【典型例题系列】2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列之第三单元最大公因数与最小公倍数部分（解析版）苏教版

2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列之第三单元最大公因数与最小公倍数部分（解析版）编者的话：《2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。本专题是第三单元最大公因数与最小公倍数部分。本部分内容主要是最大公因数和最小公倍数的求法及其应用，建议作为本章重点内容进行讲解，考点划分较多，共划分为十四个考点，欢迎使用。【考点一】求最大公因数。【方法点拨】1.最大公因数的定义几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数2.求两个数的最大公因数的方法：（1）列举法；（2）短除法3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。注意：求两个数的最大公因数用小括号表示。【典型例题】求最大公因数。（1）18和6（2）11和13（3）8和36（4）18和24解析：6；1；4；6【对应练习1】求下面每组数的最大公因数。6和10

18和24

34和17解析：2；6；17【对应练习2】写出每组数的最大公因数。（4，50）＝

（10，25）＝

（20，21）＝

（12，36）＝解析：2；5；1；12【对应练习3】求两组数的最大公因数。24和60

36和45解析：12；9【考点二】求最小公倍数。【方法点拨】1.最小公倍数的定义：几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。2.求最小公倍数的方法：（1）列举法；（2）短除法。3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。注意：求两个数的最小公因数用中括号表示。【典型例题】求下面每组数的最小公倍数。（1）28和21（2）11和7（3）34和68解析：84；77；68【对应练习1】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。12和10

6和15

42和7

8和9

18和24

11和17解析：2，60；3，30；7，421，72；6，72；1，187【对应练习2】求下面每组数的最小公倍数。8和10

12和18

13和39解析：40；36；39【考点三】分解质因数求最大公因数和最小公倍数。【方法点拨】分解质因数求最大公因数和最小公倍数：求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。【典型例题】已知a＝2×3×7，b＝2×5×7，a和b的最小公倍数是()，最大公因数是()。解析：210

14a和b的最小公倍数是2×3×5×7＝210；它们的最大公因数是2×7＝14。【对应练习1】A＝3×5×7，B＝2×3×3×7，则A和B的最大公因数是()，最小公倍数是()。解析：因为A＝3×5×7，B＝2×3×3×7，所以有：最大公因数：3×7＝21最小公倍数：3×5×7×2×3＝630【对应练习2】A=2×5，B=3×5，A和B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。解析：5

30【对应练习3】A＝2×2×3，B＝2×3×3，A和B的最小公倍数是()。解析：36【考点四】求三个数的最大公因数和最小公倍数。【方法点拨】求三个数的最大公因数和最小公倍数用短除法。【典型例题】求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。13、39和117

42、56和84

240、840和360解析：（13,39,117）=13

（42,56,84）=14

(240,840,360)=120[13,39,117]=117

[42,56,84]=168

[240,840,360]=5040【对应练习1】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。54，72和9060，90和120解析：略。【对应练习2】用短除法求下列数的最大公因数和最小公倍数．286和429

384，192和64解析：143，858；64，384【考点五】求最大公因数和最小公倍数的特殊情况一：互质数。【方法点拨】1.公因数只有1的两个数，叫做互质数。2.当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。【典型例题】b和t是互质数，它们的最大公因数是()，最小公倍数是()。解析：1

bt【对应练习1】两个连续的自然数（均不为0），它们的最大公因数是()，最小公倍数是()。解析：1

它们的乘积【对应练习2】如果a，b的公因数只有1，那它们的最大公因数是()，最小公倍数是()。解析：1

ab【考点六】求最大公因数和最小公倍数的特殊情况二：倍数关系。【方法点拨】当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。【典型例题1】如果m＝9n（m和n都是不为0的整数），那么m和n的最大公因数是（

