不等价不可约的群表示的判断设计说明书

XXX设计（XX）不等价不可约的群表示的判断院（系）专业姓名学号指导教师完成时间20XX年2月25日I第一章引言1.1课题的来源与研究的目的和意义本论文通过对不等价不可约的群表示的判断进行阐述和论证，从代数观点来对不等价不可约的群表示的判断，从而来了解群的不等价不可约表示，并且找出不等价不可约的群表示的判定并并证明所找方法的正确性，最后再应用到不等价不可约的表示中。1.1.1本课题的研究目的本论文通过对不等价不可约的群表示的判断进行阐述和论证，从代数观点来对不等价不可约的群表示的判断，从而来了解群的不等价不可约表示，并且找出不等价不可约的群表示的判定并并证明所找方法的正确性，最后再应用到不等价不可约的表示中。1.1.2本课题的研究意义群表示论是研究群的最有力的工具之一，也是代数学中具有根本性的问题，是当前国际上数学研究的前沿重点课题，通过对不等价不可约群表示进行判断，从而来得出正确的结论，对于不等价不可约群的这种判断过程，会对后续的应用数学学科在不等价不可约群表示的判断方法上面有着一定的参考作用和借鉴意义。在某种程度上面，能够对应用数学领域起到一定的推动作用。1.2本课题研究的内容本次毕业论文的题目是不等价不可约的群表示的判断，根据任务书要求，查阅相关资料，了解不等价不可约的群表示的判断方法法，根据查找到的相关资料和数据，阐述不等价不可约群表示的判断形势及通过理论公式来证明这个观点，并且在原有的基础上面对不等价不可约的群表示的判断方法进行推广，并对其中的某种重要的判断方法进行推广和论证，最后编写毕业设计说明书。具体步骤如下：1）查找资料了解什么是群；2）掌握有关群表示的基本理论；3）有关群的不等价、不可约表示；4）找出不等价不可约表示的判断条件；5）对其中的一种判断条件进行证明；6）编写设计说明书；1.3国内外研究现状众所周知,不等价不可约群理论是高等代数的重要组成部分,而不可约不等价不可约群是不等价不可约群中的重要概念.在高等代数课本中不等价不可约群部分只讲述了有理数域上存在任意次不可约不等价不可约群这样一个事实,并介绍了艾森斯坦判别法.但艾森斯坦判别法只是一个充分条件,还存在着大量的不可约不等价不可约群不能用艾森斯坦判别法判别.本文在现有不可约不等价不可约群判定方法的基础之上做了一些探讨,给出了一些其它的判别方法使得有理数域上不等价不可约群不可约的判定方法更加地完善.群表示论是近现代数学理论中的一个强有力的工具，它包含了许多分支，其中近年来在无限维表示理论中也崭露头角，并且在组合数学、概率统计、纠错编码和密码学中也越来越多的被运用起来。李力、梁永昌等人在《不等价不可约群表示判断方法的研讨》中简要概述不等价不可约群表示的判断方法的分类和方法，并且很详实地讲述了其理论研究领域的发展历史和最最新研究进展。德国数学家艾森斯坦成功对不等价不可约的群表示的判断进行了推广，通过运用数学理论知识论证了这一课题。英国数学家JohnJames在艾森斯坦判别法的基础上将其推广,并补充了其它的判别方法,使得不等价不可约群表示的判定方法更为系统化和成熟化，而且在这一基础上，对不等价不可约群表示的判断方法进行了推广。1342第二章群表示理论基础2.1群表示的基及群的表示2.1.1群表示的定义基:群元素作用的对象称为与它相应的，群表示的基。基可以有各种类型,如矢量(x,y,z),波函数(波函数(px,py,pz)。数域K（实数域R或复数域C）上的线性空间V是一个向量集合，；该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合V在加法运算下构成交换群，满足：数乘运算KV→V满足：线性无关和维数线性空间V中，任意n个向量，其线性组合当且仅当时成立，则称此n个向量线性无关，否则它们线性相关。线性空间中线性无关向量的最大个数m，称为空间V的维数，记为dimV=m。基矢设V是n维线性空间，则V中任意一组n个线性无关的向量，称为空间V的基矢，记为。空间中任意矢量均可表示为n个基矢的线性组合，。矩阵形式：线性变换线性变换A是将V映入V的线性映射，满足：线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法故有矩阵形式：若，则称线性变换A非奇异，A有逆变换A-1，[A-1]=[A]-1。