概率论课件抽样分布

概率论课件抽样分布第1页，共38页，2023年，2月20日，星期五分布1、分布是由正态分布派生出来的一种分布.记为定义:设相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),则称随机变量：

所服从的分布为自由度为n

的分布.第2页，共38页，2023年，2月20日，星期五2.2—分布的密度函数f(y)曲线第3页，共38页，2023年，2月20日，星期五由分布的定义，不难得到以下性质：2.设且X1,X2相互独立，则这个性质叫分布的可加性.1.

设,则3.

设,则当n充分大时的分布近似标准正态分布N(0,1).第4页，共38页，2023年，2月20日，星期五记为T～t(n).

定义:设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立，则称变量所服从的分布为自由度为n的t分布.2、t分布t(n)的概率密度为第5页，共38页，2023年，2月20日，星期五当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.第6页，共38页，2023年，2月20日，星期五由定义可见，3、F分布第7页，共38页，2023年，2月20日，星期五若X~F(n1,n2)，X的概率密度为第8页，共38页，2023年，2月20日，星期五例1已知X～t(n),证明X2～F(1,n).因为X～t(n),所以存在Y1～N(0,1),Y2～χ2

(n),使得证由定义知而所以第9页，共38页，2023年，2月20日，星期五例2设总体X～N(0,1),X1,X2,….,Xn为简单随机样本,试问下列统计量个服从什么分布?解(1)第10页，共38页，2023年，2月20日，星期五(2)第11页，共38页，2023年，2月20日，星期五(3)第12页，共38页，2023年，2月20日，星期五3.分位数设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),对于给定的：0<<1，称满足

的为此分布的上分位数,它的几何意义如下：第13页，共38页，2023年，2月20日，星期五分位数的性质：第14页，共38页，2023年，2月20日，星期五证明（3）:设F~F(n1,n2),则得证!第15页，共38页，2023年，2月20日，星期五例1查表求下列分位数的值解第16页，共38页，2023年，2月20日，星期五5.2.2几个常见的抽样分布第17页，共38页，2023年，2月20日，星期五(1)证明(X1,X2,…,Xn)是n个独立的正态随机变量的线性组合,故服从正态分布,第18页，共38页，2023年，2月20日，星期五(4)证明:且U与V独立,根据t分布的构造得证!第19页，共38页，2023年，2月20日，星期五定理5.2第20页，共38页，2023年，2月20日，星期五证(1)因为第21页，共38页，2023年，2月20日，星期五经标准化后即得结论.(2)又由定理5.1(3)第22页，共38页，2023年，2月20日，星期五且U与V相互独立,再由t分布的定义得化简即得所得结果.第23页，共38页，2023年，2月20日，星期五第24页，共38页，2023年，2月20日，星期五例2：设总体X~N(10,32),X1，…，Xn是它的一个样本 (1)写出Z所服从的分布;(2)求P(Z>11).解因为X~N(10,32),设

又从而所以第25页，共38页，2023年，2月20日，星期五例3：设X1，…，X10是取自N（0，0.32)的样本,求解因为所以则第26页，共38页，2023年，2月20日，星期五从而查表得所以第27页，共38页，2023年，2月20日，星期五例4：设X1，…，Xn是取自N（,2)的样本,求样本方差S2的期望。解第28页，共38页，2023年，2月20日，星期五结论:无论总体X服从什么分布,它的样本方差S2的期望就是它的方差.即第29页，共38页，2023年，2月20日，星期五5.2.3直方图设X是一个随机变量，如何根据样本值x1,x2,…xn近似求出它的概率密度(或分布函数)呢？现在介绍一种近似求概率密度的图解法——直方图(1)先把样本值x1,x2,…xn进行分组：(i)找出样本值x1,x2,…xn的最小值与最大值，分别记为第30页，共38页，2023年，2月20日，星期五(iii)数出样本值落在区间(ti,ti+1]中的个数，记为ni(i=0,1,2,…m)为了掌握分组的三个步骤(i),(ii),(iii),看104页例4.4下面根据分组情况来做直方图。其中a=t0<t1<t2<…<tm<tm+1=b第31页，共38页，2023年，2月20日，星期五现假设X的概率密度为f(t),则有由于n个样本的抽取是独立的，有概率的统计定义可知，fi近似等于随机变量X落入区间(ti,ti+1]的概率，即则fi是样本值落入区间(ti,ti+1]的频数。(2)记第32页，共38页，2023年，2月20日，星期五在上式中，fi(i=0,1,…m)是已知的，而f(x)是未知，但它们之间有近似关系。怎样由fi去近似得出f(x)呢？为直观起见，我们借助于图形。(3)在平面上，画一排竖着的长方形：对每个i(0≤i≤m),以[ti,ti+1]为底，以见图第33页，共38页，2023年，2月20日，星期五oxyt1titi+1直方图第34页，共38页，2023年，2月20日，星期五这个图的好处就在于，它大致地描述了X的概率分布情况，因为每个长方形的面积，刚好近似地代表了X取值落入“底边”的概率。只要有了直方图，就可大致画出概率密度曲线：让曲线大致经过每个竖着的长方形的“上边”。上面介绍的直方图法对于连续型的随机变量才用得上，现在介绍一种方法，无论对连续型的或离散性的随机变量都可以用，这就是X的样本作出X的“经验分布函数”，它是分布函数的良好近似。第35页，共38页，2023年，2月20日，星期五换句话说，对任何实数x，F