2023届云南省玉溪市数学高二第二学期期末监测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1 B．2C．4 D．82．某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：①从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是（）A．①用系统抽样，②用简单随机抽样 B．①用系统抽样，②用分层抽样C．①用分层抽样，②用系统抽样 D．①用分层抽样，②用简单随机抽样3．已知一系列样本点…的回归直线方程为若样本点与的残差相同，则有()A． B． C． D．4．已知函数则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是()A．[0，1) B．(－∞，1)C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)5．如图，在中，．是的外心，于，于，于，则等于（）A． B．C． D．6．以双曲线的焦点为顶点，离心率为的双曲线的渐近线方程是（）A． B．C． D．7．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中的系数为（）A．5 B．10 C．20 D．408．在椭圆内，通过点，且被这点平分的弦所在的直线方程为（）A． B．C． D．9．已知，且.则展开式中的系数为（）A．12 B．-12 C．4 D．-410．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（）A． B．C． D．11．已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（）A． B． C． D．12．若等差数列的前项和满足，，则（）A． B．0 C．1 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数若存在互不相等实数有则的取值范围是______.14．已知复数是虚数，则复数的模等于__________.15．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm，深为8cm的空穴，则这球的半径为______cm.16．将参数方程（为参数），转化成普通方程为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数（1）若函数在上递增，在上递减，求实数的值.（2））讨论在上的单调性；（3）若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围，并证明.18．（12分）已知定义在区间上的函数，.（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）若曲线过点的切线有两条，求实数的取值范围.19．（12分）在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？20．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知函数，，（为自然对数的底数），且曲线与在坐标原点处的切线相同.（1）求的最小值；（2）若时，恒成立，试求实数的取值范围.22．（10分）某校20名同学的数学和英语成绩如下表所示：将这20名同学的两颗成绩绘制成散点图如图：根据该校以为的经验，数学成绩与英语成绩线性相关.已知这名学生的数学平均成绩为，英语平均成绩，考试结束后学校经过调查发现学号为的同学与学号为的同学（分别对应散点图中的）在英语考试中作弊，故将两位同学的两科成绩取消.取消两位作弊同学的两科成绩后，求其余同学的数学成绩与英语成绩的平均数；取消两位作弊同学的两科成绩后，求数学成绩x与英语成绩y的线性回归直线方程，并据此估计本次英语考试学号为8的同学如果没有作弊的英语成绩.（结果保留整数）附：位同学的两科成绩的参考数据：参考公式：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.2、D【解析】

①总体由差异明显的几部分构成时，应选用分层抽样；②总体个体数有限、逐个抽取、不放回、每个个体被抽到的可能性均等，应选用简单随机抽样；∴选D3、C【解析】

分别求得两个残差，根据残差相同列方程，由此得出正确选项.【详解】样本点的残差为，样本点的残差为，依题意，故，所以选C.【点睛】本小题主要考查残差的计算，考查方程的思想，属于基础题.4、D【解析】试题分析：函数的零点就是方程的根，作出的图象，观察它与直线的交点，得知当时，或时有交点，即函数有零点.考点：函数的零点．点评：本题充分体现了数形结合的数学思想．函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点，做题时注意三者之间的等价转化．5、D【解析】由正弦定理有,为三角形外接圆半径,所以,在中,,同理,所以,选D.6、D【解析】

由题求已知双曲线的焦点坐标，进而求出值即可得答案。【详解】由题可知双曲线的焦点坐标为，则所求双曲线的顶点坐标为，即，又因为离心率为，所以，解得，所以，即，所以渐近线方程是故选D【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题的关键是判断出焦点位置后求得，属于简单题。7、B【解析】

首先根据二项展开式的各项系数和，求得，再根据二项展开式的通项为，求得，再求二项展开式中的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和，所以，又二项展开式的通项为=，，所以二项展开式中的系数为．答案选择B．【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题．8、A【解析】试题分析：设以点为中点的弦的端点分别为，则，又，两式相减化简得，即以点为中点的弦所在的直线的斜率为，由直线的点斜式方程可得，即，故选A.考点：直线与椭圆的位置关系.9、D【解析】

求定积分得到的值，可得的值，再把按照二项式定理展开式，可得中的系数．【详解】∵，且，则展开式，故含的系数为，故选D．【点睛】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10、B【解析】试题分析：函数，的图象上所有点向左平移个单位长度得，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得，选B.考点：三角函数图像变换11、B【解析】

由和都是定义在上的偶函数，可推导出周期为4，而，即可计算.【详解】因为都是定义在上的偶函数，所以，即，又为偶函数，所以，所以函数周期，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.12、B【解析】根据等差数列的性质仍成等差数列，则，则，，选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

不妨设，根据二次函数对称性求得的值.根据绝对值的定义求得的关系式，将转化为来表示，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】不妨设，画出函数的图像如下图所示.二次函数的对称轴为，所以.不妨设，则由得，得，结合图像可知，解得，所以，由于在上为减函数，故.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.14、【解析】

先根据复数除法计算出，然后根据复数模的计算公式计算出的模即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查复数的除法计算以及复数模的求解，难度较易.已知复数，所以.15、13；【解析】

