机械绘图平面的投影

机械绘图平面的投影第1页，共61页，2023年，2月20日，星期一2、平面的迹线表示法VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ迹线——平面与投影面的交线。用迹线表示的平面称为迹线平面{PH—平面P的水平面迹线PV—平面P的正面迹线Q为侧垂面一般位置平面第2页，共61页，2023年，2月20日，星期一xzypxpzpYHVWPVPHPWPPVPHxpxPYHpYwzPWOpzYHYW第3页，共61页，2023年，2月20日，星期一平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把实形现★

平面垂直投影面-----投影积聚成直线★平面倾斜投影面-----投影类似原平面实形性类似性积聚性⒈平面对一个投影面的投影特性二、平面的投影特性第4页，共61页，2023年，2月20日，星期一平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面⒉平面在三投影面体系中的投影特性第5页，共61页，2023年，2月20日，星期一OXZYVWHPPH（1）铅垂面投影特性：1)

abc积聚为一条线

2)

abc、abc为ABC的类似形

3)

abc与OX、OY的夹角反映、角的真实大小

ABCacbababbaccc3.投影面垂直面第6页，共61页，2023年，2月20日，星期一OXZY铅垂面的迹线表示法PPH用迹线表示的投影面垂直面的投影PHPWPVOZXYHYWPHOZXYHYW第7页，共61页，2023年，2月20日，星期一OXZYQQV（2）正垂面AcCabBb"a'b'a"bac"c'c投影特性：1)

abc积聚为一条线

2)

abc、

abc为ABC的类似形

3)

abc与OX、OZ的夹角反映α、角的真实大小

第8页，共61页，2023年，2月20日，星期一OXZY正垂面的迹线表示法

QQVαγαγQVOZXYHYWPVPWPHOZXYHYW第9页，共61页，2023年，2月20日，星期一OXZYSWS（3）侧垂面Ca"b"ABc"b"βa'b'a"bac"c'c投影特性1)abc积聚为一条线2)abc、abc为

ABC的类似形3)abc与OZ、OY的夹角反映α、β角的真实大小第10页，共61页，2023年，2月20日，星期一OXZY侧垂面的迹线表示法VWSwSβαSwαβOZXYHYWPHPVPWOZXYHYW第11页，共61页，2023年，2月20日，星期一abcacbcba投影面垂直面—总结类似形类似形积聚性铅垂面投影特性：1）在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面的真实倾角。2）另外两个投影面上的投影为类似形。为什么？γβ是什么位置的平面？第12页，共61页，2023年，2月20日，星期一OXZY4.投影面平行面：（1）水平面CABa"b"c'baca'b'c"cab'b"baa"cc"投影特性：1)abc、abc积聚为一条线，具有积聚性2)水平投影

abc反映

ABC实形

第13页，共61页，2023年，2月20日，星期一OXZY（2）正平面投影特性：1)abc、abc积聚为一条线，具有积聚性2)正面投影

abc反映

ABC实形

c"a"b"b'a'c'bcab'a'c'a"b"c"bcaCBA第14页，共61页，2023年，2月20日，星期一OXZY（3）侧平面a'b'b"ba"c'c"ca投影特性：1)abc、abc积聚为一条线，具有积聚性2)侧面投影

abc反映

ABC实形b"b'baca'c'c"CABa"第15页，共61页，2023年，2月20日，星期一用迹线表示的

投影面平行面的投影水平面侧平面正平面PVPWOZXYHYWPHPVOZXYHYWPHPWOZXYHYW第16页，共61页，2023年，2月20日，星期一abcabcabc积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。投影面平行面—总结第17页，共61页，2023年，2月20日，星期一OXZY5.一般位置平面a"b"c"ca'b'baa"a'b'b"c'c"bacABC投影特性：(1)

