题3外径D=50mm，内径d=40mm的钢管，两端铰支，材料为Q235钢，承受轴向压力F.试求（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；（2）当压杆长度为上述最小长度的3/4时，压杆的临界应力.

已知：E=200GPa，p=200MPa，s=240MPa，用直线公式时，a=304MPa，b=1.12MPa.第38页，共51页，2023年，2月20日，星期一解：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度压杆

=1第39页，共51页，2023年，2月20日，星期一（2）当l=3/4lmin时，Fcr=?用直线公式计算第40页，共51页，2023年，2月20日，星期一1.稳定性条件

(Thestabilitycondition)

2.计算步骤

(Calculationprocedure)（1）计算最大的柔度系数max；

（2）根据max选择公式计算临界应力；（3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷.

§9-5

压杆的稳定校核

(Checkthestabilityofcolumns)第41页，共51页，2023年，2月20日，星期一

例题4活塞杆由45号钢制成，s=350MPa，p=280MPaE=210GPa.长度l=703mm，直径d=45mm.最大压力

Fmax=41.6kN.规定稳定安全系数为nst=8-10.试校核其稳定性.活塞杆两端简化成铰支解：=1截面为圆形不能用欧拉公式计算临界压力.第42页，共51页，2023年，2月20日，星期一如用直线公式，需查表得：a=461MPab=2.568MPa可由直线公式计算临界应力.2<<1临界压力是活塞的工作安全因数所以满足稳定性要求.第43页，共51页，2023年，2月20日，星期一例题5油缸活塞直经D=65mm，油压p=1.2MPa.活塞杆长度l=1250