线性变换群定义两个变换的乘法为两个线性变换的相继作用，则n维复线性空间V上的全部非奇异线性变换构成的集合在此乘法下构成一个群，称为n维复一般线性群，记为GL(V,C)，其子群L(V,C)称为V上的线性变换群。群表示设有群G，如果存在一个从G到n维线性空间V上的线性变换群L的同态映射A，则同态映射A称群G的一个线性表示，V为表示空间，n称为表示的维数。其中g0为G的单位元，E为L中的恒等变换。·系1在表示空间V选一组基，线性变换群可化为矩阵形式，故群在表示空间V上的线性表示，亦可定义为G到矩阵群的同态映射A。·系2若群GG′，则G的表示也是G′的表示。·系3一个群G原则上可有无限多的表示。忠实表示如果群G到线性变换群L的映射A为同构映射，则该表示称为忠实表示。群表示理论研究抽象群的矩阵表示的结构、类型等规律。取表示空间为R3，基矢：。①为对xy平面的反演。群本身是定义在R3空间上的线性变换，故其本身是自己的一个表示，选择一个具体基矢可以将其矩阵化：故表示矩阵为：②，表示矩阵为：③，其表示为：以上三个群均是R3上的变换群，故其本身就是他们的表示（忠实表示）。他们还可以有其他的表示。如空间反演群有表示，如：它实际上是三个一维表示的合成：或者说一个二维恒等表示与一个一维非恒等表示的直和。，均是互相同构的二阶循环群，具有相同的群表示。他们两个最基本的表示为：,a分别为。①D3有一维恒等表示，；②D3与Z2同态：故D3有非恒等一维表示：③D3为R3的线性变换群，其矩阵形式本身即为它的一个表示。表示空间V为R3，取基：同理，可得表示矩阵=4\*GB3④D3在x,y,z的二次齐次函数空间中的表示，空间的基为：任何二次齐次函数可表示为以上基函数的线性组合。三维空间中的线性变换g对向量r的改变，同时将对定义在该空间中的标量函数作变换，即g对应一个标量函数变换算符，即。由容易发现，。可以验证变换群与算符做成的函数变换群同构。对于，有：故,故在函数线性空间上的矩阵形式即为群的一个表示。故可得Pd的表示矩阵：其他群元的表示矩阵可以同样得到。与变换对应有标量函数变换算符。设H的本征值为En的，对应本征数为u为简并度指标，简并度为fn，有：。这些简并波函数的任意组合均是相同本征值下的本征函数。可以检验，也是H的本征函数：故En能级的所有简并波函数构成哈密顿算符群{}不变的线性空间。在简并本征函数空间中变换算符的矩阵形式即为哈密顿算符对称群的表示。记的表示矩阵为，具体形式由下式确定：2.2群的表示的分类

一个群的表示原则上可以有无穷多个，它们可以分解或约化为有代表性的最基本表示的组合。2.2.1群的等价表示设群G在表示空间V取基下的表示为，在另一组基下的表示为，若，X为两组基之间的变换，有：，detX≠0则称表示等价，或为A的等价表示。·系1两个用相似变换相联系的表示互相等价：或，(detP≠0),A和B等价。等价表示只是不同基的选择而已，故重要的是寻找不等价的表示，这样就产生了寻找不等价表示的问题。可约表示设A是群G在表示空间V上的一个表示，V如果存在G不变的非平庸子空间，是子空间W上的变换群。此时称A是G的一个可约表示。·系1设是子空间W的基，则取空间V的一组基：，使得。在此基下表示矩阵具有如下形式：m列 n-m列为mm矩阵，为m(n-m)矩阵，为矩阵。子空间W中矢量的形式：（t表示转置，成列矩阵），X经过变换仍然在子空间中：。·系2可以验证在变换下不具有封闭性：。·系3另外，仍然具有相同的结构，故、均构成新的群表示。·系4对于有限群，上述阶梯矩阵都可以通过相似变换化为对角分块形式。线性空间的直和设线性空间V有子空间W1和W2，W1∩W2=0。对任意，可找到，并唯一的将表示为：，则称线性空间V是子空间W1和W2的直和，记为。2.2.2群的完全可约表示设群G的表示空间V可以分解为子空间W1和W2的直和，且W1和W2都是A(G)不变的(即A(G)是W1和W2上的变换群)，则称G在V上的表示为完全可约表示。·系1·系2总可以选一组基，使和分别为子空间W1和W2的基，在此基下表示矩阵具有如下形式： m列 (n-m)列·系3若表示A有一个等价表示具有对角形式，则A为完全可约表示。·系4对于有限群，可约表示的矩阵总可以化为分块对角形式，因而一定是完全可约的。对于无限群，存在可约而不完全可约表示。