）。A．mB．9C．nD．mn解析：C【对应练习1】甲数是乙数的倍数，则两数的最大公因数是（

）。A．甲数B．乙数C．无法确定解析：B【对应练习2】已知a÷b＝8，那么a和b的最大公因数是（

）。A．aB．bC．8解析：B【对应练习3】12和60的最大公因数是()。解析：12【典型例题2】3和9的最小公倍数是()解析：9【对应练习1】A÷B＝5（A和B都不为0），A和B的最小公倍数是()。解析：A【对应练习2】如果a÷b＝3（a、b都是非零自然数），那么a和b的最小公倍数是()。解析：a【考点七】最大公因数的应用：分线段问题。【方法点拨】分线段问题解题步骤：（1）分析每小段的长度和每条线段长度的关系；（2）短除法求最大公因数。注意：要看清题目问的是每个小段的长度还是求一共可以分成多少个小段。【典型例题】两条钢条，一根长18米，一根长24米，要把它们截成同样长的小段且没有剩余，那么每段最长可以是多少米？一共截成多少段？解析：每段最长∶（18，24）=2×3=6（米）一共可以截∶18÷6+24÷6=7（段）。【对应练习1】两根电线，第一根长28米，第二根长42米，要把它们截成同样长的小段，而目不能有剩余，每小段最长是多少米?此时一共能截成几段?解析：最大公因数：（28，42）=2×7=1428÷14+42÷14=2+3=5（段），每小段最长是14米，一共能截成5段。【对应练习2】将两根长分别为24米和16米的绳子，截成相等的小段并且没有剩余，剪完后的小段绳子最长是多少米?解析：（24，16）=8（米）【对应练习3】有两根绳子，长度分别是27米和45米，要把它们截成同样长的小段，没有剩余，每小段绳子最长是多少米？一共可以截成多少小段？解析：27＝3×3×345＝3×3×5最大公因数：3×3＝927÷9＋45÷9＝3＋5＝8（段）答：每小段绳子最长是9米，一共可以截成8小段。【考点八】最大公因数的应用：分长方形问题。【方法点拨】分长方形问题解题步骤（1）分析每个小正方形的边长和大长方形的长、宽之间的关系；（2）短除法求最大公因数。注意：要看清题目问的是小正方形的边长还是求一共可以分成多少个小正方形。【典型例题】给一个长32分米，宽24分米的房间铺正方形地砖，如果要让使用的地砖必须都是整块，选择的地砖边长最大是多少分米?至少需要几块?解析：32和24的最大公因数是2×2×2=8，即正方形地砖的边长是8分米(32÷8)×(24÷8)=4×3=12（块）答：选择的地砖边长最大是8分米，至少需要12块。【对应练习1】一个长方形铜片长24厘米，宽18厘米，要剪成面积相等的小正方形，且没有剩余，每个正方形的面积最大是多少平方厘米?一共可以剪成多少块这样的小正方形?解析：24和18的最大公因数是66×6=36（cm2）24÷6=4（个）18÷6=3（个）3×4=12（个）答∶每个正方形的面积最大是36cm²，一共可以剪成12块这样的小正方形。【对应练习2】丁丁家卫生间地面是一个长方形，长30dm，宽24dm。如果要选择正方形方砖来铺这个地面，且恰好铺满。（方砖不可切割，方砖的边长取整分米数）（1）符合条件的方砖有几种？请表示出你的思考过程。（2）要使方砖的块数最少，每块方砖的面积是多少dm2？解析：（1）30因数有：1，2，3，5，6，10，15，3024因数有：1，2，3，4，6，8，12，2430和24共有因数：1，2，3、6符合条件的方砖有边长是1dm、2dm、3dm、6dm，共4种。答：符合条件的方砖有4种。（2）30＝2×3×524＝2×2×2×330和24的最大公因数是：2×3＝66×6＝36（dm2）答：要使方砖的块数最少，每块方砖的面积是36dm2。【对应练习3】有一张长16厘米，宽12厘米的长方形纸。要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是几厘米？可以剪多少个这样的正方形？解析：16＝2×2×2×212＝2×2×32×2＝4（厘米）16×12÷（4×4）＝192÷16＝12（个）答：剪出的正方形的边长最大是4厘米，可以剪12个这样的正方形。【考点九】最小公倍数的应用：分东西问题。【方法点拨】分东西问题：若平均分给m个小朋友可以恰好分完，那么总数是m的倍数，若平均分给n个小朋友可以恰好分完，那么总数也是n的倍数，所以总数是m和n的公倍数，根据题目要求求出符合题意的公倍数即可。【典型例题】幼儿园阿姨准备给小朋友们发小红花，如果平均发给5个小朋友或6个小朋友都能恰好发完，那么这批小红花至少有多少朵?解析：小红花至少有∶[5，6]=5×6=30（朵）答∶这批小红花至少有30朵。【对应练习1】有一袋糖，无论是分给6个小朋友，还是分给9个小朋友，都正好分完。这袋糖至少有多少块?解析：一袋糖无论分给6个小朋友，还是分给9个小朋友，都正好分完，说明糖的总数既是6的倍数，又是9的倍数，[6，9]=18，故这袋糖至少18块。【对应练习2】妈妈买了一盒巧克力，无论平均分给5个人还是7个人，都刚好分完，那么这盒巧克力最少有多少颗？解析：依题意得，巧克力总数应该是5和7的公倍数.其中最小的是35，所以这盒巧克力最少有35颗。【对应练习3】一袋糖，4颗4颗地分、5颗5颗地分、6颗6颗地分，都正好分完而没有剩余，这袋糖最少有（

