实验五 牛顿迭代法

实验五牛顿迭代法第1页，共14页，2023年，2月20日，星期六【实验准备】1.牛顿迭代法原理设已知方程的近似根

，则在附近

可用一阶泰勒多项式近似代替。因此，方程可近似表示为。用

近似表示

根差异不大。设，由于满足，解得

重复这以过程，得到迭代格式这就是著名得牛顿迭代公式，它相应的不动点方程为第2页，共14页，2023年，2月20日，星期六牛顿迭代法2.牛顿迭代法的几何解析在处做曲线的切线，切线方程为令可得切线与轴的交点坐标，这就是牛顿迭代法的迭代公式。因此，牛顿法又称“切线法”。第3页，共14页，2023年，2月20日，星期六3.牛顿迭代法的收敛性计算可得，设是的单根，有，则故在附近，有。根据不动点原理知牛顿迭代法收敛。4.牛顿迭代法的收敛速度定理（牛顿法收敛定理）设在区间上有二阶连续导数，且满足，在上不变号，在[a,b]上不等于0，令第4页，共14页，2023年，2月20日，星期六有，则对任意，牛顿迭代格式收敛于在中的唯一实根，且，牛顿迭代法为二阶收敛。

对不动点方程，它导出的迭代过程有可能发散，也可能收敛得非常缓慢。这时，我们有没有办法改进不动点方程，让迭代过程收敛得快一些呢？迭代过程的加速第5页，共14页，2023年，2月20日，星期六（1）一个简单办法注意到和都是不动点方程，它们的加权平均也是不动点方程，而且和有完全相同的不动点。适当选取的值，可以使发散的迭代过程变得收敛，使收敛慢的迭代过程变得收敛迅速。（2）加速的原因

在下面的实验中我们可以看到，在不动点附近的导数值在很大程度上决定了迭代过程的收敛性。的绝对值越小，收敛性越好。因此，选择使得。计算得到理想的值为，相应可计算出（1）一个简单办法注意到和都是不动点方程，它们的加权平均也是不动点方程，而且和有完全相同的不动点。适当选取的值，可以使发散的迭代过程变得收敛，使收敛慢的迭代过程变得收敛迅速。（2）加速的原因

在下面的实验中我们可以看到，在不动点附近的导数值在很大程度上决定了迭代过程的收敛性。的绝对值越小，收敛性越好。因此，选择使得。计算得到理想的值为，相应可计算出第6页，共14页，2023年，2月20日，星期六（3）的选取由于理想的值为，当变化不大时，可以取近似计算。（4）回到牛顿迭代法的讨论为求解方程，可以使用不动点方程，相应的迭代函数为

对进行加速所以，牛顿迭代法是对基本迭代格式进行加速的结果。5.迭代的MATLAB命令MATLAB中主要用for,while等控制流命令实现迭代。第7页，共14页，2023年，2月20日，星期六练习1用牛顿迭代法求方程在附近的近似根，误差不超过10-3。牛顿迭代法的迭代函数为：相应的matlab代码为：（运行）clear;x=0.5;fori=1:3x=x-(x^3+x^2+x-1)/(3*x^2+2x+1)end可算得迭代数列的前三项0.5455,0.5437,0.5437。经三次迭代就大大超了精度第8页，共14页，2023年，2月20日，星期六练习2用牛顿迭代法求方程的近似正实根，由此建立一种求平方根的计算方法。由计算可知，迭代格式为，在实验12的练习4中已经进行了讨论。练习3

用牛顿迭代法求方程的正根。牛顿迭代法的迭代函数为如果取初值为，相应的MATLAB代码为(运行)第9页，共14页，2023年，2月20日，星期六clearx=0;fori=1:6x=x-(x*exp(x)-1)/((x+1)*exp(x))end可得迭代数列前6项为1.0000，0.6839，0.57750.5672，0.5671，0.5671，说明迭代实收敛的。如果取初值为10，相应的MATLAB代码为clear;x=10.0;fori=1:20x=x-(x*exp(x)-1)/((x+1)*exp(x))y(i)=x;End（运行）第10页，共14页，2023年，2月20日，星期六可算得迭代数列的前20项为9.0909，8.19007.2989，6.4194，5.5544，4.7076，3.8844，3.0933，2.34871.6759，1.1195，0.7453，0.59020.5676，0.5671，0.5671，0.5671，0.5671，0.5671，0.5671,说明迭代是收敛的。如果取初值或，可算得迭代数列是发散的，根据函数图形分析原因。练习4

求方程在附近的根，精确到10-5先直接使用的迭代格式，相应的MATLAB代码为n=0;esp=1.05e-5;x=0.5;whileabs(x-exp(-x))>espx=exp(-x);n=n+1;endx,n（运行）结果为x=0.5671,n=17,说明迭代17次后达到精度要求。可算得迭代数列的前20项为9.0909，8.19007.2989，6.4194，5.5544，4.7076，3.8844，3.0933，2.34871.6759，1.1195，0.7453，0.59020.5676，0.5671，0.5671，0.5671，0.5671，0.5671，0.5671,说明迭代是收敛的。如果取初值或，可算得迭代数列是发散的，根据函数图形分析原因。练习4

求方程在附近的根，精确到10-5先直接使用的迭代格式，相应的MATLAB代码为n=0;esp=1.05e-5;x=0.5;whileabs(x-exp(-x))>espx=exp(-x);n=n+1;endx,n（运行）结果为x=0.5671,n=17,说明迭代17次后达到精度要求。第11页，共14页，2023年，2月20日，星期六为加快收敛速度，用构造迭代格式，由实验的预备知识中可知，取相应的MATLAB代码为n=0;eps=1.0e-5;x=0.5;whileabs(x-0.625*exp(-x)-0.375*x)>epsx=0.625*exp(-x)+0.375*x;n=n+1;endx,n结果为0.5671，n=3,说明迭代三次后达到精度要求。练习5

对练习中方程，用加快后的迭代格式求x=0.5附近的根，精确到10-5第12页，共14页，2023年，2月20日，星期六计算可得，相应的MATLAB代码为n=0;eps=1.0e-5;x=0.5;whileabs(x-(x+1)*exp(-x)/(1+exp(-x)))>epsx=(x+1)*exp(-x)/(1+exp(-x));n=n+1;endx,n结果为x=0.5671,n=2,说明迭代2次后达到精度要求。