2017届江西省南昌市三校（南昌南昌南铁）高三12月联考数学（理）试题

南昌市三校（南昌、南昌、南铁）高三第三次联考试卷数学（理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中)1．已知复数z满足（z+1）·i=1－i,则z=()A.－2＋iB.2＋iC.－2－iD.2－i2．下列命题中，真命题是()A.．存在B．的充要条件是C.任意D．是的充分条件3.在各项都为正数的等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5·a6的最大值等于()A．3B．6C．9D．364．设m=,n=则m,n,p的大小顺序为（）A.m>p>nB.p>n>mC.n>m>pD.m>n>p5.下列命题正确的是 ()A．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))内单调递增B．函数y＝cos4x－sin4x的最小正周期为2πC．函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象是关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))成中心对称的图形D．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象是关于直线x＝eq\f(π,6)成轴对称的图形6.直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.eq\f(4,3)B．2C.eq\f(8,3)D.eq\f(16\r(2),3)7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A．21＋eq\r(3) B．18＋eq\r(3)C．21 D．188.在平行四边形ABCD中，∠A＝eq\f(π,3)，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足eq\f(|\o(BM,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(CN,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的取值范围是()A．[2,5] B．(1,5)C．[1,5) D．(2,5]9、已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着,在翻着过程中,（）A．存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置,三直线“AC与BD”，“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直10.已知双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值为()A．－2B．－eq\f(81,16)C．1D．011.已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝112.已知函数,若，则的取值范围是()A.(0,4)B.[0,4）C.(0,5]D.[0,5]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卷中。)13.若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤4，,y≥k，))且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝______14.曲线在点(1，f(1))处的切线方程为．15．设P(x，y)为函数图象上一动点，记，则当m最小时，点P的坐标为．16.三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．三、解答题(本大题6个小题，共70分，要求在答题卷中写出解答过程)17.(本题10分)已知：A、B、C是的内角，分别是其对边长，向量，，.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若求的长.18.(本题12分)已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N＋.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn>kan－2对一切n∈N＋恒成立，求实数k的取值范围．19.(本题12分)设函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))(x>0)．(1).写出函数的单调区间和极值。(2).当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值；20.(本题12分)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段上的动点．（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；（Ⅱ）若二面角与二面角的大小相等，求长．（第（第20题图）21.(本题12分)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x＋y＋1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆C上一点，若过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足eq\o(OS,\s\up6(→))＋eq\o(OT,\s\up6(→))＝teq\o(OP,\s\up6(→))(O为坐标原点)，求实数t的取值范围．22.(本题12分)已知函数f(x)＝alnx－x＋1，g(x)＝－x2＋(a＋1)x＋1.(1)若对任意的x∈[1，e]，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)若函数h(x)在其定义域内存在实数x0，使得h(x0＋k)＝h(x0)＋h(k)(k≠0且为常数)成立，则称函数h(x)为保k阶函数，已知H(x)＝f(x)－(a－1)x＋a－1为保a阶函数，求实数a的取值范围．

