利用信息技术 创新实验教学-以将军饮马为例 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选 利用信息技术创新实验教学

——以“将军饮马”为例

摘要：伴随着信息技术的使用，现有的教学方式得到了改进。随着几何画板在数学上的推广，学生的学习视野得到了拓宽，这为实验教学提供了基础条件。以探究将军饮马问题为例，在实验中既培养了学生的探索精神，也提升了学生的核心素养。 关键词：数学实验，几何画板，将军饮马，核心素养

谈到实验，大家不陌生，第一反应可能是物理、化学、生物等实验，实验和数学好像是两个不相关的事情。以前的数学的确不方便设计实验，现在随着信息技术的发展，也为设计数学实验提供了技术的支持。接触“几何画板”后，发现数学实验教学的着力点，也使得数学教学工作更得心应手。几何画板可以将数学与实验有机的结合在一起，从视觉上吸引着学生，激发学生内在学习动力，促使学生对数学产生探究的渴望。在数学实验教学中，要让学生用数学的眼光去发现世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界[1]，从这里可以看出实验教学是一种活动性教学，在这个教学中充满着学习的发展性。实验教学既满足不同学生的需求，使学生在认知和学习能力上得到不同的发展。笔者以“几何画板”设计“将军饮马”模型的实验为例，从而达到更好的教学效果。一、课前准备 1.电脑

由于数学实验是基于信息技术进行开展的，因此不需要准备大量的瓶瓶罐罐类的实验器材。在器材方面，一台电脑足矣。因为要开展一场全体学生参与的实验，所以需要提前联系电脑室，协调好课程，为实验做好硬件准备。2.软件根据此次实验的需求，要使用到“几何画板”，需要教师提前在微机室的电脑上安装“几何画板”这一软件。教师，也可以通过别的软件，为此次实验提供新的数据参考。考虑到本次研究的是“将军饮马”问题，这个实验过程，要让学生体会到知12022年安徽省中小学教育教学论文评选识的发展性，实验的科学性与准确性，我们设计以下几种情形进行逐一探索：①两点间的最短路径；②垂直平分线的性质；③将军饮马——最短路径问题。如图1、2、33.实验报告单因为学科限制，数学没有专业的、现成的试验单可用，这需要教师自己动手设计。本节课前两个实验更倾向于用实验验证学生已知的结论，需要用几何画板测量工具采集数据，这个难度不大。第三个实验是这节课重点学习的内容，要从实验的角度去验证P点在何处时，PA+PB的值最小，这里需要选取几何画板中数据下的计算。根据实验所需设计具体的实验报告单（后文呈现）。二、预期目标通过实验理解将军饮马模型，从而解决生活中最短路径问题。通过实验演绎知识的发展过程，利用两点之间线段最短与垂直平分线性质寻求将军饮马模型中最短路径的点，学会化繁为简，用已学的知识解决问题的策略。三、课堂实施1.提出问题教师介绍“将军饮马”问题的背景，将“将军饮马”转化为数学问题，提炼问题模型，便于设计实验教学，然后提出问题：如何在一条直线上找到一点到两定点（直线同侧）的距离和最短？2.合理猜想将军饮马是关于直线上找一点到直线同侧两定点距离和的值最小问题。如果只是单纯的两点，该如何设计路线才能最短呢？此时的问题很好解决。以此为出发点，需要将其中一点移动到直线的另一侧。但在移动的过程中，需要保证移动22022年安徽省中小学教育教学论文评选前后这两个点到直线上任意一点的距离始终相等。学生会很自然的想到：垂直平分线的性质。其实就是移动前后的两点关于这条直线对称。到这里问题就有了明确的方向：先作其中一点的对称点，再将其对称点与另一定点连线交直线于一点，这一点即为距离和的最小值点。3.开展实验教师演示几何画板的操作方法，首先介绍几何画板的界面，最上面是标题栏，紧接着是菜单栏，左侧是工具箱，空白区域是绘图区，下面是文本工具栏以及状态栏（如下图）。然后教学生操作方法，①画点：在工具箱中找到 ，在绘图区域单击，就可以绘制出点。②连线：接着在绘制区画两个点，分别单击选中绘制好的点，再按“Ctrl+L”键即可连线（线段）。若想画直线可以在菜单栏中点击构造再点击直线即可。③线段中点：选中线段按快捷键“Ctrl+M”。○画线的对称点：先双击直线，再选中点，找到菜单栏中的构造再点击变换中的反射，就能画出对称点了。○作垂线：选中点和已知直线，点击菜单栏中的构造，再点击做垂线。用几何画板验证：结论1、两点之间，线段最短[2]；结论2、垂直平分线上一点到线段两个端点的距离相等[3]。（1）实验一：验证两点之间，线段最短32022年安徽省中小学教育教学论文评选操作：教师将事先作好的图分享给学生，学生通过改变B点的位置（点击选中B点，再绘制区域内进行拖动），观察一下图中三条路线长度的变化，并比较出谁最短？图1图2图3

