构造新数列求递推数列通项

nn1nnnn1nn构造新列递推数通在研究数列问题时,数列的通项公式往往是首要解决的问题.在高中数学中，数列的通项公式的求法有多种但笔者认为利用构造新数列把非特殊数列转化为等等两种典型的特殊数列是最为重要的但于构造新数列需要比较灵活的变形技,学在应用构造新数列求数列通项时却往往会感到力不从心.为此本文以2008年数学高考试题中涉及的数列和平时教学中所遇到的典型的数列为例,介绍利用构造新数列求数列通项的常用技巧供读者参考.1.由a

n

n1

确定数列通公式例1

已}an1

n1

n

N

*

，求数a}通项公式.n解

n1

n

，解x1数a

n

是首项为公为2的等比数列.a

n

11

n1

a

n

2

n1

1.n1*.故数}的通项公式a2Nnn例2湖北理科第题)已数}n1

n1

n

N

*

.其中为常数数a}的通公式.n解

n

B

An,其中A,B为定系数.na

n1

ABaaN

*

解A.由此可得数a

n

3n为等比数列.

n

3n1

21)n简a(n

.故数}的通项公式n

n

(1

3n

*

.评注对于求由a

n

n1

定的数列的通项公式,般方法为寻找关的g(n),构造递推关

n

n

得数

n

为等比数而求出数}通项公式造新数列最关键是寻找函数g,n这需要根据f(n)的构而定,如f(n)是n的一次式,g也一次式,如f(n)是关n的二次函g应为关二次函.确定g构后

再通过待定系数的方法求g.2.求

n

pa

n1

rn确的数列通项公式例3(2008全国卷第题)设}的n项S．已n1

，a

n1

S

n

3

n

nN

*

数}的项公式.n解由a

n1

S

n

3

n

a

n

S

n1

3

n1

a

n1

2a

n

23

n1

右两边同除3

n1得

a3

n1n1

2a2an.令n133n93n1

2ax(33

nn

中待定系数,n2得

数{

a3

nn

23

}第2项起为等比数列.n2,

a2an(3n33

22)(n2a33

n

3)

n2

23

n1

.故数}的通项公式n

n

13)2n223n1

.评注求a

n

pa

n1

定的数列的通项公,一可以通过左右两边同除r

n

,除不和谐的指数r

n

,其化归为求由形如a

n

n1

确定的数列的通项公式.3.求a

确定的列的通项公例4(2008年西卷第22题)知数}的nna}的项公式.n

3an2a

，解a

n1

11121n1a3a3ann1nn1

11x(x1.3an则数{

1an

为等比数列而

1an

111((n1a31

n

3n23

n

.故数}的通项公式an

n

323

n

N

*

.

评注于由分式递推关系确定的数左右两边进行倒数是一种常用的技巧和方过取倒数再构造新数列终把数列化归为等比或等差数列而求出原数列的通项公式.4.求

n2

n

定的列的通公式n例5年天津卷文科第题数}中n

2

且a

n1

q)a

n

n1

0)数}的项公式.n解

n1

a

n

n

a

n1

a

n

x)

n

n1

条件得1qq

1数

n

公差为0的等差数列n

n

n1

2

1

a

n

n

.qa

n

1

n.q1

n

n

2q

数a

n

q2q1

}是公比首项为

1q1

的等比数列.从a

n

q21q1q1

qn1,

n11故数}的通项公式an

n

qn1q2q1

1

.例6广东理科第题为数，,是方2

的两个实根，数列{x}满足xn1

2

p

2

n

pxn1

qxn2

N

*

数{的项公式.n解n

n

n

n2

n

n

n

条件得pq

m一组解为

,则数列xn

n

}公比为

的等比数,数列{xn

n1

}是公比为

的等比数列.

pq1221pq1221xn

xn1

2

x1

n2

,xn

xn1

2

x)1

n2

.1xn

2xn1

2

nn

p,q，x2nx,n1

22

1

.当

时,解该两式有xnn1

的方程(n1

nn(n1n1n

1n1当

时,n

xn1

n

xn

xn1

n

xxnn1nn1

1.则数

xnn

}是公差为1的等差数列

xnn

x1

n1n

n

n

n

.故数{的项公式xnn

n1n1,nnn

.评注对于求由a

n2

n

a确的数列的通项公式般先构造形如n

n2

n

n1

)的列递推关系得数列n

n

}为比数n而求数}的通项公式中的常利用待定系数法求得.n5.求a

n2

n

确定的数的通项式n例7(2008第21)列{a}足n1

2

n

n

32

n2

*

.求数a}的项公式.n解

n

a

n1

32

a

n2

左右取对数loga2

n

log2

n1

32

a

n2

)a2

n2

a2n

a.2a2

n2

xloga2

n1

y(a2

n

xlog)照上式得2n

yxy

32解得

x21xy2

.由loga0,a222

5a2

,故得数列{o2n

l}是各项为0的常,数列2n

2n1n1p121n12n1n1p121n1a2

n

}是项为

比为2的等比数列故2

n

loga2

n1

,loga2

n

a2

(3,解上述有aa2n

n

的方程log2

n

(n1

.故数}的通项公式an

n

2(.评注由形如a

n2

n1

确定的数列的通项公虑到左右两边次数n的不统以取一而由

n2

n1

a定的数列的通项公式.n6.利三角函构造新数列数列的项公式例8已数}满an1

1

a

31

N*数}的通项公n式．解a