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南昌市三校(南昌、南昌、南铁)高三第三次联考试卷数学(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。每小题只有一个选项符合题意,请将正确答案填入答题卷中)1.已知复数z满足(z+1)·i=1-i,则z=()A.-2+iB.2+iC.-2-iD.2-i2.下列命题中,真命题是()A..存在B.的充要条件是C.任意D.是的充分条件3.在各项都为正数的等差数列{an}中,若a1+a2+…+a10=30,则a5·a6的最大值等于()A.3B.6C.9D.364.设m=,n=则m,n,p的大小顺序为()A.m>p>nB.p>n>mC.n>m>pD.m>n>p5.下列命题正确的是 ()A.函数y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,3),\f(π,6)))内单调递增B.函数y=cos4x-sin4x的最小正周期为2πC.函数y=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,3)))的图象是关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6),0))成中心对称的图形D.函数y=taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,3)))的图象是关于直线x=eq\f(π,6)成轴对称的图形6.直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于()A.eq\f(4,3)B.2C.eq\f(8,3)D.eq\f(16\r(2),3)7.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()A.21+eq\r(3) B.18+eq\r(3)C.21 D.188.在平行四边形ABCD中,∠A=eq\f(π,3),边AB,AD的长分别为2,1.若M,N分别是边BC,CD上的点,且满足eq\f(|\o(BM,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)=eq\f(|\o(CN,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|),则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的取值范围是()A.[2,5] B.(1,5)C.[1,5) D.(2,5]9、已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着,在翻着过程中,()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直10.已知双曲线x2-eq\f(y2,3)=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值为()A.-2B.-eq\f(81,16)C.1D.011.已知椭圆E:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.eq\f(x2,45)+eq\f(y2,36)=1 B.eq\f(x2,36)+eq\f(y2,27)=1C.eq\f(x2,27)+eq\f(y2,18)=1 D.eq\f(x2,18)+eq\f(y2,9)=112.已知函数,若,则的取值范围是()A.(0,4)B.[0,4)C.(0,5]D.[0,5]二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请将正确答案填入答题卷中。)13.若变量x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x,,x+y≤4,,y≥k,))且z=2x+y的最小值为-6,则k=______14.曲线在点(1,f(1))处的切线方程为.15.设P(x,y)为函数图象上一动点,记,则当m最小时,点P的坐标为.16.三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________.三、解答题(本大题6个小题,共70分,要求在答题卷中写出解答过程)17.(本题10分)已知:A、B、C是的内角,分别是其对边长,向量,,.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若求的长.18.(本题12分)已知等比数列{an}满足an+1+an=9·2n-1,n∈N+.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,若不等式Sn>kan-2对一切n∈N+恒成立,求实数k的取值范围.19.(本题12分)设函数f(x)=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,x)))(x>0).(1).写出函数的单调区间和极值。(2).当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求eq\f(1,a)+eq\f(1,b)的值;20.(本题12分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面,已知,为线段上的动点.(Ⅰ)若为的中点,求证:平面;(Ⅱ)若二面角与二面角的大小相等,求长.(第(第20题图)21.(本题12分)已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设P为椭圆C上一点,若过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T,满足eq\o(OS,\s\up6(→))+eq\o(OT,\s\up6(→))=teq\o(OP,\s\up6(→))(O为坐标原点),求实数t的取值范围.22.(本题12分)已知函数f(x)=alnx-x+1,g(x)=-x2+(a+1)x+1.(1)若对任意的x∈[1,e],不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(2)若函数h(x)在其定义域内存在实数x0,使得h(x0+k)=h(x0)+h(k)(k≠0且为常数)成立,则称函数h(x)为保k阶函数,已知H(x)=f(x)-(a-1)x+a-1为保a阶函数,求实数a的取值范围.
