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ABCDABCDABCDABCD圆内接四边形的面积公高中数学修第章阅与思考栏向生绍个常重要且美公——海伦公式〔la设一个三角形，边长分别

a,c

，角形的面S可由以求得：s

()(p)()

，而公式里的p

()

为长我南宋名学秦九韶也现与

c

b海伦公等价的“三斜积”公式。a的面积有如此谐的关们禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条又是什么关系呢由于三角形内接于圆

图以猜想海伦公式的推广为：在意内接与的四边形ABCD中设四条边长分别为,b,c

，且p

a2

,S=

(p)()()()

。证明如图延，CB交点。设EA=eEB=∵1+∠

∠∠=180

∴1∠3,eq\o\ac(△,∴)EABeq\o\ac(△,～)∴

fa

=

=

bd

，

SS边

=b

2d2解得：e=

bab)d2

③

f=

bad)d2④由于S=

d

2

b2

2

eq\o\ac(△,S)

将③，④跟

bd2d

22

)

代入伦式式形得∴=

d22

e

)

=

d224b

4

b

4

(ab)(d(d2)4

2

)

2

b2()(d22)2b2(bc)(d)(22)2()

2

)]=

d224b

(

b42)

4(ab

2

(

2

2

)

2

ab)

2

d

2

2

)

2

ad

2

]

2

1=

4()

4ab)2)

}

222}

}]1=

4(

2

2

)

4(ab)

2

(

2

2

)

2

2

b

2

2

2

4

4

d

2

b

2

2

2

2

2

)=

14()1

(ab)2d22)2(a222)(2)=

4(

2

2

)

(

2

2

)

2

[()

2

c

2

2

2

2

)

2

]1=

4

(

2

2

2

2

)(2abcd

2

2

2

2

)=

14

[(a)

b)][()

a

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