抛物线的几何性质

（优选）抛物线的几何性质ppt讲解现在是1页\一共有32页\编辑于星期六现在是2页\一共有32页\编辑于星期六现在是3页\一共有32页\编辑于星期六现在是4页\一共有32页\编辑于星期六1、抛物线定义

在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.2、抛物线的标准方程(1)开口向右y2=2px(p>0)(2)开口向左y2=-2px(p>0)(3)开口向上x2=2py(p>0)(4)开口向下x2=-2py(p>0)M·Fl·e=1焦点准线现在是5页\一共有32页\编辑于星期六由抛物线y2=2px（p>0）有所以抛物线的范围为如何研究抛物线y2=2px（p>0）的几何性质?类比椭圆和双曲线可以从几个方面来研究？1、范围现在是6页\一共有32页\编辑于星期六关于x轴对称即点(x,-y)

也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，2、对称性现在是7页\一共有32页\编辑于星期六

定义：抛物线与坐标轴的交点称为抛物线的顶点。y2=2px(p>0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p>0)的顶点是（0，0）.3、顶点现在是8页\一共有32页\编辑于星期六P(x,y)

抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。

由定义知，抛物线y2=2px(p>0)的离心率为e=1.4、离心率现在是9页\一共有32页\编辑于星期六xyOFABy2=2px2p过焦点且垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大.5、通径现在是10页\一共有32页\编辑于星期六连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：xyOFP(x0,y0)6、焦半径1、当焦点在x轴上时，2、当焦点在y轴上时，现在是11页\一共有32页\编辑于星期六方程图形范围对称性顶点焦半径离心率通径

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称

关于x轴对称

关于y轴对称

关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）2p2p2p2p1111现在是12页\一共有32页\编辑于星期六归纳:

(1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；

(2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；

(4)、抛物线的离心率e是确定的为１,⑸、抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大.现在是13页\一共有32页\编辑于星期六

例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程，并用描点法画出图形。

因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），解：所以设方程为：又因为点M在抛物线上：所以：因此所求抛物线标准方程为：例题讲解：现在是14页\一共有32页\编辑于星期六作图：(1)列表（在第一象限内列表）x01234…y…(2)描点：(3)连线：11xyO现在是15页\一共有32页\编辑于星期六对应训练：求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且经过点M(5,-4).现在是16页\一共有32页\编辑于星期六探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。光学性质：现在是17页\一共有32页\编辑于星期六例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyO(40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=故所求抛物线的标准方程为:y2=x,焦点为(,0)现在是18页\一共有32页\编辑于星期六

1、已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则P

=

。

2、抛物线的弦AB垂直x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离为

。42巩固提高：3、求满足下列条件的抛物线的标准方程：焦点在直线x-2y-4=0上.现在是19页\一共有32页\编辑于星期六抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为2P,2P越大，抛物线的张口越大.1、范围：2、对称性：3、顶点：4、离心率：5、通径：6、光学性质：从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束.你学会了吗？现在是20页\一共有32页\编辑于星期六

过焦点弦长问题例2：过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为45度的直线交抛物线与A，B两点，求∣AB∣

xyOFAB考点2现在是21页\一共有32页\编辑于星期六分析，求出A，B两点坐标，然后利用两点间的距离公式可得∣AB∣解（法一）由条件可得F（1，0）则直线的方程为：y=x-1

由

可得解得由两点距离公式可得∣AB∣=8（法二）利用方程，利用弦长公式同样可得∣AB∣=8xyOFAB现在是22页\一共有32页\编辑于星期六分析：利用抛物线性质解决问题解(法三)如图可知设A(x1,y1),B(x2,y2)∣AB∣=∣AF∣+∣BF∣=x1+1+x2+1=x1+x2+1+1由上知x1，x2是方程的两根，故x1+x2=6，所以∣AB∣=6+2=8xyOFABB’A’现在是23页\一共有32页\编辑于星期六一般地:若过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则∣AB∣有最小值吗？若有又为多少？想一想？？现在是24页\一共有32页\编辑于星期六运用2、过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为？运用1、过抛物线y2=4x的焦点作直线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,求|AB|的值练习、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，求抛物线通径长.现在是25页\一共有32页\编辑于星期六xyO1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）考点三、直线与抛物线位置关系现在是26页\一共有32页\编辑于星期六1、直线与抛物线的对称轴平行例：计算直线y=6与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标xyO现在是27页\一共有32页\编辑于星期六2、直线与抛物线的对称轴不平行计算直线y=x-1与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交。xyO现在是28页\一共有32页\编辑于星期六例3、已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P（-2，1）,斜率为k,当k为何值时，直线l与抛物线：（1）两个公共点；（2）没有公共点。（3）只有一个公共点；现在是2