机械振动技术基础课件

机械振动技术基础课件第1页，共50页，2023年，2月20日，星期五图3—1几种常见的二自由度系统模型于图3—1。

本章利用一系列具体实例引人二自由度系统最基本的概念，并展示其物理直观。多自由度系统振动理论的严格推导和证明则在下一章讨论。

第2页，共50页，2023年，2月20日，星期五§3.2运动微分方程

例3.1图3—2(a)是一个典型的二自由度弹簧、阻尼器质量系统，是工程实际结构经力学抽象后得到的动力学模型，在任一瞬间，m1和m2的位置可用x1和x2两个广义(独立)坐标描述，即选广义坐标（x1,x2）如图，故系统具有两个自由度。我们用牛顿第二定律建立它的运动微分方程。分别在m1，m2建立坐标系O1x1,

O2x2以描述m1，m2的振动。坐标原点O1,O2分别取m1，m2的静平衡位置，向右为坐标正向。运动x1和x2是微幅的，系统是线性的。图3-2第3页，共50页，2023年，2月20日，星期五这种用矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程相似，如果将数认为是一阶方阵和一维向量，二者在形式上就统一了。第4页，共50页，2023年，2月20日，星期五多自由度系统的运动微分方程与方程(3.2)在形式上完全一样，只是矩阵均是n阶矩阵，向量均为n阶向量。第5页，共50页，2023年，2月20日，星期五图3—2第6页，共50页，2023年，2月20日，星期五第7页，共50页，2023年，2月20日，星期五第8页，共50页，2023年，2月20日，星期五第9页，共50页，2023年，2月20日，星期五第10页，共50页，2023年，2月20日，星期五§3.3不同坐标系下的运动微分方程第11页，共50页，2023年，2月20日，星期五第12页，共50页，2023年，2月20日，星期五第13页，共50页，2023年，2月20日，星期五第14页，共50页，2023年，2月20日，星期五第15页，共50页，2023年，2月20日，星期五第16页，共50页，2023年，2月20日，星期五第17页，共50页，2023年，2月20日，星期五第18页，共50页，2023年，2月20日，星期五§3.4无阻尼自由振动第19页，共50页，2023年，2月20日，星期五第20页，共50页，2023年，2月20日，星期五第21页，共50页，2023年，2月20日，星期五第22页，共50页，2023年，2月20日，星期五第23页，共50页，2023年，2月20日，星期五第24页，共50页，2023年，2月20日，星期五第25页，共50页，2023年，2月20日，星期五第26页，共50页，2023年，2月20日，星期五第27页，共50页，2023年，2月20日，星期五第28页，共50页，2023年，2月20日，星期五由上例可以看到，二自由度无阻尼系统在某些特定的初始条件下的自由振动是简谐振动。此时振动的特点是，系统的两个自由度(振动体)以相同的频率振动，同时达到极值，同时为零，它们之间的相位差为零或，它们的坐标之比是与系统的物理参数有关而与时间无关的常数。我们称这种振动为系统的固有振动。固有振动时的频率称为系统的固有频率，坐标之比称为固有振型，简称振型，振型与固有频率是一一对应的。二自由度系统存在两种频率的固有振动，因此有两个固有频率，两个固有振型。二自由度系统在任意初始条件下的无阻尼自由振动是这两个固有振动的线性组合。许多时候可以用图形直观显示固有振动时各个坐标之间的相互位置关系，称为振型图

第29页，共50页，2023年，2月20日，星期五上例振型图如图3—5所示:

图3—51、振型图的物理意义：横坐标表示系统各点的静平衡位置，纵坐标表示各点的振幅比；2、第二振型在弹簧k1上有一个始终保持不动的点，称为节点）第30页，共50页，2023年，2月20日，星期五不用对称条件而直接从系统的微分方程出发求出系统的固有频率和振型：

图3—4(a)

第31页，共50页，2023年，2月20日，星期五第32页，共50页，2023年，2月20日，星期五第33页，共50页，2023年，2月20日，星期五第34页，共50页，2023年，2月20日，星期五第35页，共50页，2023年，2月20日，星期五第36页，共50页，2023年，2月20日，星期五第37页，共50页，2023年，2月20日，星期五第38页，共50页，2023年，2月20日，星期五第39页，共50页，2023年，2月20日，星期五第40页，共50页，2023年，2月20日，星期五第41页，共50页，2023年，2月20日，星期五第42页，共50页，2023年，2月20日，星期五第43页，共50页，2023年，2月20日，星期五第44页，共50页，2023年，2月20日，星期五第45页，共50页，2023年，2月20日，星期五我们知道，三维空间中运动的质点沿相互垂直的三个方向的运动是相互独立的，三个方向的能量彼此之间不相互交换，质点的总能量为三个方向能量之和。如果将振型视为向量空间的一个方向向量，上面的分析表明，振动能量可以按振型分解，如同三维空间中的质点的运动和能量可以按相互垂直的三个方向分解一样。这意味着在振动中系统的各阶固有振动如同三维空间中的质点的运动一样，也是相互独立的，彼此没有能量交换。

第46页，共50页，2023年，2月20日，星期五第47页，共50页，2023年，2月20日，星期五图3—7

第48页，共50页，2023年，2月20日，星期五总结：二自由度系统具有两个固有频率。当系统按其中任一固有频率做自由振动时，称之为主振动。主振动是一种简谐振动。发生主振动时，其两个坐标（响应）和振幅之间具有确定的比例，亦即振幅比决定了整个系统的振动形态，故称为主振型。所以二自由度系统的特点是具有两个与固有频率相对应得主振型。在任意起始条件下的自由振动的响应，一般是由这两个不同频率的主振动的叠加。其结果不一定是简谐振动(只有在特殊的初始条件下才是)。但系统对简谐激励的响应是频率与激励频率相同的简谐振动。当激励频率接近于系统的任一固有频率时就发生共振，共振时的振型就是与固有频率相对应得主振型，此时系统的两个坐标的振幅将趋于最大者。补充：由特征值和相应的特征矢量所确定的振动系统特性的表征，称为振动（运动）模态，它是机械系统动态特性的一种表征，它是由系统的特征值和相应的特征矢量所确定。每种模态就代表一种类型运动的形态，例3.3的每个振动体有4个模态函数，可画出图形，这4个模态的线性组合构成个振动体的振动（运动）。第49页，共50页，2023年，2月20日，星期五补充：系统自由振动时的振动模态称为固有振动模态，它是实模态，无阻尼机械系统的固有模态称为正则模态。系统在最低固有频率时的模态称为基本固有模态，对应系统二级固有频率的振动模态称为二级振动模态，所以二自由度系统振动微分方程组的基本解组表示系统的基本固有振动模态和二阶振动模态，这就是基本解组的物理意义。无阻尼机械系统在某一给定振动模态下，中性面（或中性轴）上的点偏离其平衡位置的最大位移所描述的图形称为给定振动模态的振型。各点振型值通常要按选定点的偏离值进行归一化。本书选第一点的偏离值进行正则化处理，用振幅比表示振型。振型是个重要的动态物理量，

模态分析法：