表1实验图1图2图3测量数据路线1=路线1=路线1=路线2=路线2=路线2=路线3=路线3=路线3=结论对比以上路线1、路线2、路线3的数据，我们可以发现路线2最短。归纳：见上文结论1。（2）实验二、验证垂直平分线上一点到线段两个端点的距离相等

操作：教师将事先作好的图分享给学生，学生通过改变P点的位置（点击42022年安徽省中小学教育教学论文评选选中P点，右击点击生成点动画），观察图中PA、PB长度的关系。图4图5图6表2实验图4图5图6测量数据PA=PA=PA=PB=PB=PB=PA____PBPA____PBPA____PB结论对比表2中PA、PB的长度，可以发现了PA=PB，进而得出结论。归纳：见上文结论2

（3）实验三、将军饮马——最短路径的问题

教师将做好的“将军饮马”的数学模型中的条件图形分享给学生。 操作一：选择点P1、P2的通过鼠标拖动P1、P2的位置，得出数据，将数据填入表格；52022年安徽省中小学教育教学论文评选图7图8图9操作二：选择点B，通过鼠标拖动B点的位置，得出数据，将数据填入表格；62022年安徽省中小学教育教学论文评选图10图11图12表3操

作图序数据一

（单位）比较这三个（PA+PB、P1A+P1B、P2A+P2B）值大小结论操图7PA+PB=72022年安徽省中小学教育教学论文评选作

一P1A+P1B=P2A+P2B=图8PA+PB=P1A+P1B=P2A+P2B=图9PA+PB=P1A+P1B=P2A+P2B=操

作

二图10PA+PB=P1A+P1B=P2A+P2B=图11PA+PB=P1A+P1B=P2A+P2B=图12PA+PB=P1A+P1B=P2A+P2B=学生通过比较实验三中的这三组（PA+PB、P1A+P1B、P2A+P2B）的数据的数量关系，可以得出PA+PB的值最小，由此可以得出P点的位置即为PA+PB的最小值所在位置。 归纳P点作法：作点B的对称点B'，连线AB'交直线l于点P，此时P所在位置使得PA+PB和的值最小。4.分析数据 本次参与实验的有45人，每位同学得到三组数据，总数据上百组，这些数据是具有说服力和广泛性的。 学生根据实验一、二的表1、表2中的数据，是可以验证结论1、结论2。接下来，教师以问题串的方式引导学生进行实验三的探究。82022年安徽省中小学教育教学论文评选 问题1：将军饮马其实质是最短路径问题，若将同侧两定点改为异侧两定点，你能找出这个点的位置吗？ 学生：连接这两个异侧的定点，与直线交点，即为P点所在位置。（根据结论1，易知）

