大连理工大学线性代数A卷答案(2015.6)

AAPAGE2姓名学号 院系 级 班

大连理工大学课程名称线性代数 试卷A 考试形式闭授课院（系数学科学学院 考试日期2015年6月6日 试卷6页一二三四五六七八九总分标准分30108108101266100得分得分装 一（每小题3分，共30分）填空得分

1 1 4 1.设a1,5,T,b,4

，则(abT)30

8295 5 203 3 12AA2A

4,A1 ,2A2 32.121设aaa

A(a

,a),B(a

a,

a,3a

),A1，1 2 3

1 2 3

1 2 2 3 3则B 30 0 1 订 4. 0 1

1 2 1 2 1 1 2 3

0 0设向量组aa

线性无关，则向量组b

ama,

aka,

a

线性无关的1 2 3

1 1 2 2

3 3 1 3充要条件是m和kmk2 设列向量组a

Aa

Ax

的通解为k3

21 2 1 2 1

1 2 0设αAEkααT是正交阵，则kk2线 8.设三阶方阵A和B相似，A0,tr(B)r(2EB)2,则AE 39. f(x,x,x)x24x2kx22kxx

为正定二次型的充要条件是k满足0k21 2 3 1 2 3 122 10.设αβαTβ2，则矩阵αβT的相似标准形为得分（210分）选择题得分

000设B都是n阶方阵，E为n阶单位矩阵下列选项正确的是（C ）（A）A2B2(AB)(AB).（B）A2EAEAE.（C）(AE)2A22AE.（D）(AB)2A2B2.设方阵A经过初等变换化为方阵B，则下列选项正确的是（B ）B.r(A)r(B).AB.Ax0Bx0同解.α,

β,,

，若存在两组不全为零的数,,

和k,,k，使1 m 1 m 1 m 1 m(k)α1 1 1

(m

k)αm

(1

k)β1

(m

k)βm

=0，则（ C ）正确。α,,α

β,,

都线性相关；1 mα,,α

1 和β,,β

都线性无关；1α

m 1β,,α

m,αβ,,

β 线性相关；1 1 m m 1 1 m mα

β,,

β ,

β,,

β 线性无关。1 1 m

m 1 1

m mA αA为nα为n元列向量，若r(αT

)r(A)，则（ D ）正确。00（A）Axα必有无穷多解； （B）Axα必有唯一解；A αx0 A αx0

只有零解；（D）

必有非零解.αT

0y αT

0y设αα

Aα

,BA,α,2

，则B的特1 2 3

1 2 3

2 1 3征值为（ A ）得分2kkkkk2kkkkkk1kkkk210得分2kkkkk2kkkkkk1kkkk21000kk2kkk 20200kkk1kk20010kkkk2k20002 27kkkkk0100000200=8+28k00010000021 1 2 0 30 1 1 1 2得分四（10分已知矩阵A 的秩为3求k及A的列向量组得分1 1 2 1 1 1 4 3 kA的其它列向量用该极大无关组线性表示。1 1 2 0 1 1 2

011120 1 1 2112120 0011143k0 223k解：A

3112031120301112011120001100011 0 0k2

0 1 k1 0 0 0 0 k2a,a,a

A的列向量组的一个极大无关组（

表示A的第i列）1 2 4 i当k210A0

0 31 0 0

0 0 11 10 0 0 0 00a3a3 1

a,a2

2aaa1 2 4得分（8分）R3的两个基a得分1

1,1,T,a2

1,2,T,a3

0,2,T和b3,3,2T,b1,1,T,b1,4,2T（1）求从基a,a,a到基1 2 3 1 2 3b,b,b

的过渡矩阵P.（2）求向量bb

在基aa

下的坐标向量。1 2 3 1 2 1 2 31）记Aa,a,a,Bb,b,b

，则有BAP1 2 3 1 2 31 1 0 PA1B2 0 0 1 1（2）向量b

在基aa

下的坐标向量为2,2,1T1 2 1 2 3

xxx2得分1 2 3得分（10分）当ab满足什么条件时，方程组3x2xxb21 2 3xxax11 2 3有唯一解；无解；有无穷多解？并在有无穷多解时，求该方程组的通解.1 1 1 2 1 1 2 1 2 解3 1 b0 1 b6 2 1 a 1 0 1 a2 3 0 当a0时，有唯一解；当a0且b3时，无解；当a0且b3时，有无穷多解。

a 3b通解为xk1,2,T1,3,0Ta 1 1 1 得分 七(12分)设A1 a 1与B 1 相似（1）得分 1 1 0 b（2）求正交阵Q，使Q1AQB.（3）设xx,x

,xT,yy,y,

T，求出二1 2 3 1 2 3次型f(x)xTAx在正交变换xQy下的标准形。（）a0,b2（2）1

p1

1,1,T,p2

1,0,T2p2

1,1,T 1 1 1263 263131326通过正交化和单位化，求得Q 1 1266 0 6

13（3）所求标准形为y2y22y21 2 3得分（6分）A为n得分

2ArArA2E)证：由A2

2AAA2E)O,rArA2E由rArA2ErAA2Er(2En.所以