材料力学讲义三二

Chapter4Internalforcesinbeams第四章弯曲内力§4-1基本概念及工程实例(Basicconceptsandexampleproblems)第四章弯曲内力(Internalforcesinbeams)§4-3剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图(Shear-force&bending-momentequations;shear-force&bending-momentdiagrams)§4-2梁的剪力和弯矩(Shear-forceandbending-momentinbeams)§4-6平面刚架和曲杆的内力图(Internaldiagramsforframemembers&curvedbars)§4-5叠加原理作弯矩图(Drawingbending-momentdiagrambysuperpositionmethod)

§4-4剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系(Relationshipsbetweenload,shearforce,andbendingmoment)一、工程实例(Exampleproblem)§4-1基本概念及工程(Basicconceptsandexampleproblems)工程实例(Exampleproblem)

二、基本概念(Basicconcepts)2.梁(Beam)

以弯曲变形为主的杆件外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.（1）受力特征（2）变形特征

变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.1.弯曲变形(Deflection)3.平面弯曲(Planebending)

作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.AB对称轴纵向对称面梁变形后的轴线与外力在同一平面内梁的轴线FRAF1F2FRB（3）支座的类型4.梁的力学模型的简化(Representingarealstructurebyanidealizedmodel)（1）梁的简化通常取梁的轴线来代替梁。（2）载荷类型集中力(concentratedforce)集中力偶(concentratedmoment)分布载荷(distributedload)

可动铰支座(rollersupport)

FRAAAAA固定铰支座(pinsupport)固定端(clampedsupportorfixedend)AAAFRAyAFRAxFRyFRxM5.静定梁的基本形式

(Basictypesofstaticallydeterminatebeams)悬臂梁(cantileverbeam)外伸梁(overhangingbeam)简支梁(simplysupportedbeam)起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度的重量为38.105kg/m,起吊重物的重量为100kN,试求起重机大梁的计算简图.q

=38.105kN/mF=100kN一、内力计算(Calculatinginternalforce)[举例]已知如图，F，a，l.

求距A端x处截面上内力.解:求支座反力§4-2梁的剪力和弯矩(Shear-forceandbending-momentinbeams)BAalFFRAyFRAxFRBABF求内力——截面法弯曲构件内力剪力弯矩1.弯矩(Bendingmoment)M

构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩.MFRAyFRAxFRBABFmmxFRAyFSCFFRBFSCM2.剪力(Shearforce)

FS

构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力.FSdxmmFS+1.剪力符号(Signconventionforshearforce)使dx

微段有左端向上而右端向下的相对错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正.二、内力的符号规定(Signconventionforinternalforce)使dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负.dxmmFSFS-

当dx微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉）时,横截面m-m上的弯矩为正；2.弯矩符号(Signconventionforbendingmoment)mm+（受拉）MM

当dx

微段的弯曲上凸（即该段的下半部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.mm（受压）MM-解：（1）求梁的支反力FRA和FRB例题2图示梁的计算简图.已知F1、F2,且F2>F1,尺寸a、b、c和l亦均为已知.试求梁在E、F

点处横截面处的剪力和弯矩.FRBBdEDAabclCFF1F2FRA

记E截面处的剪力为FSE

和弯矩

ME，且假设FSE

和弯矩ME

的指向和转向均为正值.BdEDAabclCFF1F2FRAAEcFSEFRAME解得取右段为研究对象AEcFSEFRAMEa-cb-cCDl-cBEFSEF1F2MEFRB解得++

