人教版八年级数学线段的垂直平分线的性质及其判定

人教版八年级数学上册轴对称

〔第2课时〕1第一页，共35页。你能用不同的方法验证这一结论吗？探索并证明线段垂直平分线的性质如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，请猜测点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离之间的数量关系．相等．ABlP1P2P32第二页，共35页。探索并证明线段垂直平分线的性质

请在图中的直线l上任取一点，那么这一点与线段AB两个端点的距离相等吗？

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．ABlP1P2P33第三页，共35页。：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．求证：PA=PB．探索并证明线段垂直平分线的性质命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．〞ABPCl4第四页，共35页。探索并证明线段垂直平分线的性质用符号语言表示为：∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．ABPCl

证明：∵l⊥AB，∴

∠PCA=∠PCB=90°

．

在△APC与△BPC中PC=PC（公共边）∠PCA=∠PCB（已证）

AC=BC（已知）∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴

PA=PB(全等三角形的对应边相等)．5第五页，共35页。探索并证明线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.6第六页，共35页。8课堂练习练习1如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，那么△ADE的周长等于______．ABCDE7第七页，共35页。解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC．∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE．课堂练习练习2如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE

∴AB=AC=CE．∵

AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．8第八页，共35页。例1、如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，1)假设BD＝10，那么AD=。2)假设∠A＝50°，那么∠ABD＝。3)假设AC＝14，△BCD的周长为24，那么BC=。1050°109第九页，共35页。高速公路AB在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府方案在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?生活中的数学L10第十页，共35页。探索并证明线段垂直平分线的判定反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？点P在线段AB的垂直平分线上．：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．PABC11第十一页，共35页。探索并证明线段垂直平分线的判定证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．那么∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB〔HL〕．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．PABC12第十二页，共35页。探索并证明线段垂直平分线的判定

用数学符号表示为：∵

PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．PABC13第十三页，共35页。这些点能组成什么几何图形？

探索并证明线段垂直平分线的判定你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？

在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合．PABC14第十四页，共35页。性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等。判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上。线段垂直平分线的集合定义：线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合。辨析：15第十五页，共35页。线段垂直平分线的性质与判定定理的区别二者是互逆定理，线段垂直平分线的性质定理的条件是线段垂直平分线，结论是垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等．线段垂直平分线的判定定理的条件是一个点与一线段两端点的距离相等，结论是这个点在线段的垂直平分线上．线段垂直平分线的性质是解决线段相等问题的一种重要方法；线段垂直平分线的判定可用来证明两线的位置关系〔垂直平分〕．16第十六页，共35页。知识反响1、∵，∴AB＝AC〔_______________________〕

2、∵_______________________，∴A在线段BC的中垂线上〔____________________________〕AD为BC的中垂线AB＝AC线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。BCAD3、如图，NM是线段AB的中垂线,以下说法正确的有：。①AB⊥MN,②AD=DB，③MN⊥AB，④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线ABMND①②③17第十七页，共35页。解：∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线．∵

MB=MC，∵点M在BC的垂直平分线上，∴直线AM是线段BC的垂直平分线．课堂练习练习3

如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段

BC的垂直平分线吗？ABCDM18第十八页，共35页。

在⊿ABC中，PD，PE分别是AB，AC的垂直平分线，并相交于点P，求证：点P也在BC的垂直平分线上。知识应用PDEABC19第十九页，共35页。∴点P在BC的垂直平分线上。〔和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。〕ABCPD证明：连结PB。∵PD是AB的垂直平分线〔〕∴PA=PB〔线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等〕∵PA=PC〔〕∴PB=PC〔等量代换〕20第二十页，共35页。·某区政府为了方便居民的生活，方案在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。ABC思考：生活中的数学21第二十一页，共35页。尺规作图如何用尺规作图的方法经过直线外一点作直线的垂线？CABKFDE：直线AB和AB上一点C〔如图〕求作：AB的垂线，使它经过点C作法：〔1〕任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁。〔2〕以点C为圆心，CK为半径作弧，交AB于点D和E。〔3〕分别以点D和点E为圆心，大于1/2DE的长为半径作弧，两弧相交于点F。〔4〕作直线CF。直线CF就是所求作的垂线。22第二十二页，共35页。

问题思考：既然轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称图形的对称轴如何来作呢？

只要我们找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．23第二十三页，共35页。如何作出线段的垂直平分线？由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可．24第二十四页，共35页。

如图，线段AB，用直尺和圆规作AB的垂直平分线.AB⑴分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；⑵作直线CD.CD即为所求的直线.CD尺规作图结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.25第二十五页，共35页。1.以下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．AB作法：〔1〕找出五角星的一对对应点A和B，连接AB．〔2〕作出线段AB的垂直平分线n．那么n就是这个五角星的一条对称轴．n用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．

【跟踪训练】26第二十六页，共35页。如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？说说理由.码头应建在线段的垂直平分线与A，B一侧的河岸边的交点上．理由是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．应用新知，解决问题27第二十七页，共35页。如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？【提示】连接AB，作AB的垂直平分线，那么与公路的交点就是要建的公共汽车站.28第二十八页，共35页。有A，B，C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.ABC【提示】学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.29第二十九页，共35页。1.〔临沂·中考〕正方形ABCD边长为a，点E，F分别是对角线BD上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，如下图，那么图中阴影局部的面积之和等于．【解析】运用轴对称、转化的思想，阴影局部面积等于正方形面积的一半，即.答案：30第三十页，共35页。2.如图，假设AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长.DCBEA【解析】∵ED是线段AB的垂直平分线，∴∵△BCD的周长=BD+DC+BC∴△BCD的周长===BD=AD，AD+DC+BCAC+BC12+7=19.点此播放教学视频

31第三十一页，共35页。

随堂练习1、如图,AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC=0.EDAB