这样的表示虽然存在群不变非平庸子空间，但无论如何选择，其补空间都不是群不变的，这样的表示仍然称为可约表示，是不能完全约化的可约表示。如，一维平移群T：，它是无限阿贝尔群，存在不能完全约化的可约表示：。2.2.3群的不可约表示设A为G群在表示空间V中的表示，若V不存在A(G)不变的真子空间，则称A是G的不可约表示。·系1G的不可约表示矩阵不具有对角或三角形式。·系2一般地，G的表示空间V总可以表示为不可进一步分解的G不变子空间的直和，而G在V上的表示可以写为G在这些不可分解的子空间上的不可约表示的直和：其中整数mp为不可约表示Ap在表示Ap中出现的次数，称为重复度。·系3群的任何表示都可以写成其不等价不可约表示的直和，故寻找一个群的所有不等价不可约表示有重要意义。内积和内积空间设V是数域C上的线性空间，将V中两个有序向量x，y映为复数域C上的一个数，满足：，有①；②；③（共轭）④，则称为的内积，而定义了内积的线性空间称为内积空间。内积空间中向量的长度或模：；向量垂直若；·系1证：·系2任何内积空间总存在正交归一基，。证：设是V的一个基，用施米特正交化方法可以构造正交归一基。作有又作有：，一般地，可令，可得正交归一基：（）。幺正变换设U是内积空间V上的线性变换，若对任意U保持x和y的内积不变，即：，则称U为V上的幺正变换。·系1幺正变换将正交归一基变为另一组正交归一基：。·系2记U+为幺正变换U的共轭变换，则其逆变换U-1=U+，U+U=E为恒等变换。证：内积空间上的线性变换A的共轭变换为A+，，有：故有，由于x，y任意，故有U+U=E，U-1=U+。·系3在正交归一基下，线性变换U的共轭变换U+的矩阵即酉矩阵有：[U+]=为[U]的转置共轭[U]*t(即)。（对于幺正变换有：）2.2.4群的酉表示群G到内积空间V中的幺正变换群A上的同态映射，称为群G的酉表示。系1群G到幺正矩阵群的同态，也是群G的酉表示。设V是内积空间，W是V的子空间，定义，为V中所有与W中矢量垂直的向量的集合，则有称为W的正交补空间。证明：设W的一个正交归一基为，可证与W中的任意矢量垂直：因，对成立，，故，从而；又若即则有：.若群G的酉表示A是可约的，则A是完全可约的。证明：设表示空间为V，G的表示A可约，则V有G不变的子空间W。由定理2.1有：为W的正交补空间；对；而W是G不变的，故故：即或故也是G不变的子空间。因此A是完全可约的。适当选择正交归一基A具有如下形式：。·系1.若W，中仍然有G不变的子空间，则上述分解可以继续进行下去，A最终可表示为：。其中整数为不可约酉表示表示中的重复度。有限群的每一个表示都有等价的酉表示。证明：设，为群G的表示若能找到相似变换X，对有，使为酉矩阵即则定理得证。（+表示矩阵的转置共轭）构造如下矩阵:为显然为厄密矩阵：W+=W，并且有如下性质：===可以检验如上的厄密矩阵可以表示为，X为非奇异矩阵：首先厄密矩阵总可以找到酉矩阵U使之完全对角化为，其对角元为实数，即：，并且可以发现为正定矩阵：故正定对角矩阵可以表示为形式，其中D也是正定对角矩阵。由可得：，。可以验证，X即为所寻找的使表示A化为酉表示的相似变换：令则＝＝＝＝＝=＝故为酉表示，得证。群的不可约表示建立了二维幺正幺模矩阵与欧勒角的关系后，本节将给出SU(2)群的不可约表示.SU(2)的群元素为二阶幺模幺正矩阵,.设二维空间的基元为,是与U相联系的变换算符，则亦即(1)容易证明(2)为了将SU(2)的表示空间的基矢与球谐函数相联系，通常将其取成(3)选择满足下列条件(4)亦即(5)下面将证明，若取(6)(4)式或(5)式成立,因为若将(6)代入(5)式得令，则上式变为：因此（4）或（5）式得以证明.由于为SU(2)群的表示空间的基矢，所以有：（7）其中就是SU(2)群的表示矩阵。而由(1)与(3)两式知：由二项式定理则上式变为：.令，当时，，当时，，则上式可变写成对与的求和，得：则上式与（7）式比较知：（8）下面来讨论一下，表示的一些性质.(1)由于共个取值，所以是维的.(2)表示是幺正的.由(4)与(7)得：亦即因此或，故（9）所以表示是幺正的.(3)是不可约的.由舒尔引理1知，如果矩阵M与所有的都对易，则当M为常数矩阵时，就是不可约表示.为此我们求出两种特殊情况下的矩阵.