2023届福建省厦门市数学高二第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“x2-4x>0”是“x>4”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要2．已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，焦距为，C的一条渐近线被以F为圆心，OF为半径的圆F所截得的弦长为2，则C的方程是（）A． B． C． D．3．已知正方体的棱长为2，P是底面上的动点,，则满足条件的点P构成的图形的面积等于（）A． B． C． D．4．下列判断错误的是A．若随机变量服从正态分布，则B．“R，”的否定是“R，”C．若随机变量服从二项分布：，则D．“<”是“a<b”的必要不充分条件5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A．1 B．2C．3 D．46．将函数y=sin2x+π6的图象向右平移π6个单位长度后,得到函数f(x)的图象,A．kπ-5π12C．kπ-π37．不等式的解集是（）A． B．C． D．或8．复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．下列命题中正确的个数()①“∀x>0，2x>sinx”的否定是“∃x0≤0，2x0≤sinx0”；②用相关指数R2可以刻画回归的拟合效果，A．0 B．1 C．2 D．310．若复数是纯虚数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．为了了解手机品牌的选择是否和年龄的大小有关，随机抽取部分华为手机使用者和苹果机使用者进行统计，统计结果如下表：年龄手机品牌华为苹果合计30岁以上40206030岁以下（含30岁）152540合计5545100附：P（）0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828根据表格计算得的观测值，据此判断下列结论正确的是（）A．没有任何把握认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”B．可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小无关”12．已知函数的图象关于原点中心对称，则A．1 B． C． D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，则总体方差的估计值是____________.14．从四棱锥的八条棱中随机选取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是______.15．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的_________倍；16．为了了解家庭月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的关系，从某居民区随机抽取10个家庭，根据测量数据的散点图可以看出与之间具有线性相关关系，其回归直线方程为，若该居民区某家庭月收入为7千元，据此估计该家庭的月储蓄为__________千元.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知矩阵.（1）求；（2）求矩阵的特征值和特征向量.18．（12分）设实部为正数的复数，满足,且复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.(1)求复数；(2)若复数为纯虚数，求实数的值.19．（12分）若的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？20．（12分）如图，矩形所在的平面与直角梯形所在的平面成的二面角，，，，，，.（1）求证：面；（2）在线段上求一点，使锐二面角的余弦值为.21．（12分）如图，在棱长为3的正方体中，.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上的点到，的距离之和为，求椭圆的方程和焦点的坐标；若、是关于对称的两点，是上任意一点，直线，的斜率都存在，记为，，求证：与之积为定值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

求出x2-4x>0的【详解】x2因此x2-4x>0是故选B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，充分必要条件队用定义判定外还可根据集合之间的包含关系确定．如p对应集合是A，q对应集合是B，则A⊆B⇔p是q的充分条件⇔q是p的必要条件．2、A【解析】

根据点到直线的距离公式，可求出点F到渐近线的距离刚好为，由圆的知识列出方程，通过焦距为，求出，即可得到双曲线方程．【详解】为坐标原点，双曲线的右焦点为，焦距为，可得，的一条渐近线被以为圆心，为半径的圆所截得的弦长为2，因为点F到渐近线的距离刚好为，所以可得即有，则，所以双曲线方程为：．故选．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力．3、A【解析】

P是底面上的动点，因此只要在底面上讨论即可，以为轴建立平面直角坐标系，设，根据已知列出满足的关系．【详解】如图，以为轴在平面内建立平面直角坐标系，设，由得，整理得，设直线与正方形的边交于点，则点在内部（含边界），易知，，∴，．故选A．【点睛】本题考查空间两点间的距离问题，解题关键是在底面上建立平面直角坐标系，把空间问题转化为平面问题去解决．4、D【解析】

根据题目可知，利用正态分布的对称性、含有一个量词的命题的否定、二项分布的变量的期望值公式以及不等式的基本性质逐项分析，得出答案．【详解】（1）随机变量服从正态分布，故选项正确．（2）已知原命题是全称命题，故其否定为特称命题，将换为，条件不变，结论否定即可，故B选项正确．（3）若随机变量服从二项分布：，则，故C选项正确．（4）当时，“a<b”不能推出“<”，故D选项错误．综上所述，故答案选D．【点睛】本题是一个跨章节综合题，考查了正态分布的对称性、含有一个量词的命题的否定、二项分布的变量的期望值公式以及不等式的基本性质四个知识点．5、C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.6、D【解析】

求出图象变换的函数解析式，再结合正弦函数的单调性可得出结论．【详解】由题意f(x)=sin2kπ-π∴kπ-π故选D．【点睛】本题考查三角函数的平移变换，考查三角函数的单调性．解题时可结合正弦函数的单调性求单调区间．7、C【解析】

问题化为﹣1＜x+3＜1，求出它的解集即可．【详解】不等式可化为﹣1＜x+3＜1，得﹣4＜x＜﹣2，∴该不等式的解集为{x|﹣4＜x＜﹣2}．故选：C．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，是基础题目．8、C【解析】

直接利用复数代数形式的运算法则化简，再利用复数的几何意义即可求出．【详解】，所以在复平面内，复数对应的点的坐标是，位于第三象限，故选C．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的几何意义．9、C【解析】

