一元二次函数方程和不等式教学设计

一元二函、方程不式（衔课）一教设1.学内容解在现行人民教育出版社A版高数学教材中一元二次不等式的解法一部分内容安排在《必修5》的第三章第二，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”“函数”等内容时，一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较.本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课是节衔接课，以一元二次函数元次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理习方式和知识技能等方面的准备助生完成初高中数学学习的过.三个”是初中三个“一次（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次.，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题导数中导函数为二次函时的许多问题等时此部分内容又是培养函数与方程思想数结合思想分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材节的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方.根据以上分析，本节课的教学重点确定为教重：元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应.2.生学情诊本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法利用函数图象解决简单的方程和不等式问.但当所研究的问题中含有参数或者综合性较强者运算较复杂的时候学生往往不能正确理解题意不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规.教难：参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范.3.学目标设(1)理解一元二次函数、一元二方程及一元二次不等式三者之间的关系；(2)能够用二次函数的观点处理次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性；(3)引导学生感悟高中阶段数学程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素4.学策略分本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆

锥曲线等核心概念必然联系的高度眼于继续学习而又必须遵循数学的自然顺序避免后继内容的前移。这种课的关键是整合和提升成基本套路并了解它在进一步学习中的基本价值些都需要问题驱动，循序渐进，在师生互动中不断地归纳总结。教流：

5．学过程环一回师：同学们，我们初中学过一元一次不等式，同学们说说这个不等x是多少啊？

的解集生：

x

23

师：诶，怎么算出来的啊？哪位同学来说说？生：把

移到右边去，再不等式左右两边同时除以3.师：你的解题依据是什么呢？生：不等式的性师：很好，请坐，这位同学利用不等式的性质，从代数的角度把这个不等式解出来了，还有其它的解法吗？生：可以先画出一次函数的图象，从图象可以看出不等式的解.师：好，我们先画图象，怎么画这个函数的图象？生：找两个点.师：找那两个点比较好？生：与坐标轴的交点.师：与

x

轴的交点是多少?生：

2(3

师：这

23

是怎么出来的啊？生：令y.即3

，这个方程的根师：很好，与

轴的交点的横坐标恰好是对应一次方程的与

轴的交点是多少？生：令

x

得

y

，交点

师：所以这个不等式的解集就是？生：

x

23

，即图象在轴上方时所对应的的师：很好请坐由可以看出一次函数一次方程和一次不等式三者之间有着密切的联系，谁来概括一下？生：一次方程的根就是一次函数图象与交点的横坐标（即一次函数的零点），一次不等式的解集就是一次函数图象在轴方时所对应的x的围，一次方程的根也是一次不等式解集的端点师：同学们再想一想，这三者之间为什么会有关系呢？生：……师：我们从代数表达式来看一看，一方程、一次不等式和一次函数，这个三个表达式有什么共同点^……，都含有一次式，对吧，所以它们之间有关.【析回顾初中知识，利用一次函数的图象理一次方程和一次不等式.次”，类比引出课题，并为三个“二次”的研究提供思2

由三个“一

环二整师：很好，一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的关

我们再来看一下一元二次函数y(a)

，一元二次方程x()

、一元二次不等式ax

2

()，ax

2

()

师：从它们表达式来看，好像也有相同的部分，是什么呀？……，二次多项式，对吧？那么这三个二次之间是否也有类似三个一次之间的关系呢？这就是我们这节课要研究的内容，首先请同学们画画这个二次函数的图

（板书课题）画一画

画出二次函数

的图象看一看

观看几何画板动画动C横坐标变化标y变化情况.说一说（1）当哪些值时，y？（2）方程

0的根为；当x取些值时，？

不等式

x0的集为；当x取些值时，y？

不等式

x的集为

问：元二次方程

x

2x，元二次不等式2

和一元二次函数

y

，三者之间有什么关系？动展：变一变3

问3对于一般的一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数，三者之间有么关系？小合探：师：二次函数、方程和不等式三者之间有着密切的联系，函数是核心，图象是载体，可以通过函数的观点来处理方程和不等式问一元二次函数图象一元二次方程

一元二次不等式【析以体的常系数的二次函数程等为例让学生通过类比三一理解三个“二次”之间的内在联系，突出二次函数在“三个二次”中的中心地位。并对一般情形的二次函数、方程和不等式之间的关系进行整合，培养学生的数学抽象、几何直观、逻辑推理等核心数学素养，具体策略是问题驱动，在教学中，鼓励学生自主探索、合作研.师：好，对于一个具体的一元二次不等式，我们会求解集，如果反过来，已知不等式的解集，你会求这个不等式吗？同学们思考这样的一个问题：【例1】已知关于的等式x

bx的集为

(

，求实数

b

的值【析逆向变式，强化一元二次函数、方程和不等式的内在联.生依题意

是对应一元二次方程x

两根

x代4

入方程得，

，即，解得bc

生：题意，

是对应一元二次方程

x

的两根，由韦达定理有，得c师：很好，请.根三个“二次”之间的关系，不等式的解集就是函数图象x轴下方时，所对应的的值范围，所以

正好是图象与x轴交点的横坐标，也就是方程x的个，从而根据韦达定理，可以求出,c的值.