计算F点横截面处的剪力FSF

和弯矩MF

.BdEDAabclCFF1F2FRAFdBFSFMFFRB解得：-+左侧梁段：向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起负值的剪力右侧梁段：向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起负值的剪力三、计算警规律(Si扎mpl犯em杠eth喂od浩for盲ca赌lcu闹lat腊ing乎sh暗ear滴-fo醉rce闪an课db伞end省ing肢-mo月men猪t)1.剪力(She庭arf朱orce壶)不论在截彻面的左侧挽或右侧向活上的外力亦均将引起辞正值的弯卫矩，而向咱下的外力锅则引起负赠值的弯矩灿.2.弯矩(Be五ndi凡ng麻mom屈ent跟)左侧梁封段笑顺时队针转向借的外力点偶引起架正值的闸弯矩逆时针恩转向的欠外力偶贪引起负役值的弯努矩右侧梁吧段倦逆时针蒙转向的漂外力偶臂引起正苦值的弯锋矩顺时针转克向的外力期偶引起负福值的弯矩例题3饲轴的计竭例算简图顺如图所示伏，已知F1=F2=F=6井0kN，a=2志30m厨m，b=1定00城mm和c=1讯000更mm茫.求C、写D点处横截聋面上的剪吉力和弯赏矩.F2=FACDBbacF1=FFRAFRB解：（1）求蒜支座反力（2）斗计算C横截面上禁的剪力FSC和弯矩MC看左侧F2=FACDBbacF1=FFRAFRB（3）计帮算D横截面上昌的剪力FSD和弯矩MD看左侧解:例题4胖求图示皂梁中指定贡截面上的稿剪力和弯六矩.（1）察求支座锹反力FRA=4kNFRB=-4kNC12M（2）求稳1-1截步面的内力（3）湿求2-强2截面带的内力B1m2.5m10kN·mAC12FRAFRB§4-3剪力方程松和弯矩方舟程·剪力旱图和弯矩籍图(She挤ar-健forc紫e&拾bend润ing-套mome谈nte熟quat粘ions团;

sh丽ear-屿forc踩e&be馒ndin妈g-mo辞ment刷dia伐gram龟s)FS=FS(x)M=M(x)一、剪力粪方程和弯属矩方程(She气ar-若forc帮e&葛bend巧ing-界mome塞nte躬quat絮ions炉)用函数妖关系表牵示沿梁宅轴线各比横截面贞上剪力虑和弯矩赵的变化辅规律，分别称毙作剪力伶方程和揭弯矩方涨程.1.剪花力方程(Shea颈r-f衰orce涂equ崭atio喜n)2.弯款矩方程(Ben摸din巨g-m旗ome砌nt皆equ添ati外on)弯矩图为先正值画在x轴上侧,碗负值画在x轴下侧二、剪力夸图和弯矩植图(She忙ar-驳for表ce&膊ben灾din催g-m密ome胖nt添dia烤gra约ms)剪力图碧为正值颜画在x轴上侧蓝,负值论画在x轴下侧以平行于益梁轴的横闹坐标x表示横冻截面的份位置,哈以纵坐挑标表示亩相应截蝇面上的斗剪力和若弯矩.受这种图狡线分别忘称为剪民力图和初弯矩图xFS(x)FS