根据含量词命题的否定可知①错误；根据相关指数的特点可知R2越接近0，模型拟合度越低，可知②错误；根据四种命题的关系首先得到逆命题，利用不等式性质可知③正确；分别在m=0和m≠0的情况下，根据解集为R确定不等关系，从而解得m【详解】①根据全称量词的否定可知“∀x>0，2x>sinx”的否定是“∃x②相关指数R2越接近1，模型拟合度越高，即拟合效果越好；R2越接近③若“a>b>0，则3a>3b>0④当m=0时，mx2-2当m≠0时，若mx2-2m+1解得：m≥1，则④正确.∴正确的命题为：③④本题正确选项：C【点睛】本题考查命题真假性的判断，涉及到含量词命题的否定、四种命题的关系及真假性的判断、相关指数的应用、根据一元二次不等式解集为R求解参数范围的知识.10、C【解析】

由纯虚数的定义和三角恒等式可求得，根据二倍角公式求得；根据复数的几何意义可求得结果.【详解】为纯虚数，，即，，，，对应点的坐标为，位于第二象限.则的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限故选：.【点睛】本题考查复数对应点的坐标的问题的求解，涉及到同角三角函数值的求解、二倍角公式的应用、复数的几何意义等知识.11、C【解析】

根据的意义判断．【详解】因为，所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”，故选：C.【点睛】本题考查独立性检验，属于简单题．12、B【解析】

由函数的图象关于原点对称可得函数是奇函数，由恒成立可得，从而可得结果．【详解】函数图象关于原点对称，函数是奇函数，则得，即，即，得，故选B．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先求出样本平均数，由此能求出样本方差，由此能求出总体方差的估计值．【详解】解：从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，样本平均数为，样本方差为，总体方差的估计值是1．故答案为：1．【点睛】本题考查总体方差的估计值的求法，考查平均数、总体方差等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14、【解析】

基本事件总数，这两条棱所在的直线为异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这两条棱所在的直线为异面直线的概率．【详解】解：从四棱锥的八条棱中随机选取两条，基本事件总数，这两条棱所在的直线为异面直线包含的基本事件个数，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是．故答案为:.【点睛】本题考查概率的求法.求古典概型概率时，可采用列举法将基本事件一一列出；也可结合计数原理的思想.15、1；【解析】

分别计算侧面积和底面积后再比较．【详解】由题意，，，∴．故答案为1．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题关键．属于基础题．16、【解析】

直接代入即得答案.【详解】由于，代入，于是得到，故答案为1.7.【点睛】本题主要考查线性回归方程的理解，难度很小.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)特征值为，，分别对应特征向量，．【解析】

（1）利用矩阵的乘法求得结果；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令，解方程可得特征值，再由特征值列出方程组求出相应的特征向量.【详解】(1)(2)矩阵的特征多项式，令得，时，，解得，取得时，解得，取得∴矩阵的特征值为，，分别对应特征向量，．【点睛】该题考查的是有关矩阵的问题，涉及到的知识点有矩阵的乘法，矩阵的特征值与特征向量，属于简单题目.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根据待定系数法求解，设，由题意得到关于的方程组求解即可．（2）根据纯虚数的定义求解．【详解】(1)设，由，得又复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，则，即．由，解得或（舍去），∴．（2）由题意得，∵复数为纯虚数，∴解得∴实数的值为．【点睛】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理，求解过程中常常涉及到方程思想的运用．19、【解析】试题分析：（1）根据二项式定理可知，展开式中的每一项系数即为二项式系数，所以第二项系数为，第三项系数为，第四项系数为，由第二、三、四项系数成等差数列可有：，即，整理得：，解得：，因此，；（2）的展开式中的通项公式为，展开式中的常数项即，所以，与不符，所以展开式中不存在常数项。本题主要考查二项式定理展开式及通项公式。属于基本公式的考查，要求学生准确掌握公式，并能熟练运用公式解题。试题解析：（1）由，得：；化简得：，解得：，因此，（2）由，当时，，所以此展开式中不存在常数项．考点：1．二项式定理；2．等差中项。20、（1）见解析；（2）为线段的中点.【解析】

（1）利用面面平行的判定定理证明出平面平面，再利用平面与平面平行的性质得出平面；（2）由，，由二面角的定义得出，证明出平面平面，过点在平面内作，可证明出平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，利用向量法结合条件锐二面角的余弦值为求出的值，由此确定点的位置.【详解】（1）在矩形中，，又平面，平面，平面，同理可证平面，，、平面，平面平面，平面，平面；（2）在矩形中，，又，则矩形所在平面与直角梯形所在平面所成二面角的平面角为，即.又，平面，作于，平面，，又，、平面，平面.作于，，，，，，，.以为原点，、所在直线分别为轴、轴如图建立空间直角坐标系，则、，设.则，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，，则平面的一个法向量为..又平面的一个法向量为，，解得或（舍去）.此时，，即所求点为线段的中点.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，以及二面角的计算，解题时要注意二面角的定义，本题考查二面角的动点问题，一般要建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行求解，考