）颗。A．30B．60C．120解析：B【考点十】最小公倍数的应用：人数问题。【方法点拨】在一定范围内求总人数，首先求出最小公倍数，然后在条件给的范围内求出对应的人数。【典型例题】五年级同学不到40人，参加广播操比赛，每行6人或9人都正好排成整行，这个班学生最多（

）人。A．18B．36C．50D．54解析：B【对应练习1】五（4）班的人数在40至50人之间，队列比赛中，无论是4人一排，还是6人一排，都正好排完。五（4）班一共有（

）人。A．42B．44C．46D．48解析：D【对应练习2】学校的会议室里可以坐的人数在80～100之间，并且这个人数同时是2、3、5的倍数，学校会议室里能坐()人，把这个数分解质因数是()。解析：90

90＝2×3×3×5【对应练习3】一个数同时是2、3、5的倍数，而且这个数比50大，比100小，这个数是()或()。解析：60

90【考点十一】最小公倍数的应用：日期问题。【方法点拨】日期问题：日期问题也是典型的公倍数问题，注意分析有没有到下个月，以及每个月最后一天是几号。【典型例题】图书馆每天都开门，甲，乙两人都在图书馆借书。甲每3天去一次；乙每4天去一次，11月1日两人同时去了一次图书馆，那么两人下次都去图书馆时是几月几日？解析：先求3和4的最小公倍数，求出是12，说明甲和乙每12天去一次图书馆；由于11月1日两人同时去了一次图书馆，从11月2日开始算，到第12天正好是11月13日，列式∶12+1=13，所以两人下次都去图书馆时是11月13日。【对应练习1】甲、乙两人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每9天去一次，如果4月3日他们两人在图书馆相遇，那么下一次他俩都到图书馆是几月几日?解析：求6和9的最小公倍数：18，所以18天后他俩再次相遇，即4月21日。【对应练习2】小明和小红都喜欢去图书馆看书，小明每5天去一次，小红每4天去一次，5月3日，他们一起到了图书馆，下次遇到是在几月几日?解析：5和4的最小公倍数为：4×5=20，3＋20=23所以，下次遇到是在5月23日。【对应练习3】小明、小英两人定期到五保户王奶奶家帮助王奶奶打扫卫生，小明每6天去一次，小英每9天去一次。如果5月17日他们在王奶奶家见面了，那么下次两人在王奶奶家见面的日期是哪一天?解析：6月4日。【考点十二】最小公倍数的应用：同余数问题。【方法点拨】同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。遇到有剩余且剩余的数量一样多时，先求最小公倍数，再把剩余的加上。【典型例题】王老师给学生们分糖果，每人分到的糖果一样多，无论分给3个人还是分给5个人，最后都剩下2块糖果，那么王老师最少有多少块糖果?解析：列式：[3，5]=3×5=1515+2=17（块）答：王老师最少有17块糖果。【对应练习1】把一些苹果平均分给小朋友，无论是分给6人，还是分给8人，都正好多3个，这些苹果最少有多少个?（苹果数大于10）解析：2×3×4+3=27（个）【对应练习2】有一盒铅笔，平均分给4个小朋友余1支，平均分给6个小朋友也余1支。这盒铅笔最少有多少支?（铅笔数大于10）解析：4和6的最小公倍数是1212+1=13（支）【对应练习3】一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？解析：[3、5、7]＝105105＋2＝107答：这个数最小是107。【考点十三】最小公倍数的应用：同差问题。【方法点拨】同差问题：差相同时，加上差得到整除。【典型例题】有一些糖果，平均分给8个人多7块，平均分给6个人多5块，这些糖果最少有多少块?解析：由题可知，这些糖果加上1块就变为了8和6的公倍数，通过短除法求出最小公倍数为24，则这些糖果最少有23块。【对应练习1】某班同学排队，排成7排多3人，排成8排少4人。这个班至少有()人。加上4人后，总人数既是7的倍数，也是8的倍数；解析：（人）（人）所以这个班至少有52人。【对应练习2】把一些糖果平均分给4个小朋友或6个小朋友都少2颗，这些糖果至少有()颗。解析：4和6的最小公倍数是12；（颗）所以这些糖果至少有10颗。【对应练习3】一些贝壳，4个4个地数，最后多1个