取，，则由（8）式知，只有当且时才不等于零，因此得：（10）其次在(8)式中，令，则只有当，才不为零，所以（11）如果M与(10)式所示的对易，则由于(10)式的是一非常数对角矩阵，所以M也应是一对角矩阵，即：（12）进一步，若M还与(11)式形式的矩阵对易，即：，或写成矩阵元的形式由(12)式，上式变为：由于矩阵元不恒等于零，所以，即M为一常数矩阵，所以（13）因此是一不可约表示.(4)（14）在(8)式中作代换，上式就可以得到证明.前面已经谈到，SO(3)与SU(2)同态，即对SO(3)群的每一元素R，都有SU(2)中的两个元素与之对应.反过来，SU(2)中的每一个元素，亦与SO(3)群的每一元素相对应.这样SU(2)群的每一个表示亦是SO(3)群的表示.当取整数时，由(14)式知，，这时将给出SO(3)群的单值表示，而这时SO(3)群将只有或一个表示，但当取半奇数时，由于，所以这时将给出SO(3)群的双值表示，即这时SO(3)群将有两个表示。1342第四章群的不等价不可约的判断条件艾森斯坦（Eisenstein)判别法的主要内容为：艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数不等价不可约群f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0,如果存在素数p，使得p不整除an，但整除其他ai,(i=0,1,...,n-1)；p²不整除a0，那么f(x)在有理数域上是不可约的。第五章判断条件的证明对不等价不可约群f(x)取模p，也就是把它的系数映射到整数模P的环上。这样它便化为f（x）≡cxn,0<c<p,c为非零常数。因为在域上的不等价不可约群有唯一分解，f在模p上会分解为单项式。如果f是在有理数上可约的，那么会有不等价不可约群g,h使得f=g×h。从上可知g和h取模p分别为dxk和exn-k，满足c=d×e。因为g和h模p的常数项为零，这表示g和h的常数项均可被p整除，所以f的常数项a0可以被p2整除，与f系数的假设矛盾。因此得证。依据牛顿图的理论在其p进制数域，我们考虑一系列点的下凸集。(0,1),(1,v1),(2,v2),...,(n−1,vn-1),(n,0),其中vi是ai关于p的最高次幂。对于一个艾森斯坦不等价不可约群，对0<i<n,vi≥1，v0=1vn=0,固而它的牛顿图即点列的下凸集应当是一条从(0,1)到(n,0)的线段，其斜率为。

结论本次毕业设计的题目是不等价不可约的群表示的判断，直到今天，毕业设计总算接近尾声了，通过这次对于不等价不可约的群表示的判断，使我们充分把握的设计方法和步骤，不仅复习所学的知识，而且还获得新的经验与启示，在各种软件的使用找到的资料或数据，会遇到不清楚的作业，老师和学生都能给予及时的指导，确保设计进度，本文所设计的是不等价不可约的群表示的判断，通过初期的思路的确定，查资料和开始正式做毕设，让我系统地了解到了所学知识的重要性，从而让我更加深刻地体会到做一门学问不易，需要不断钻研，不断进取才可要做的好，总之，本设计完成了老师和同学的帮助下，在大学研究的最感谢帮助过我的老师和同学，是大家的帮助才使我的论文得以通过。致谢在此论文完成之际，我的心里感到特别高兴和激动，在这里，我打心里向我的导师和同学们表示衷心的感谢！因为有了老师的谆谆教导，才让我学到了很多知识和做人的道理，由衷地感谢我亲爱的老师，您不仅在学术上对我精心指导，在生活上面也给予我无微不至的关怀支持和理解，在我的生命中给予的灵感，所以我才能顺利地完成大学阶段的学业，也学到了很多有用的知识，同时我的生活中的也有了一个明确的目标。知道想要什么，不再是过去的那个爱玩的我了。导师严谨的治学态度，创新的学术风格，认真负责，无私奉献，宽容豁达的教学态度都是我们应该学习和提倡的。通过近半年的设计计算，查找各类不等价不可约的群表示的判断的相关资料，论文终于完成了，我感到非常兴奋和高兴。虽然它是不完美的，是不是最好的，但在我心中，它是我最珍惜的，因为我是怎么想的，这是我付出的汗水获得的成果，是我在大学四年的知识和反映。四年的学习和生活，不仅丰富了我的知识，而且锻炼了我的个人能力，更重要的是来自老师和同学的潜移默化让我学到很多有用的知识，在这里，谢谢老师以及所有关心我和帮助我的人，谢谢大家。参考文献[1]徐灏等.高等数学[M](第二版）.北京：机械工业出版社，2003

[2]程悦荪.不等价