图的坐标系OM

图的坐标系xOM(x)例题5阳如师图所示的相悬臂梁鹊在自由盆端受集张中荷载F作用,试作此蒸梁的剪轰力图和飞弯矩图乘.BAFlx解:列出梁的剪力方程错和弯矩定方程FSxFFlxM例题6迈图示的简支笔梁,在全秆梁上受集炉度为q的均布吸荷载用柄.试作赏此梁的闻剪力图丝式和弯矩政图.解：（1）求支反多力lqFRAFRBABx（2）列笛剪力方程娇和弯矩方知程.剪力图为价一倾斜直绒线绘出剪力哑图x=0处，x=l处,+ql/2ql/2BlqFRAAxFRB弯矩图姜为一条绍二次抛号物线lqFRAABxFRB令得驻点弯矩的极值绘出弯拾矩图+l/2由图可下见，此概梁在跨财中截面盛上的弯章矩值为粥最大但此截面段上FS=0两支座芒内侧横批截面上路剪力绝葬对值为胞最大lqFRAABxFRB+ql/2ql/2+l/2解:（乌1）求梁扮的支反力例题7漂图示的简支丽梁在C点处受集青中荷载F作用.试作此梁签的剪力图凝和弯矩图爬.lFABCabFRAFRB因为AC段和CB段的内力尊方程不同摔，所以必奇须分段列伯剪力方程赠和弯矩方乱程.将坐标杠原点取震在梁的触左端将坐标翼原点取泪在梁的记左端AC段CB段xxlFABCabFRAFRB由（1便）,（溉3）两欧式可知，AC、麻CB两段梁的非剪力图各担是一条平烟行于x轴的直斗线.xxlFABCabFRAFRB++由（2睡），（菊4）式粉可知，AC、CB两段梁该的弯矩告图各是崖一条斜劫直线.在集中那荷载作男用处的供左,右咽两侧截皇面上剪裳力值(提图)有悠突变,突变值吧等于集龄中荷载F.弯矩赛图形成尖逃角,该处氧弯矩值最颤大.xxlFABCabFRAFRB++解：求梁钻的支反力例题8片图示的简支算梁在C点处受矩冶为M的集中握力偶作芦用.试作此梁规的的剪力烧图和弯矩茅图.将坐标晃原点取佳在梁的饱左端.因为梁因上没有梨横向外丘力，所竟以全梁只有盘一个剪力帽方程lABCabFRAFRBM由(1芬)式画穴出整个驰梁的剪迁力图是纷一条平素行于x轴的直骑线.+AC段CB段AC段和BC段的弯矩方程介不同xxlABCabFRAFRBMAC,CB两梁段盈的弯矩遥图各是重一条倾久斜直线生.

x=a,

x=0,AC段CB段

x=a,x=l,M=0+梁上集中箩力偶作用讲处左、右善两侧横截饰面上的弯树矩值(图恋)发生突庙变，其突纪变值等于葱集中力偶桐矩的数值涂.此处剪捎力图没有贩变化.lABCabFRAFRBM++2.以瓶集中力辛、集中购力偶作亩用处、分布荷灾载开始耐或结束恐处,及素支座截防面处为颈界点将舱梁分段剩.分段营写出剪焰力方程队和弯矩辛方程,游然后绘顿出剪力币图和弯脸矩图.1.取梁梦的左端点售为坐标原挥点,x轴向右为叼正:剪力揭图向上为死正;弯矩鹿图向上为喘正.5.梁上的FSmax发生在全剃梁或各梁旺段的边界献截面处;石梁上的Mmax发生在刘全梁或赚各梁段毕的边界伪截面,鹿或FS=0的截面含处.小结3.梁上集中驴力作用处炕左、右两研侧横截面扑上,剪力笨（图）有蒸突变,突滔变值等于瓜集中力的素数值.在赚此处弯矩图瓦则形成搁一个尖怎角.4.梁搏上集中档力偶作候用处左怠、右两葬侧横截统面上的仅弯矩（滚图）有突变,背其突变值丈等于集中坚力偶矩的崇数值.但苗在此处剪耐力图没有变化控.例题9讲一简支梁帝受移动哲荷载F的作用如念图所示.遭试求梁的乖最大弯矩弹为极大时帜荷载F的位置.ABFlx解:拦先设F在距左支脊座A为x的任意位威置.求此橡情况下梁壮的最大弯矩为薪极大.荷载在拐任意位冲置时，件支反力答为当荷载F在距左支愁座为x的任意仔位置C时，梁的弯矩为令此结果蛋说明，捡当移动确荷载F在简支梁待的跨中时怖，梁的最殊大弯矩为据极大.得最大宅弯矩值代入式将设梁上跟作用有渴任意分嫩布荷载其集度§4-诱4剪力、愉弯矩与祝分布荷稀载集度壳间的关滥系(Rel差atio愤nshi离ps决betw询een池load晴,she牧arf奇orce共,and乡丰ben述ding泳mom泳ent)一、弯矩制、剪力与变分布荷载内集度间的写微分关系(Di正ffe告ren沟tia秃lr绞ela跪tio佛nsh五ips摄be鸦twe阿en吉loa师d,s栏hea碍rf氧orc下e,a店nd喘ben趁din跌gm杆ome责nt)q=q(x)规定q(x)向上为忘正.将x轴的坐五标原点岗取在梁昂的左端锈.xyq(x)FMxyq(x)FMFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)假想地用奔坐标为x和x+dx的两横截趟面m-m和n-n从梁中茶取出dx微段.mmnnq(x)Cx+dx截面处极则分届别为FS(x)+dFS(x)，M(x)+麦dM(x).由于dx很小，应略去q(x)沿dx的变化房诚.m-m截面上内音力为FS(x),M(x)nxmmndxFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C写出微段耽梁的平衡膛方程得到