南昌市三校（南昌、南昌、南铁）高三第三次联考数学答案（理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。)1．C2．D3.C4．D5．C6.C7.A8.A9.B10.A11.D12.B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卷中。)13．k＝－214.．15．（2.3）16.eq\f(\r(6),6)三、解答题(本大题6个小题，共70分，要求在答题卷中写出解答过程)17.解:(Ⅰ)……4分……6分∵……7分.……8分(Ⅱ)在中，，，……9分由正弦定理知：……10分=.……12分18.解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，∵an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N＋，∴a2＋a1＝9，a3＋a2＝18，∴q＝eq\f(a3＋a2,a2＋a1)＝eq\f(18,9)＝2，∴2a1＋a1＝9，∴a1＝3.∴an＝3·2n－1，n∈N＋……………..6分(2)由(1)知Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(31－2n,1－2)＝3(2n－1)，∴不等式化为3(2n－1)>k·3·2n－1－2，即k<2－eq\f(1,3·2n－1)对一切n∈N＋恒成立．令f(n)＝2－eq\f(1,3·2n－1)，易知f(n)随n的增大而增大，∴f(n)min＝f(1)＝2－eq\f(1,3)＝eq\f(5,3)，∴k<eq\f(5,3).∴实数k的取值范围为(－∞，eq\f(5,3))．…..12分19.解析：(1)f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，当x=1时有极小值0………………6分(2)由)f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数由0<a<b且f(a)＝f(b)，取0<a<1<b，且eq\f(1,a)－1＝1－eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2……………..12分20.第20题图2证明：(Ⅰ)连结交于，连，第20题图2为中点，为中点，，平面，平面，平面．………………6分(Ⅱ)如图2，过作于，过作于，连结，同理过作于，过作于，连结，平面，平面，，，平面，平面，平面，，平面，平面，，平面，为二面角的平面角，同理，为二面角的平面角，，，又，，而，，，，又，．………12分解法二(Ⅱ)平面，平面，，，第20题图3平面第20题图3平面，如图3建立坐标系，则，，，，由得，设平面，且，由…1分设平面，且，由设平面，且，由设二面角的大小为，二面角的大小为，，，．…………12分21.解(1)由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以长半轴长为半径的圆的方程为(x－c)2＋y2＝a2.∴圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝eq\f(|c＋1|,\r(2))＝a(*)∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b＝c，a＝eq\r(2)b＝eq\r(2)c，代入(*)式得b＝c＝1，所以a＝eq\r(2)b＝eq\r(2)，故所求的椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1…………4分(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝k(x－2)，设P(x0，y0)，将直线方程代入椭圆方程得：(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，∴Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)＝－16k2＋8＞0，则k2＜eq\f(1,2).设S(x1，y1)．T(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(8k2,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(8k2－2,1＋2k2).....................8分由eq\o(OS,\s\up6(→))＋eq\o(OT,\s\up6(→))＝teq\o(OP,\s\up6(→))，①当t＝0时，直线l为x轴，P点在椭圆上适合题意．②当t≠0时，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tx0＝x1＋x2＝\f(8k2,1＋2k2)，,ty0＝y1＋y2＝k（x1＋x2－4）＝\f(－4k,1＋2k2)，))∴x0＝eq\f(1,t)·eq\f(8k2,1＋2k2)，y0＝eq\f(1,t)·eq\f(－4k,1＋2k2)，代入椭圆方程，得eq\f(32k4,t2（1＋2k2）2)＋eq\f(16k2,t2（1＋2k2）2)＝1.从而得t2＝eq\f(16k2,1＋2k2).由k2＜eq\f(1,2)，知0＜t2＜4，则－2＜t＜2且t≠0.综上①②知，实数t的取值范围为(－2，2)．……………..12分22.解(1)因为对任意的x∈[1，e]，不等式f(x)≥g(x)恒成立，即alnx－x＋1≥－x2＋(a＋1)x＋1恒成立，a(x－lnx)≤x2－2x恒成立．由于x∈[1，e]，所以lnx≤lne＝1≤x.因为等号不能同时成立，所以lnx＜x，即x－lnx＞0.所以a≤eq\f(x2－2x,x－lnx)恒成立．…………..4分令F(x)＝eq\f(x2－2x,x－lnx)，所以a≤F(x)min(x∈[1，e]，)由于F′(x)＝eq\f(（x－1）（x＋2－2lnx）,（x－lnx）2)，由于1≤x≤e，所以x－1≥0，x＋2－2lnx＝x＋2(1－lnx)＞0，所以F′(x)＞0.所以函数F(x)＝eq\f(x2－2x,x－lnx)在区间[1，e]上单调递增．因此F(x)≥F(1)＝eq\f(12－2,1－0)＝－1，故a≤－1.所以实数a的取值范围是(－∞，－1]．……………6分(2)因为H(x)＝f(x)－(a－1)x＋a－1＝alnx－ax＋a(x＞0)，根据保a阶函数的概念，所以存在x0＞0，使得H(x0＋a)＝H(x0)＋H(a)，即a[ln(x0＋a)－(x0＋a)＋1]＝a(ln