设球的半径为，得到截面圆的半径为，球心距为，再由，列出方程，即可求解.【详解】设球的半径为，将球取出，留下空穴的直径为，深，则截面圆的半径为，球心距为，又由，即，化简得，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了球的几何特征，其中解答中根据球的半径，截面圆的半径，以及球心距构造直角三角形，利用勾股定理列出方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16、【解析】

将参数方程变形为，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.【详解】将参数方程变形为，两等式平方得，上述两个等式相减得，因此，所求普通方程为，故答案为：.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析（3），见解析【解析】

（1）根据单调区间判断出是极值点，由此根据极值点对应的导数值为求解出的值，并注意验证是否满足；（2）先求解出，然后结合所给区间对进行分类讨论，分别求解出的单调性；（3）构造函数，分析的取值情况，由此求解出的取值范围；将证明通过条件转化为证明，由此构造新函数进行分析证明.【详解】（1）由于函数函数在上递增，在上递减，由单调性知是函数的极大值点，无极小值点，所以，∵，故，此时满足是极大值点，所以；（2）∵，∴，①当时，在上单调递增.②当，即或时，，∴在上单调递减.③当且时，由得.令得；令得.∴在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上递增；当或时，在上递减；当且时，在上递增，在上递减.（3）令，当时，，单调递减；当时，，单调递增；故在处取得最小值为又当，由图象知：不妨设，则有，令在上单调递增，故即，【点睛】本题考查函数与导数的综合运用，涉及到根据单调性求解参数、分类讨论法分析函数的单调性、双变量构造函数问题，难度较难.（1）已知是的极值点，利用求解参数值后，要注意将参数值带回验证是否满足；（2）导数中的双变量证明问题，一般的求解思路是：先通过转化统一变量，然后构造函数分析单调性和取值范围达到证明的目的.18、(1)见证明；(2)【解析】

（1）利用导数求得函数单调性，可证得；（2）利用假设切点的方式写出切线方程，原问题转化为方程在上有两个解；此时可采用零点存在定理依次判断零点个数，得到范围，也可以先利用分离变量的方式，构造新的函数，然后讨论函数图像，得到范围.【详解】（1）证明：时，在上递减，在上递增（2）当时，，，明显不满足要求；当时，设切点为（显然），则有，整理得由题意，要求方程在区间上有两个不同的实数解令①当即时，在上单调递增，在上单调递减或先单调递减再递增而，，，在区间上有唯一零点，在区间上无零点，所以此时不满足题要求.②当时，在上单调递增不满足在区间上有两个不同的实数解③当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，在区间上有唯一零点，所以此时不满足题要求.④当时，在上单调递减，在上单调递增，，，当即时，在区间上有唯一零点，此时不满足题要求.当即时，在区间和上各有一个零点设零点为，又这时显然在区间上单调递减，此时满足题目要求.综上所述，的取值范围是（2）解法二：设切点为由解法一的关于的方程在区间内有两解显然不是方程的解故原问题等价于在区间内有两解设，且则，且令，，则又，；，，故，；，从而，递增，，递减令，由于时，时故，；，，而时，，时，故在区间内有两解解得：【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用.难点在于将原问题转化为方程根的个数的问题，此时根无法确切的得到求解，解决此类问题的方式是灵活利用零点存在定理，在区间内逐步确定根的个数.19、（Ⅰ）曲线C的方程为．（Ⅱ）时，．【解析】

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．（Ⅱ）设，其坐标满足消去y并整理得，故．，即．而，于是．所以时，，故．当时，，．，而，所以．【详解】请在此输入详解！20、（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据不等式解的端点就是对应方程的根即可求解；（2）分离参数，转化为求的最小值即可解决.试题解析：（1），，即得，得.（2）∵，∴.∵，且存在实数使，∴.21、（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由于曲线与在坐标原点处的切线相同，即它们在原点的导数相同，，，且切点为原点，，解得.所以，当时，；当时，，所以当时，取得最小值为；（2）由（1）知，，即，从而，即.构造函数，利用导数并对分类讨论的图象与性质，由此求得实数的取值范围.试题解析：（1）因为，，依题意，，且，解得，所以，当时，；当时，.故的单调递减区间为，单调递增区间为.∴当时，取得最小值为0.（2）由（1）知，，即，从而，即.设，则，（1）当时，因为，∴（当且仅当时等号成立）此时在上单调递增，从而，即.（2）当时，由于，所以，又由（1）知，，所以，故，即.（此步也可以直接证）（3）当时，令，则，显然在上单调递增，又，，所以在上存在唯一零点，当时，，∴在上单调递减，从而，即，所以在上单调递减，从而当时，，即，不合题意.综上，实数的取值范围为.考点：函数导数与不等式、恒成立问题．【方法点晴】第一问是跟切线有关的问题，关键点在于切点和斜率，切点是坐标原点，由于两条曲线在原点的切线相同，故两个函数在原点的导数值相等，利用这两个条件联立方程组就能求出的值.第二问是利用导数来求解不等式，我们构造函数，利用导数来研究的图象与性质，含有参数，我们就需要对进行分类讨论.