abc、abc、abc均为ABC的类似形(2)不反映、、

的真实角度第18页，共61页，2023年，2月20日，星期一a

b

c

a

c

b

a

b

c

一般位置平面三个投影都类似。投影特性：第19页，共61页，2023年，2月20日，星期一acbca●a

b

c

b

例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。思考：此题有几个解？45°第20页，共61页，2023年，2月20日，星期一OXZYPwPVPHVHWAB●在一般位置平面上，可以作出无数条与三个投影面互相平行的直线思考：在空间任意平面上，是否可以作出无数条与三个投影面互相平行的直线？讨论：过一般位置平面内的一点能否作投影面平行线？第21页，共61页，2023年，2月20日，星期一VHVHabbaSbaabAB结论：过一般位置直线总可作投影面的垂直面。过一般位置直线AB作铅垂面PH过一般位置直线AB作正垂面SVPPHSVAB讨论：过一般位置直线能否作投影面的垂直面？第22页，共61页，2023年，2月20日，星期一作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。

(迹线表示法)b"a"SVQWPHOZXYHYWa′b′ab第23页，共61页，2023年，2月20日，星期一作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。(几何元素表示法)m'n(n')(m)OXOX铅垂面正垂面e′f′fee′f′fe第24页，共61页，2023年，2月20日，星期一讨论并作图：过正垂线可作哪些平面？

(迹线表示法)PVSVQVRV（a）给题（c）作侧平面（b）作水平面（d）作正垂面（有无穷多个）OXOXOXOXmnm′(n′)mnm′(n′)mnm′(n′)mnm′(n′)第25页，共61页，2023年，2月20日，星期一PHSHgg（a）给题（c）作正垂面（b）作正平面（d）作一般位置平面（有无穷多个）讨论并作图

过正平线可作哪些平面？(迹线表示法)OXOXOXOXf′efe′f′efe′f′efe′f′efe′第26页，共61页，2023年，2月20日，星期一三、平面上的直线和点位于平面上的直线应满足的条件：⒈

平面上取任意直线●●M

N

A

B

●M

若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。第27页，共61页，2023年，2月20日，星期一abccaabcbcamnnm例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一有无数解。dd有多少解？b第28页，共61页，2023年，2月20日，星期一例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。nmnm10cabcab唯一解！有多少解？第29页，共61页，2023年，2月20日，星期一⒉平面上取点先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①accakb●面上取点的方法：②●kabcabcdd利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解k●k●首先面上取线第30页，共61页，2023年，2月20日，星期一ckkc例2：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一解法二bbdaadbcdaadbc第31页，共61页，2023年，2月20日，星期一ded

e

m

●m

●例3：在△ABC内取一点M，并使其到H面V面的距离均为10mm。b

c

X

b

c

a

a

O

第32页，共61页，2023年，2月20日，星期一PPHCDaSAE二、平面的最大斜度线（对某一投影面而言）平面内垂直于该平面的投影面平行线（或平面的迹线）的直线。

平面的最大斜度线是平面上对某个投影面倾角最大的直线。

它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。H第33页，共61页，2023年，2月20日，星期一bb

平面对H面的最大斜度线——平面的最大坡度线。最大斜度线的几何意义用来测定平面对投影面的角度。例7：试作ACＤ平面上的最大坡度线ＡB。d

a

dac

cOX平面的最大坡度线第34页，共61页，2023年，2月20日，星期一练习：求作ABC平面上对水平面的最大斜度线BE。bd′de′eOXcaa′b′c′第35页，共61页，2023年，2月20日，星期一例：在上题中，求ABC平面与水平投影面的夹角。be

BEbbd′de′eOXcaa′b′c′第36页，共61页，2023年，2月20日，星期一aa例：已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。OXe′f′ef第37页，共61页，2023年，2月20日，星期一3.平面上的投影面平行线一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线，不存在投影面垂直线。特殊位置平面上存在哪些种类直线？定义：在平面上且平行于某一投影面的直线第38页，共61页，2023年，2月20日，星期一§圆的投影圆平面倾斜于投影面时，在该平面上的投影为一椭圆；当圆平行于投影面时，在该投影面上的投影反映圆的真形；当圆垂直于投影面时，在该投影面上的投影积聚为一直线。第39页，共61页，2023年，2月20日，星期一§2-9直线与平面及两平面的相对位置