略去二心阶无穷痰小量即改得公式的几木何意义（1）杯剪力图鞋上某点村处的切求线斜率集等于该思点处荷拨载集度房诚的大小质;（2）侮弯矩图倚上某点狂处的切协线斜率帽等于该筋点处剪淘力的大堆小;（3）根据q(x)＞0涨或q(x)＜残0来判乞断弯矩僚图的凹厕凸性.M(x)图为漠一向上凸的绘二次抛谢物线.FS(x)图为一向旁右下方倾仙斜的直线禾.xFS(x)O二、q(x)、FS(x)图、M（x）图三北者间的客关系(Rel偿atio型nshi析ps议betw呀een昌load格,she跌arf陡orce择,and俭ben炊ding叶mom牲ent箱diag尚rams播)1.梁攻上有向余下的均同布荷载哲,即q(x)<滔0xOM(x)2.梁上丑无荷载区制段，q(x)=挑0剪力图裙为一条云水平直乞线.弯矩图笛为一斜脱直线.xFS(x)O当FS(x)>躲0时,向颤右上方夹倾斜.当FS(x)<敬0时,向排右下方扯倾斜.xOM(x)OM(x)x5.最清大剪力可物能发生在集中力胡所在截半面的一股侧;或去分布载文荷发生滩变化的觉区段上执.梁上最剑大弯矩Mmax可能发生哈在FS(x)=距0的截捡面上;或发生讨在集中证力所在积的截面景上;或拉集中力疯偶作用成处的一悠侧.3.俩在集中那力作用璃处剪力膏图有突萍变,其尸突变值捎等于集中中力的广值.弯扮矩图有针转折.4.宪在集中忌力偶作衣用处弯芹矩图有眠突变，其突变值等摊于集中糠力偶的躬值，但籍剪力图芳无变化唯.无荷载集中力FC集中力偶MC向下倾贵斜的直怪线上凸的二彻次抛物线在FS=0的截址面水平直线一般斜劳直线或在C处有转折在剪力突润变的截面在紧靠C的某一侧湾截面一段梁上滤的外力情素况剪力图的特征弯矩图的特征Mmax所在截面的可能位置表4-血1在几贤种荷载下即剪力图与僵弯矩图的盲特征q<0向下的菊均布荷积载在C处有突变F在C处有突变M在C处无变搁化C三、分布弄荷载集度旋、剪力和到弯矩之间垦的积分关宣系(In廉teg范ral欧re俩lat涝ion架shi婚ps连be迅twe魄en售loa监d,廊she悄ar已for赞ce,萝an载db鼓end债ing然mo画men鼠t)若在x=x1和x=x2处两个旋横截面委无集中色力则等号右欲边积分溜的几何土意义是x1,x2两横截面史间分布荷猾载图的面霉积.若横截它面x=x1，x=x2间无集恒中力偶肚作用则缠得式中M(x1)，M(x2)分别缠为在x=x1和x=x2处两个应横截面希上的弯惑矩.等号右边幅积分的几皮何意义是x1,x2两个横茎截面间吐剪力图狼的面积坊.式中，分别为在x=x1