（画图分析）环三提辩证唯物主义告诉我们，任何事物都是运动化发展的当我们将方程和不等式中常系数改为字母,随字母取值的不同，方的根和不等式的解会发生相应的变化，这类方程和不等式称为含参方程和含参不等式，下面我们一起来研究两个含参问.师：我们再把前面那个具体的方程变一下，系数上加一个参数，同学们思考这样的一个问题：【2已知关于的程

，根小于1

，另一根大

y于，求数的取值范.【析含二次方程问题，继续对二次方程和二次数进行整合提升，用函数的观点来处理方程问.生：设f(x)x2ax，

f(1)

，解之得2

0

1

x师：有不同意见吗？生：不对，应该还要

0

师：诶，生2好像说得很有道理呢？还其它观点吗？生：我觉得生对的，因为的用是控制图象与有两个交点，而这是开口向上的抛物线，

f(1)

也能保证与轴有两个交点.师，同学们同意哪位同学的说法？生：曾子轩.师：很好，题目要求这个方程的两根，一个小于，个大于，根据数与方程的关系程的根就是函数图象与轴点的横坐标们以通过控制二次函数的图象来控制方程的根，也就是要保证函数图象与x轴的交点，一个在的左侧，一个在1的侧

只需要

f(1)

，就可以控制住这个二次函数的图象了，当然如果

加进去，可不可以？也是可以的.

我们从代数的角度来检验一下，看两种解法的答案是否一样？法：

f(1)-aa法：

f-a2a3或3

师：这是一个方程问题，我们可以根据函数与方程的关系将它转化为函数问题来处师我再把前面那个具体的不等式也变一下数上加一个参数同学们思考这样的一个问题：【3若不式x2对任意

恒成立，求实数的值范围【析含参二次不等式问题，继续对二次不等式和二次函数进行整合提升，用函数的观点来处理不等式问.组内学生相互讨论，分析解题思路，再让学生先分学生分析：只需二次函数

f(x)xax

，在

这一段的图象位于轴方，应分三种情况讨论，当对称轴在区间的左边、中间和右师非不错啊刘钰欣同学将个不等式问题等价转化为函数图象问题只需要函数图象在

这一段的图象位于轴方即可

如何保证图象在x轴方呢？我们边看动画一起来分析.5

动展：着的值变化，函数图象与轴位置关师：当对称轴在区间的左边时，怎么样就能保证图象在

x

轴上方？生：只需要

f(

，师：很好，因为当对称轴在区间的左边时，函数在

x

这一段的图象是上升的，即随x的大而增大，只需要最小值

f(

即可师：当对称轴在区间的里面时，怎么样就能保证图象在x轴方？生：师：还可以通过什么来控制？生：

f(a)

师：就是函数的最小值大于零即师：再来看，当对称轴在区间的右边时，怎么样就能保证图象在x轴上方？生：只需要

f(3)

，师：很好，因为当对称轴在区间的右边时，函数在

这一段的图象是下降的，即随x增大而减小，只需要最小值

f

即可下面同学们把具体的解答过程写出来，找一个同学上黑板完成具体过程：生：记

f(x)xax

，这个函数的对称轴为x，当

时需

f(a

解得a

又

；当

时，只需要a，得3a3，又

，所以；当

时，只需要

f(3)

，解得,a矛.综上：3.师：找个同学来点评一下.生：答案正确，但解题过程有点不对，没有讨论

a

和

a

的情况师：很好，这两种情况，可以加在哪里比较.生：加在中师：很好对于含参问题我除了要选择恰当的分类讨论标准之外，还应该注意分类讨论还应做到不重不..师：好，这是一个不等式问题，我们仍然将它转化为一个函数问题来处.环四展师：同学们，今天莅临我们课堂的还有一位神秘嘉宾，大家想不想见一下？生：想师：掌声有嘉宾：学弟，学妹们好，首先自我介绍一下，我是现在高三）的刘今欣同学，很高兴走进学弟学妹们的课堂，和大家一起交流、学.嘉宾大都知道一元二次函数中考的压轴题那么我们今天学习的二次函数、二次方程和二次不等式在以后的高中学习中有什么作用呢？课前，陈老师给我布置了一个任6

务，让我归纳整理一.二次函数、二次方程和二次不等式在高中数学其它领域的应其实三“次及相关问题的理方法广泛应用于高中数学的各大核心模块：如数列、三角函数、立体几何、解析几何、导数.下面重点以三个“二次”在解析几何中的应用为例，让同学们对三个“二次”在以后学习中的地位和作用有所了【案例1直线

l:ykx

与双曲线Cx

y

的右支交于不同的两点AB，求实数k的取值范围.解联立方程

ykxy2

，消去y得到的元二次方程(

2

x

2

……①直线l与曲线C的支于不同两点，等价于方程①有两个不相等的正实数.即对应二次函数图象与

轴有两个交点且交点在

轴右侧我可以通过以下几个条件控制二次函数的图.

)

k0.解得k的值范围是

．【案例】（年江苏高考第题）试题和答案如下：已知函数

bab

．⑴设a，①求方②若于任意xR，不等式

；f

恒成立，求实数

的最大值；⑵略．解：⑴①f，

f

可2

，则

，

，；7

②由题得

2

12

m

12

恒成立，令t

，则由

可得≥2

1，2原问题等价于不等式t记f(t)

+4≥0

，对任意的t在[

上恒成立，当对称轴

2

，即

时，显然成立；当对称轴

0

m2

，即

时，只需

f(2)，m

；当对称轴

2

，即4

时，只需，m4

矛盾；综上，

0m

，所以实数m的大值为4．【案例3（2016全国Ⅱ卷文科高考第11题试和答案如下：函数

f(x)26cos(

π

的最大值为（A）

（B

（）6

（D3解因为f(x))2

112

而

x

所当x

时取大值，以上是最终可以转化为二次函数次程和二次不等式的题目实还有更多的考题是考其他类型的方程、不等式问题，也可以用函数的观点，数形结合的思想来处理，如【案例4（2016山东卷文理高考第题，填空压轴）试题和答案如下：已知函数

f(x)

mx

其中

．若存在实数b

，使得关于方程

f(x)

有三个不同的根，则m的取范围_．解：画出函数图像如下图所示：由图所示，要根，需要红色部分图

像