将军饮马的六种模型

将军饮马六种常见模将军饮问题——线和最短一六模.如图，直线ll的侧两点A、B，直线l上作一点，使PAPB最。.如图，直线ll的侧两点A、B，直线l上作一点，使PAPB最。.如图，点是MON的一点，分别在，ON上作点，B。eq\o\ac(△,使)的长最小.如，点P，Q∠MON内两点，分别在OMON上点A，B。使四边形的周长小。.如图，点是MON的一点，在射线上点，使PA点P到射线的离之和最小第1页共页

CH2..如图，点A是MON的一点，在射线作点，与到线OM的距离CH2二常题Part1三形如图在边中AB=ADBCE是上一点M是AD上的一点AE=2求EC的最小值解：∵点关直线AD对称点是点，∴连接，交AD点，则MEMD最小，过点作BH⊥AC于点H，则EH=AH–=3–=，BH===

3在直角△中BE=

BH=

(3

=

7．如图，在锐角中，AB=，BAC°，∠的分线交BC于点D，、分别是AD和上动点，则BMMN的最小值是____解：作点B关于的称点B，过点B'作BE⊥AB于点，AD于F，线段B'就是＋ＭＮ的最小值在等腰eq\o\ac(△,Rt)'中，根据勾股定理得到B'=4第2页共页

．如图，△中，2，∠BAC°，若在AC、AB上各取一点、，+MN的值最小，则这个最小值解作关的称线段'过点'作'N垂足为N交于点M则B'N=MN=MBMN'N的长就是+MN的最小值，则'=2∠BAC=60°，AB=AB=2∠'=°'=30。∴=，直角eq\o\ac(△,)'N中根据勾股定理B'=

3Part2正形．如图，正方形的边长为8，在DC上且＝，是上一动点＋MN的最小值为_________。即在直线AC上求一点，使+MN最小解：故作点D关的称点B，连接BM，交于。DN＋MN＋BM。段的长就是DNMN的最小值。在直角中，＝，BC8，则BM＝10。故＋ＭＮ的最小值是10．如图所示，正方形的面积为12，ABE是等边三角形，点E在方形ABCD内，在对角线AC上一点P，使PD＋的最小，则这个最小值为（）A．

23

B．

26

C．3D．

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解：即在AC上求一点P，使+的值最小。点关直线AC的称点是点，连接BE交于点，=+PE=PD，BE的就是+的最小值BEAB

3．在边长为2㎝正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为角线上一动点，连接、，则周的最小值____________（结果不取近似值）解：在AC上求一点，PBPQ的最小∵点关AC的对称点是点∴连接DQ，与的交点P就满足条件的点DQ=PDPQ=PBPQ，故DQ的长就是PB+的小值在直角△CDQ中=，=2根据勾股定理，得DQ=

．如图，四边形是正方形，AB=，E为的点为BD上的一个动点，求PCPE的最小值；解：连接，交BD于，则就+PC的最小值在直eq\o\ac(△,角)ABE中求得AE的为

5Part、矩形．如图，若四边形是形，AB=cm，BC=cm，E为边上一个动点，为BD上的一个动点，求+的小值；第4页共页

解：作点C关BD的称点C'过点C'，作CB⊥BC，交BD于，'E就+PC的最小值直角△BCD中CH=直角△BCH中=

5△BCC的积为×=∴C'E×=×160则'=16Part、菱形．如图，若四边形是菱形，AB，ABC°E为边上的一个动点P为BD上的一个动点，求PCPE的小值；解：点关于BD的称点是点，过点A作AE⊥BC交BD于点P，则AE就+的小值在等腰△EAB中求得的为

52Part、直角梯形．已知直角梯形ABCD中AD∥，AB⊥，=2==5点在上秱动，则当+PD取最小值时，△APD中边AP上高为（）A、

2817、17C171717

17

D、3解：作点关的称A，连接'，交于P则A'D=PA=+A'D的就是PAPD的小值S△APD=4在直角△ABP中AB=，BP=，据勾股定理得AP=

∴上高为：

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ADPart、圆形AD．已知⊙的径CD为4，AOD的度数为°，点B是的点，在直径上一点P，BP+的最小，并求+AP的最小值．解：在直线CD上作一点P，PA的值最小作点关于CD的称点'，连接A'B，交CD于点P，则'B的就PA+PB的最小值接OA'，OB，则'OB°，OA==根勾股定理，'B=

42．如图，是径为1的⊙O的径，点在上AMN30°，为AN弧中点是径MN上一动点，则PA＋的小值()A.

2

B.

C.D.解MN上一点P使PAPB的值最小作A关MN的称点A连A'，交于点P，则点P就是所要作的点'B的就+的最小值连OA'、，eq\o\ac(△,则)OAB是腰直角三角形∴A'=

2Part、一次函数．一次函数y=+的象与x、轴分别交于点A（，0（0，（1）求该函数的解析式；（2为标原点，设OA的中点分别为D，P为上动点，求PC＋PD的小值，并求取得最小值时点标．第6页共页

解：()由题意得：=2x，=解得k2，=4∴y2+(2)作点关于y轴对称点'，接C'D交y轴点P则＇D'P+=+C'D就是+PD的最小值连接，则CD2，′在直角eq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)'中，根据勾股定理C＇D

22求直线D的析式，由C'(-10，(1)∴有=-kb=k+b解得k，b=，∴yx1当x0时，=1，则(，)Part、二次函数．如图，在直角坐标系中，点A的标为-2，0结0，将线段OA绕原点顺针旋转120得到线段OB（1）求点的坐标；（2）求经过、O三的抛物线的解析式；（3）在）中抛物线的对称轴上是否存在点，BOC周最？若存在求出点C坐；若不存在，请说明理由解：()(，)(2)y=

33x33(3)∵点O关于对称轴的对称点是点A则连接，交对称轴于点C，则△的长最小y=

33x33

，当x=-1时y=

∴C(-，

)．如图，在直角坐标系中A，，的坐标分别为-1，0，，三的抛物线的对称轴为直线l，为线l上的一个动点，第7页共页

(1)求抛物线的解析式；(2)求当ADCD最小时点D的标；(3)以点A为心，以为半径作圆A解）证：当AD+CD最时，直线与相切；②写出直线与A相时，点的一个坐标。（2）连接BC交直线l于点D，则DA+DBDC=BC，BC的就是ADDC的小值：y=-+3则直线与直线x1的点D，2，．抛物线=ax+bx+(a≠0对称轴为x=-1，与x轴于A、两，与轴于点C，其中(-3)、(，2（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点，得PBC的周长最小．请求出点的标．（3）若点D是段上的一个动点（不与点、重合点D作//交x轴点，连接PE．CD的为m的积为．求S与之的函数关系．试明S是存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．第8页共页

22(1)由题意得

b2a

24,解得∴抛物线的解析式为

2433(2)点B于对称轴的对称点是点A，连接AC交称轴于点，eq\o\ac(△,则)周长最小.设直线AC的解析式为=kx+，∵A(-3，0，C(，，则,解得k

，b=-2∴直线AC的解析式为y=

23

x–2把x=-1代得y=

44，∴P(-，)33(3)存最大值∵DE//PCOE/=/OC，/=(2-m2=-

33m，AE–OEm22方法一，连接S–=+–PDOEOEDP