和x=x2

处两个横截面上的剪力.例题1虎0浸一简起支梁受绑两个力F作用,如炊图所示.栽已知F=2裁5.3高kN,古有关悬尺寸如映图所示臭.试用傅本节所应述关系傅作剪力应图和弯窑矩图.解：（1跪）求梁的递支反力将梁分为AC、CD、DB三段.每一段均绸属无载荷喊区段.BACD2001151265FFFRAFRB231（2）某剪力图每段梁巴的剪力疯图均为浅水平直挽线AC段23.61.727+BFRBACD2001151265FFFRA231DB段最大剪力发生在DB段中的任一横截面上CD段4.723.11+BACD2001151265FFFRAFRB231最大弯浇矩发生按在C截面（3）投弯矩图每段梁宏的弯矩临图均为洽斜直线称.且梁窃上无集净中力偶跟.（4）咸对图形访进行校词核在集中虹力作用供的C,D两点剪力键图发生突故变,突变淘值F=25毙.3k辽N.而摄弯矩图脱有尖角哀.在AC段剪力为海正值，弯档矩图为向图上倾斜的嫌直线.BACD2001151265FFFRAFRB2314.723.11+23.61.727+在CD和DB段，剪往力为负扇值，弯俩矩图为刺向下倾惰斜的直响线.最大弯淋矩发生勺在剪力谢改变正仪、负号佣的C截面处核.说明傍剪力图末和弯矩坟图是正麻确的.例题11揉一类简支梁受第均布荷载缘瑞作用，其览集度q=10脆0kN/m犹,如图终所示烛.试用罗简易法慢作此梁绩的剪力送图和弯松矩图.解：（1）幻玉计算梁的懒支反力FRAFRBEqABCD0.21.612将梁分为AC、CD、DB三段.AC和DB上无荷甩载，CD段有向闻下的均布荷载冒.（2）雁剪力图+80kN80kNAC段水平直线CD段

向右下方的斜直线DB段水平直线最大剪力记发生在AC和DB段的任袭一横截茫面上.FRAFRBEqABCD0.21.612例题1窑2缸作梁摇的内力扇图.解：（1）支温座反力孟为3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN将梁分为AC、CD、DB、BE四段.（2）奋剪力图AC段向下斜杠的直线仰()CD段向绘下斜的直窄线()DB段衬水平直搂线(偷-)EB段水平直筛线(竭-)3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kNAC段花向下寺斜的直当线()CD段祖向下斜虑的直线套()F点剪力枝为零,满令其距A截面的距初离为x7kN1kN++3kN3kN2kNx=5mx=5课m（3）弯罢矩图CD段AC段DB段BE段201666+20.53m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN7kN1kN++3kN3kN2kNx=5m201666+20.5（4）校艘核解：支座反株力为FRA=81命kNFRB=2古9k毒NMA=96不.5k跃N·m例题1书3用简易宋法作组吉合梁的帆剪力图狗和弯矩杂图.10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m将梁分为AE，EC，CD，DK，KB五段。(1)挪剪嫁力图AE段水平直站线FSA右=FSE左=FRA=81烂kNED段水平直嘱线DK段僵向右下锁方倾斜练的直线FSK=-FRB=-膊29怜kNFSE右=FRA-F=31吐kNKB段融水平兵直线FSB左=-FRB=-种29k希N81kN31kN29kN+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m设距K截面为x的截面上馅剪力FS=0述.即x=1.4581kN31kN29kN+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m（2）弯矩图AE，EC，CD梁段均为煤向上倾斜扩的直线96.515.53110.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/mKB段向顺下倾斜的朗直线DK段向上挎凸的二次允抛物线在FS=0厅的截面上波弯矩有极捡值96.53115.5x+5534510.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m中间铰岭链传递协剪力(艰铰链左买,右两炸侧的剪可力相等捉)；但肯不传递鸦弯矩(歪铰链处想弯矩必嫁为零)推.++10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m例题1吸4牺已知屡简支梁须的剪力盖图,作配梁的弯孤矩图和纲荷载图傲.已知晓梁上没棍有集中斯力偶作拆用.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+解:(1)画荷载图AB段致没有荷惯载，在B处有集运中力所以F=20kN方向向下CABDF=20kNBC段呜无荷柄载CD段翼有均布荷骄载q()abcd18kN2kN14kN3m3m6m+q=2kNCABDF=20kN(2)弯咱矩图AB段肃向右上哲倾斜的挽直线BC段向衣右下倾斜境的直线.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+CD段向上凸的二次抛物线.该段内弯矩没有极值.48dab54c+例题15捕已鞭知简支梁圆的弯矩图蒙,作出梁模的剪力图谱和荷载图咽.AB段因为M(x)=常量,荣剪力图索为水平种直线,峡且FS(x)=涛0船.40kN·mabcd2m2m2m+解：(1)作剪力图BC段FS(x)=常量跟,剪银力图为灵水平直群线CD段剪致力图为水匠平直线且FS(x)=腾0abcd20kNAB段挂无荷载Me=40kN·m(

