中考数学二轮复习考点精讲专题41 几何问题（2）之综合问题【热点专题】（教师版）

专题41几何问题（2）之综合问题专题41几何问题（2）之综合问题题型精讲题型精讲题型一：材料阅读创新【例1】（2021·湖北中考真题）问题提出如图（1），在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内部，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合时，直接写出一个等式，表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系；（2）再探究一般情形．如图（1），当点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常数），点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内部，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，直接写出一个等式，表示线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系．【答案】（1）SKIPIF1<0．（2）见解析；问题拓展：SKIPIF1<0．【分析】（1）先证明△BCE≌△ACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF=SKIPIF1<0；（2）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可．【详解】问题探究（1）SKIPIF1<0．理由如下：如图（2），∵∠BCA=∠ECF=90°，∴∠BCE=∠ACF，∵BC=AC，EC=CF，△BCE≌△ACF，∴BE=AF，∴BF-BE=BF-AF=EF=SKIPIF1<0；（2）证明：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．问题拓展SKIPIF1<0．理由如下：∵∠BCA=∠ECD=90°，∴∠BCE=∠ACD，∵BC=kAC，EC=kCD，∴△BCE∽△ACD，∴∠EBC=∠FAC，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点M，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴△BCM∽△ACF，∴BM:AF=BC:AC=MC:CF=k，∴BM=kAF,MC=kCF，∴BF-BM=MF，MF=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0∴BF-kAF=SKIPIF1<0．【例2】（2021·浙江中考真题）（证明体验）（1）如图1，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的角平分线，SKIPIF1<0，点E在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F为SKIPIF1<0上一点，连结SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．（拓展延伸）（3）如图3，在四边形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，点E在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）根据SAS证明SKIPIF1<0，进而即可得到结论；（2）先证明SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，进而即可求解；（3）在SKIPIF1<0上取一点F，使得SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，最后证明SKIPIF1<0，即可求解．【详解】解：（1）∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）如图，在SKIPIF1<0上取一点F，使得SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．题型二：定义材料阅读【例3】（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y=3x+23上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2【分析】（1）根据平移的性质，以及线段AB到⊙O的“平移距离”的定义判断即可．（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线y=3x+23交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，23），过点E作EH⊥MN于H，解直角三角形求出EH（3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′和等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，点A′与M重合时，AA′的值最小，当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H．解直角三角形求出AA′即可．【解析】（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”．故答案为：P1P2∥P3P4，P3．（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线y=3x+23交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，23过点E作EH⊥MN于H，∵OM＝2，ON＝23，∴tan∠NMO=3∴∠NMO＝60°，∴EH＝EM•sin60°=3观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为32（3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，当点A′与M重合时，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM=52−当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H．由题意A′H=32，AH∴AA′的最大值=(∴32≤d2题型三：操作材料阅读【例4】（2021·吉林中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则SKIPIF1<0度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则SKIPIF1<0度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证SKIPIF1<0：．（2）若SKIPIF1<0，则线段AP的长为．【答案】操作一：45°，操作二：60°；（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0【分析】操作一：直接利用折叠的性质，得出两组全等三角形，从而得出SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,从而得出∠EAF的值；操作二：根据折叠的性质得出SKIPIF1<0,从而得出SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0的度数；（1）首先利用SKIPIF1<0,得出SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,从而得出△ANF为等腰直角三角形，即可证得SKIPIF1<0；（2）利用三角函数或者勾股定理求出BE的长，则SKIPIF1<0,设DF=x，那么FC=SKIPIF1<0，在Rt△EFC中，利用勾股定理得出DF的长，也就是MF的长，即可求得EF的长，进而可得结果．