问题2：如何才能保证，改变前后的这两个点到直线上的任意一点的距离始终相等？ 学生会顺其自然想到实验二中的垂直平分线的性质，也就是移动前后的这两个点关于直线l对称。 问题3：想一想如何作其中一点B关于直线l的对称点B’？（稍后提示：在几何画板上作图）。 预设：学生说出了在作对称点的方法，但不知道如何在几何画板作图。 教师在几何画板演示作对称点画法（选中B点，双击直线l，点击菜单栏中构造，选择构造中的反射，即可作出对称点B’）。问题4：P点在直线l的何处时，PA+PB’的和最小？ 预设：学生会连接AB’交直线l于一点即为点P

问题5：在直线任意选取异于点P的一点为P1，用几何画板测出数据。移动P1点，观察在移动的过程中PA+PB’于P1A+P1B’之间的关系。（PA+PB’始终小于P1A+P1B’，也就是P点所在位置使得PA+PB的值最小）问题6：结合图像图13，证明P1A+P1B>PA+PB.证明：∵B与B'关于直线l对称

∴PB=PB' P1B=P1B'

又∵A、P、B'三点在同一条直线上

∴AB'=AP+PB'=AP+PB92022年安徽省中小学教育教学论文评选∵A、P1、B'三点构成一个三角形图13∴AP1+P1B'>AB'（两边之和大于第三边）即P1A+P1B>PA+PB. 结合几何画板，用实验数据说明P点最佳位置，又利用几何知识进行推理论证。5.得出结论通过分析数据，引导学生对内容进行回顾，形成文字语言：①两点之间线段最短；②垂直平分线上的一点到线段两个端点的距离相等；③将军饮马模型（直线l同侧有两个定点A、B到直线l上一点P的距离和最小时这一点位点B关于直线l对称点B'与A点的连线和直线l的交点）。得出结论后，引导学生利用结论解决实际问题。教师设置练习，巩固今天所学的知识。6.巩固练习 如图14，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E平分AB，P是AD上的动点，求PE+PB的最小值.图147.拓展练习如图15，在△ABC中，AC=6，BC=8，若点P在∠ACB的平分线所在的直线l上，求APBP的最大值。 图 15102022年安徽省中小学教育教学论文评选四、实验反思《义务教育数学课程标准（2022年版）》中核心素养对数学提出了更高的要求。在教学中要有所创新，结合信息技术改进现有的教学方式，促进学生学习方式的转变。将数学核心素养“会用数学的眼光观察现实世界”“会用数学的思维思考现实世界”“会用数学的语言表达现实世界”渗透到数学教学中[4]。数学与生活相结合，在生活中发现数学，从数学的角度思考生活，用数学语言表达生活中的问题。“三会”中蕴涵着数学问题从发现到分析再到解决的过程，也诠释了数学知识发展的过程。而数学实验教学恰好将新课标中“三会”展现的淋漓尽致，因此实验教学完全可以作为新课标要求下的新型教学方式。数学实验是对同一类数学问题进行建模。学生在数学建模过程中，了解问题背景，对问题进行量化处理，通过分析条件去解决问题，从而形成一种成熟的解题思路。学生在数学建模中，可以沉浸式体会知识的形成。数学建模的过程也是一种探索性学习。知识不一定全在教材中，生活也是一本特殊的大教材，从中也能拥有更多的收获。数形结合的思想和数学实验完美地融合在一起，这一切得益于几何画板的使用。几何画板能做到图动，同时数据也随图而动，比传统的手工绘图更直观，更能突出问题真实性和代表性，也让数学实验具有可操作性和实践性。几何画板就是数与形结合的一个契合点，让数与形有序的融合在一个画面内。正是几何画板的使用，使得数学实验具备了操作条件，也向学生展现一种全新的教学方式，更是对数学问题的一种新理解与思考。数学实验作为数学教学的一种补充，既可以丰富数学教学的趣味性，又可以提升数学的可视性，从而提高学生学习的内在动力。将这种实验教学在几何与函数内容中推广，从实验的角度去思考：如何教数学、如何学数学，未尝不是一种新思路。数学中，能借助几何画板设计实验的内容并不少，如：垂线段最短、全等三角形判定、中点四边形、函数图像与性质等。实验是教学