相对位置包括平行、相交和垂直。一、平行问题

直线与平面平行

平面与平面平行⒈

直线与平面平行

若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。第40页，共61页，2023年，2月20日，星期一n●●acbmabcmn例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？dd第41页，共61页，2023年，2月20日，星期一正平线

例2：过M点作直线MN平行于V面和平面

ABC。唯一解c

●

b

a

m

a

b

c

m

n

ndd●

第42页，共61页，2023年，2月20日，星期一⒉

两平面平行①

若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②

若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。c

f

b

d

e

a

a

b

c

d

e

f

f

h

a

b

c

d

e

f

h

a

b

c

d

e

第43页，共61页，2023年，2月20日，星期一a

c

e

b

b

a

d

d

fc

f

e

kh

kh

O

X

m

m由于ek不平行于ac,故两平面不平行。例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行，

已知AB∥CD∥EF∥MH

第44页，共61页，2023年，2月20日，星期一

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。二、相交问题

直线与平面相交平面与平面相交⒈

直线与平面相交要讨论的问题：●

求直线与平面的交点。●

判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。●●第45页，共61页，2023年，2月20日，星期一bbaaccmmnn直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。VHPHPABCacbkNKMkk第46页，共61页，2023年，2月20日，星期一bbaaccmmnn直线与特殊位置平面相交特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。VHPHPABCacbkNKMkk第47页，共61页，2023年，2月20日，星期一abcmncnbam⑴平面为特殊位置例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。还可通过重影点判别可见性。k●1(2)作图k●●2●1●用线上取点法第48页，共61页，2023年，2月20日，星期一1(2)km(n)b

●m

n

c

b

a

a

c

⑵

直线为特殊位置

空间及投影分析

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①

求交点②

判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。k

●

2●1●作图用面上取点法●第49页，共61页，2023年，2月20日，星期一⒉两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①求两平面的交线方法：(1)确定两平面的两个共有点。(2)确定一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。②判别两平面之间的相互遮挡关系，即：

判别可见性。第50页，共61页，2023年，2月20日，星期一一般位置平面与特殊位置平面相交

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。nlmmlnbaccabfkfkVHMmnlPBCacbPHkfFKNL第51页，共61页，2023年，2月20日，星期一判断平面的可见性bbacnlmcmalnfkfkVHMmnlBCackfFKNL第52页，共61页，2023年，2月20日，星期一可通过正面投影直观地进行判别。a

bc

d

e

f

c

f

d

b

e

a

m(n)空间及投影分析

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。①

求交线②

判别可见性作图

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。m

●

●例：求两平面的交线

MN并判别可见性。

⑴

能否不用重影点判别？能!如何判断？n

●

第53页，共61页，2023年，2月20日，星期一a

b

c

d

e

fc

f

d

b

e

a

m(n)●例：求两平面的交线

MN并判别可见性。

⑴

空间及投影分析

①

求交线②

判别可见性作图

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。m

●

n

●

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。第54页，共61页，2023年，2月20日，星期一a′

a

b

d(e)

e′

b′

d′

h(f)

c

f′

c′

h′

1(2)空间及投影分析

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m

、n

即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①

求交线②

判别可见性

点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc

可见。作图⑵

2●

1●

m

●

n

●

●m′

●

n′

●

第55页，共61页，2023年，2月20日，星期一a

b

d(e)

e′b′d′

h(f)

c

f′c′h′

⑵

m

●

n

●

n′

●

m′

●

空间及投影分析

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m

、n

即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①

求交线②

判别可见性

点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc

可见。作图

第56页，共61页，2023年，2月20日，星期一c

d

e

f

a