【详解】操作一：45°，证明如下：∵SKIPIF1<0折叠得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0折叠得到SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故填：45°；操作二：60°，证明如下：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0沿着EF折叠得到SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,故填：60°；（1）证明：由上述证明得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∵四边形ABCD为正方形，∴∠C=∠D=90°，∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0为等腰直角三角形，即AN=NF,在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中：∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）由题可知SKIPIF1<0是直角三角形，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,解得BE=1,∴BE=EM=1,SKIPIF1<0,设DF=x，则MF=x，CF=SKIPIF1<0，在Rt△CEF中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得x=SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴AP=EF=SKIPIF1<0．【例5】（2021·青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作SKIPIF1<0等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：对折矩形纸片SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，得到折痕SKIPIF1<0，把纸片展开（如图13-1）．第二步：再一次折叠纸片，使点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上，并使折痕经过点SKIPIF1<0，得到折痕SKIPIF1<0，同时得到线段SKIPIF1<0（如图13-2）．猜想论证：（1）若延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，如图13-3所示，试判定SKIPIF1<0的形状，并证明你的结论．拓展探究：（2）在图13-3中，若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0满足什么关系时，才能在矩形纸片SKIPIF1<0中剪出符（1）中的等边三角形SKIPIF1<0？【答案】(1)SKIPIF1<0是等边三角形，理由见解析；（2）SKIPIF1<0，理由见解析【分析】（1）连接SKIPIF1<0，由折叠性质可得SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后可得到SKIPIF1<0，即可判定SKIPIF1<0是等边三角形．（2）由折叠可知SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0的三角函数即可求得．【详解】（1）解：SKIPIF1<0是等边三角形，证明如下：连接SKIPIF1<0．由折叠可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等边三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等边三角形．（2）解：方法一：要在矩形纸片SKIPIF1<0上剪出等边SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或（SKIPIF1<0）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边SKIPIF1<0．方法二：要在矩形纸片SKIPIF1<0上剪出等边SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边SKIPIF1<0．提分作业提分作业1．（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试猜想SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点）所在直线折叠，如图②，点SKIPIF1<0的对应点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，请判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将SKIPIF1<0沿过点SKIPIF1<0的直线折叠，如图③，点A的对应点为SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，折痕交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．该小组提出一个问题：若此SKIPIF1<0的面积为20，边长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求图中阴影部分（四边形SKIPIF1<0）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】（1）SKIPIF1<0；见解析；（2）SKIPIF1<0，见解析；（3）SKIPIF1<0．【分析】（1）如图，分别延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点P，根据平行四边形的性质可得SKIPIF1<0，根据平行线的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用AAS可证明△PDF≌△BCF，根据全等三角形的性质可得SKIPIF1<0，根据直角三角形斜边中线的性质可得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0；（2）根据折叠性质可得∠CFB=∠C′FB=SKIPIF1<0∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根据等腰三角形的性质可得∠FDC′=∠FC′D，根据三角形外角性质可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG=SKIPIF1<0，可得AG=BG；（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根据SKIPIF1<0可得A′B⊥AB，即可证明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，进而可证明△A′NH∽△CBH，根据相似三角形的性质可得A′H、NH的长，根据NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根据相似三角形的性质可求出MQ的长，根据S阴=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．【详解】（1）SKIPIF1<0．如图，分别延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点P，∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，在△PDF和△BCF中，SKIPIF1<0，∴△PDF≌△BCF，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0．∵将SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0所在直线折叠，点SKIPIF1<0的对应点为SKIPIF1<0，∴∠CFB=∠C′FB=SKIPIF1<0∠CFC′，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴∠FDC′=∠FC′D，∵SKIPIF1<0=∠FDC′+∠FC′D，∴SKIPIF1<0，∴∠FC′D=∠C′FB，∴SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0，DC=AB，∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，∵SKIPIF1<0的面积为20，边长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，∴BH=50÷5=4，∴CH=SKIPIF1<0，A′H=A′B-BH=1，∵将SKIPIF1<0沿过点SKIPIF1<0的直线折叠，点A的对应点为SKIPIF1<0，∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，∵SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，AB//CD，∴SKIPIF1<0，∴∠MBH=45°，∴△MBQ是等腰直角三角形，∴MQ=BQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∴∠A′=∠C，∵∠A′HN=∠CHB，∴△A′NH∽△CBH，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：NH=2，∵SKIPIF1<0，MQ⊥A′B，∴NH//MQ，∴△A′NH∽△A′MQ，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：MQ=SKIPIF1<0，∴S阴=S△A′MB-S△A′NH=SKIPIF1<0A′B·MQ-SKIPIF1<0A′H·NH=SKIPIF1<0×5×SKIPIF1<0-SKIPIF1<0×1×2=SKIPIF1<0．