2016届湖北省孝感高级高三4月调考数学（理）试题

2016届湖北省孝感高级高三4月调考数学（理）试题一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合，则A． B． C．D．2．若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是 A． B． C．D．3．已知锐角,且的终边上有一点,则的值为A． B． C．D．4．已知向量，命题，命题，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知在等差数列中，，则数列的前项之和 A．105 B．95 C．85 D．456．若函数的图象如右图所示，则下列函数图象正确的是ABCD第6题图7．若Ａ．Ｂ．Ｃ．D．8．把边长为的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥正视图与俯视图如右图所示，则其侧视图的面积为A． B． C． D．9．已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象．若在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为 A． B． C． D．10．在中，是边上的一点，．若记，则用表示所得的结果为A．B．C．D．11．已知函数是定义在上的偶函数,为奇函数,,当时,,则在区间内满足方程的实数为A． B． C． D．12．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13．若数列的前项和,则=___________.14．定积分__________.15．某所计划招聘男教师名，女教师名，和须满足约束条件，则该校招聘的教师最多是名．16.在中,是的内心，若，其中,则动点的轨迹所覆盖的面积为________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或步骤.17．（本小题满分12分）如图，在梯形中,，点分别在线段上运动,且.（1）当时,求；（2）求的取值范围.18．（本小题满分12分）已知向量.（1）当时,求的值；（2）已知在锐角中,分别为角的对边,,函数,求的取值范围.19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，分别是，的中点．（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，问是否存在实数使得是一个与无关的常数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数，函数在处的切线与直线垂直．（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）设是函数的两个极值点，若，求的最小值．选考题：请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）如图所示，已知⊙与⊙相交于两点，过点作⊙的切线交⊙于点，过点作两圆的割线，分别交⊙、⊙于点，与相交于点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若是⊙的切线，且，求的长．23.（本小题满分10分）极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴。已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，射线与曲线分别交异于极点的四点.（1）若曲线关于曲线对称，求的值，并把曲线和化成直角坐标方程；（2）求的值.24.（本小题满分10分）设．（1）求的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．

数学（理）试卷答案1.C2.D3.A4.A5．A6C7.C8．C9.B10.B11. D．12.B（提示：令求b的范围是，再令，并结合选项求的取值范围13.．14.2015.7.16..-117.如图：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AC=2，AC⊥BC．（1）求多面体ABC﹣A1C1的体积；（2）异面直线A1B与AC1所成角的大小．解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AC=2，AC⊥BC，∴CC1⊥平面ABC，BC⊥平面AA1C1，∵S△ABC==，===2，CC1=2，BC=2，∴多面体ABC﹣A1C1的体积：V==+==．-------6分（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2），B（0，2，0），A（2，0，0），C1（0，0，2），=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，2），设异面直线A1B与AC1所成角的大小为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=0，∴异面直线A1B与AC1所成角的大小为．--------12分说明：四棱锥求体积，补形求角可参照给分18.武汉地铁4号线每6分钟一趟列车，小明同学每天早晚两次乘地铁上学与回家,每周周一至周五上五天学，如果某天至少有一次等车时间不超过2分钟。则称该天为“风顺”天求小明某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率记为小明一周中“风顺”天的天数，求的数学期望。解：（1）小明某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率-------5份（2）小明某天至少有一次等车时间不超过2分钟的概率，，故的数学期望为---------7分19.已知如图所示是函数（）的图象求的表达式已知函数在区间上有两个零点，求的取值范围。解：（1）由得，根据图像知,又因为并结合图像得,，，且，，故-------------6分易知，，股的取值范围是的取值范围--------12分20.已知动点与定点满足条件：以为直径的圆恒与纵轴相切。求动点的轨迹的方程设是轨迹上的两点，已知点满足，求的面积的最小值解：（1）依题意：，化简得即为动点的轨迹的方程-----5分（2）设直线的方程为，与联立消去得：设，则，由得，，所以的面积=，故求的面积的最小值为4--------12分21.设，把函数的图像与直线和、所围成的面积与的比值称为函数在区间上的“面积密度”(1)设，曲线与直线相切，求的值；（2）设，求的值（用表示）使得函数在区间上的“面积密度”取得最小值；（3）记（2）中的最小值为，求证：解（1），设切点为，则，，从而，把点代入得----------3分（2）易知：要使得函数在区间上的“面积密度”取得最小值，必须，故函数在区间上的“面积密度”，令得即当时，函数在区间上的“面积密度最小，最小值为-----------7分设，则，所以在上是减函数，当时所以故------------12分22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点．（I）求证：∠EAC=2∠DCE；（Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．解答：（Ⅰ）证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD．所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．…（5分）（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，即AB2=AE•（AE﹣AB），即AB2+2AB﹣4=0，解得AB=﹣1．…（10分）23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0…（5分）（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．解答： （Ⅰ）解：f（x）=|x+1|