南昌市三校(南昌、南昌、南铁)高三第三次联考数学答案(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。每小题只有一个选项符合题意,请将正确答案填入答题卷中。)1.C2.D3.C4.D5.C6.C7.A8.A9.B10.A11.D12.B二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请将正确答案填入答题卷中。)13.k=-214..15.(2.3)16.eq\f(\r(6),6)三、解答题(本大题6个小题,共70分,要求在答题卷中写出解答过程)17.解:(Ⅰ)……4分……6分∵……7分.……8分(Ⅱ)在中,,,……9分由正弦定理知:……10分=.……12分18.解析:(1)设等比数列{an}的公比为q,∵an+1+an=9·2n-1,n∈N+,∴a2+a1=9,a3+a2=18,∴q=eq\f(a3+a2,a2+a1)=eq\f(18,9)=2,∴2a1+a1=9,∴a1=3.∴an=3·2n-1,n∈N+……………..6分(2)由(1)知Sn=eq\f(a11-qn,1-q)=eq\f(31-2n,1-2)=3(2n-1),∴不等式化为3(2n-1)>k·3·2n-1-2,即k<2-eq\f(1,3·2n-1)对一切n∈N+恒成立.令f(n)=2-eq\f(1,3·2n-1),易知f(n)随n的增大而增大,∴f(n)min=f(1)=2-eq\f(1,3)=eq\f(5,3),∴k<eq\f(5,3).∴实数k的取值范围为(-∞,eq\f(5,3)).…..12分19.解析:(1)f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数,当x=1时有极小值0………………6分(2)由)f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数由0<a<b且f(a)=f(b),取0<a<1<b,且eq\f(1,a)-1=1-eq\f(1,b),∴eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=2……………..12分20.第20题图2证明:(Ⅰ)连结交于,连,第20题图2为中点,为中点,,平面,平面,平面.………………6分(Ⅱ)如图2,过作于,过作于,连结,同理过作于,过作于,连结,平面,平面,,,平面,平面,平面,,平面,平面,,平面,为二面角的平面角,同理,为二面角的平面角,,,又,,而,,,,又,.………12分解法二(Ⅱ)平面,平面,,,第20题图3平面第20题图3平面,如图3建立坐标系,则,,,,由得,设平面,且,由…1分设平面,且,由设平面,且,由设二面角的大小为,二面角的大小为,,,.…………12分21.解(1)由题意,以椭圆C的右焦点为圆心,以长半轴长为半径的圆的方程为(x-c)2+y2=a2.∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=eq\f(|c+1|,\r(2))=a(*)∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,∴b=c,a=eq\r(2)b=eq\r(2)c,代入(*)式得b=c=1,所以a=eq\r(2)b=eq\r(2),故所求的椭圆C的方程为eq\f(x2,2)+y2=1…………4分(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l方程为y=k(x-2),设P(x0,y0),将直线方程代入椭圆方程得:(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,∴Δ=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)=-16k2+8>0,则k2<eq\f(1,2).设S(x1,y1).T(x2,y2),则x1+x2=eq\f(8k2,1+2k2),x1x2=eq\f(8k2-2,1+2k2).....................8分由eq\o(OS,\s\up6(→))+eq\o(OT,\s\up6(→))=teq\o(OP,\s\up6(→)),①当t=0时,直线l为x轴,P点在椭圆上适合题意.②当t≠0时,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tx0=x1+x2=\f(8k2,1+2k2),,ty0=y1+y2=k(x1+x2-4)=\f(-4k,1+2k2),))∴x0=eq\f(1,t)·eq\f(8k2,1+2k2),y0=eq\f(1,t)·eq\f(-4k,1+2k2),代入椭圆方程,得eq\f(32k4,t2(1+2k2)2)+eq\f(16k2,t2(1+2k2)2)=1.从而得t2=eq\f(16k2,1+2k2).由k2<eq\f(1,2),知0<t2<4,则-2<t<2且t≠0.综上①②知,实数t的取值范围为(-2,2).……………..12分22.解(1)因为对任意的x∈[1,e],不等式f(x)≥g(x)恒成立,即alnx-x+1≥-x2+(a+1)x+1恒成立,a(x-lnx)≤x2-2x恒成立.由于x∈[1,e],所以lnx≤lne=1≤x.因为等号不能同时成立,所以lnx<x,即x-lnx>0.所以a≤eq\f(x2-2x,x-lnx)恒成立.…………..4分令F(x)=eq\f(x2-2x,x-lnx),所以a≤F(x)min(x∈[1,e],)由于F′(x)=eq\f((x-1)(x+2-2lnx),(x-lnx)2),由于1≤x≤e,所以x-1≥0,x+2-2lnx=x+2(1-lnx)>0,所以F′(x)>0.所以函数F(x)=eq\f(x2-2x,x-lnx)在区间[1,e]上单调递增.因此F(x)≥F(1)=eq\f(12-2,1-0)=-1,故a≤-1.所以实数a的取值范围是(-∞,-1].……………6分(2)因为H(x)=f(x)-(a-1)x+a-1=alnx-ax+a(x>0),根据保a阶函数的概念,所以存在x0>0,使得H(x0+a)=H(x0)+H(a),即a[ln(x0+a)-(x0+a)+1]=a(ln
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