2．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0，得到矩形SKIPIF1<0[探究1]如图1，当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0恰好在SKIPIF1<0延长线上．若SKIPIF1<0，求BC的长．[探究2]如图2，连结SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（如图3），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0存在一定的数量关系，并加以证明．【答案】[探究1]SKIPIF1<0；[探究2]SKIPIF1<0，证明见解析；[探究3]SKIPIF1<0，证明见解析【分析】[探究1]设SKIPIF1<0，根据旋转和矩形的性质得出SKIPIF1<0，从而得出SKIPIF1<0，得出比例式SKIPIF1<0，列出方程解方程即可；[探究2]先利用SAS得出SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再结合已知条件得出SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0；[探究3]连结SKIPIF1<0，先利用SSS得出SKIPIF1<0，从而证得SKIPIF1<0，再利用两角对应相等得出SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0即可得出结论．【详解】[探究1]如图1，设SKIPIF1<0．∵矩形SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0得到矩形SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在同一直线上．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0延长线上，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（不合题意，舍去）∴SKIPIF1<0．[探究2]SKIPIF1<0．证明：如图2，连结SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．[探究3]关系式为SKIPIF1<0．证明：如图3，连结SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．3．（2020·山东中考真题）在等腰△ABC中，AC＝BC，SKIPIF1<0是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝SKIPIF1<0∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．（1）当∠CAB＝45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是．线段BE与线段CF的数量关系是；②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把SKIPIF1<0绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②仍然成立，证明见解析；（2）SKIPIF1<0，理由见解析．【分析】（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．首先证明SKIPIF1<0再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．②解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．证明SKIPIF1<0（SAS），可得结论．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把SKIPIF1<0绕点C逆时针旋转90°得到SKIPIF1<0，连接DT，GT，BG．证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，可得结论．（2）结论：BE＝SKIPIF1<0．如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．证明SKIPIF1<0，可得结论．【详解】解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．∵CA＝CB，∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠ACB＝90°，∵∠ADE＝SKIPIF1<0∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AD＝AE，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴AT⊥DE，DT＝ET，∴AB垂直平分DE，∴BD＝BE，∵∠BCD＝90°，DF＝FB，∴CF＝SKIPIF1<0BD，∴CF＝SKIPIF1<0BE．故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝SKIPIF1<0BE．②结论不变．解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，由①得：SKIPIF1<0设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a，SKIPIF1<0点F是BD的中点，则DF＝FB＝a+x，∵AM＝BM，∴y+a＝a+2x，∴y＝2x，即AD＝2FM，∵AM＝BM，EN＝BN，∴AE＝2MN，MN∥AE，∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，∴∠CMF＝∠BMN＝90°，∴SKIPIF1<0（SAS），∴CF＝BN，∵BE＝2BN，∴CF＝SKIPIF1<0BE．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到SKIPIF1<0，连接DT，GT，BG．∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，∵∠CAB＝45°，∴∠CAG＝90°，∴AC⊥AG，∴AC∥DE，∵∠ACB＝∠CBT＝90°，SKIPIF1<0∴AC∥BT∥SKIPIF1<0，∵AG＝BT，∴DG＝BT＝EG，∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，∴BD与GT互相平分，SKIPIF1<0∵点F是BD的中点，∴BD与GT交于点F，∴GF＝FT，由旋转可得；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∴CF＝FG＝FT，∴CF＝SKIPIF1<0BE．（2）结论：BE＝SKIPIF1<0．理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，∵AT＝TB，∴CT⊥AB，SKIPIF1<0∴AT＝SKIPIF1<0，∴AB＝SKIPIF1<0，∵DF＝FB，AT＝TB，∴TF∥AD，AD＝2FT，∴∠FTB＝∠CAB＝30°，∵∠CTB＝∠DAE＝90°，∴∠CTF＝∠BAE＝60°，∵∠ADE＝SKIPIF1<0∠ACB＝60°，SKIPIF1<0∴AE＝SKIPIF1<0AD＝SKIPIF1<0FT，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．4．（2021·浙江中考真题）（推理）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．（1）求证：SKIPIF1<0．（运用）（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求线段DE的长．（拓展）（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值（用含k的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）SK