)Me在A处有集中蔽力偶(2)作荷载图40KN·mabcd2m2m2m+abcd20kNBCADF=2宁0kN朴()B处有集激中力.集中力BC段无需荷载C处有集中闯力集中力F=20艰kN淡()CD段无积荷载FF§4-步5按叠加颗原理作添弯矩图(Dr州awi哈ng机ben割din卵g-m牧ome龙nt挎dia盒gra境mb脑ys五upe湖rpo戏sit击ion半me搅tho填d)一、叠加浅原理(Sup浓erp责osi突tio纳nprin续cipl仍e)多个载效荷同时划作用于色结构而姑引起的惹内力等芹于每个排载荷单貌独界作用摩于结构供而引起哈的内力逢的代数词和.二、适用罪条件(Ap括pli愧cat烧ion禽co肉ndi蝇tio难n)所求参数甲（内力、童应力、位主移）必然稼与荷载满军足线性关油系.即在告弹性限度誓内满足胡遍克定律.三、步骤(Pro匀cedu箭re)（1）分全别作出葱各项荷罚载单独欲作用下主梁的弯脱矩图;（2）将盖其相应的愈纵坐标叠荒加即可（菠注意：不墨是图形的找简单拼凑盐）例16被悬臂梁受食集中荷偶载F和均布器荷载q共同作用咽,试按叠棵加原理作留此梁的弯蚁矩图xF=ql/3qlxF=ql/3ql解:呈悬臂梁受集鼠中荷载F和均布刻荷载q共同作肥用，在距左辞端为x的任一引横截面杜上的弯愁矩为FxqxF单独作用q单独作用F,q作用该截面上的弯矩等于F,q单独作用该截面上的弯矩的代数和FxFqxlqx++-2l/3l/3例题17图示一外翁伸梁，a=4鞠25m写m,F1、F2、F3分别为是685恨kN,5冬75k炉N,50抗6kN蹲.试按叠哨加原理作浅此梁的弯杏矩图,求硬梁的最大罩弯矩.BCF2F3aDEF1Aaaa解：将倍梁上荷挨载分开F1291acebdF2e122+acbd215acebdF3aaaa291acebdBCF2F3aDEF1Aaaa122+acebd215acebd291215131acebd1.平锯面刚架限的内力(Int蛋ern准al录for舟ces嗽fo划rp砖lan伯ef麦ram竿em刃emb亦ers额)剪力(sh细ear息fo坟rce菠);弯矩(ben阔ding极mom妄ent);轴力(ax明ial屯f任orc横e).ABC平面刚洗架是由纽奉在同一每平面内洞,不同趣取向的料杆件,取通过杆视端相互刚性绪连结而组钱成的结构摘.一、平粪面刚架洗的内力嗽图(In榜ter作nal讨di跑agr困ams泻fo索rp筑lan汗ef什ram宝em姿emb姓ers疑)§4-6平面刚架和曲杆的内力图（Internaldiagramsforplaneframemembers&acurve