韦达定理专题

韦达定理的应用一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理;2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解.二.例题精讲破解规律例1.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l1与C交于A，B两点，设A(x点评:当直线恒过x轴上的点时,可以考虑设直线方程为x=my+n,这样联立方程消去x比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1:椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0离心率为63，F1(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的下顶点为A，直线l:y=kx+32与椭圆C交于两个不同的点M,N，是否存在实数k使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出例2.已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2:已知椭圆的中心在原点，焦点为F1(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线y=x+2与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|．例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点，（1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3:已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程；（2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.三.课堂练习强化技巧1.已知椭圆过，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，点坐标为，求直线的斜率之和.2.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程。3.已知是圆：上的动点，在轴上的射影为，点是线段的中点，当在圆上运动时，点形成的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）经过点的直线与曲线相交于点，，并且，求直线的方程.四.课后作业巩固内化1.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点.(1)求线段的长度；(2)为坐标原点,为抛物线上一点，若，求的值．2.已知椭圆经过点，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，且，求直线的方程.3.已知F1，F2为椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P(1，3(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得1AC，λ，1BD成等差数列？若存在，求出4.如图，已知椭圆：，其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点，且、、构成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）记的面积为，（为原点）的面积为，试问：是否存在直线，使得？说明理由.5.设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，过点的直线交抛物线于两点，线段的长是，的中点到轴的距离是.(1)求抛物线的标准方程；(2)过点作斜率为的直线与抛物线交于两点，直线交抛物线于，①求证：轴为的角平分线；②若交抛物线于，且，求的值.6.椭圆的左、右焦点分别是，且点在上，抛物线与椭圆交于四点（I）求的方程；（Ⅱ）试探究坐标平面上是否存在定点，满足?（若存在，求出的坐标；若不存在，需说明理由.）7已知抛物线，过点的动直线与相交于两点，抛物线在点和点处的切线相交于点.（Ⅰ）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：点在直线上；韦达定理的应用答案一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理;2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解.二.例题精讲破解规律例1.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l1与C交于A，B两点，设A(x分析:设直线l1的方程为：x=my+p2答案:见解析解析:设直线l1的方程为：x=my+联立方程x=my+p2y2所以y1y2点评:当直线恒过x轴上的点时,可以考虑设直线方程为x=my+n,这样联立方程消去x比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1:椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0离心率为63，F1(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的下顶点为A，直线l:y=kx+32与椭圆C交于两个不同的点M,N，是否存在实数k使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出解析：（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为（2）由题意知k≠0，联立方程y=kx+32xΔ=81k2-4(1+3设，则，x1x2=154(1+3k由，知，所以点H的坐标为H(-9k2+6k2,又直线AM,MN斜率均存在，所以kAH于是kAH⋅kMN=3将k=±63代入①，满足Δ>0．故存在k使得以AM,AN为邻边的平行四边形可以是菱形，例2.已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.分析：第二问,将直线方程代入曲线方程,化简后写出韦达定理,利用弦长公式求出弦长,点到直线距离求出高,进而得到面积.答案:（1）（2）解析：（1）设所求双曲线方程为,代入点得，即所以双曲线方程为，即.（2）.直线的方程为.设联立得满足由弦长公式得点到直线的距离.所以点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2:已知椭圆的中心在原点，焦点为F1(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线y=x+2与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|．解析:(Ⅰ)∵椭圆的中心在原点，焦点为F1且长轴长为8,∴c=2故要求的椭圆的方程为x2(Ⅱ)把直线y=x+2代入椭圆的方程化简可得5x∴弦长|AB|=例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点，（1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.分析:（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式,从而求出范围答案:（1）；（2）.解析:（1）由已知，设则直线，直线，两式相乘得，化简得，即动点的轨迹的方程为；(2)过的直线若斜率不存在则或3,设直线斜率存在，，则由（2）（4）解得代入（3）式得，化简得，由（1）解得代入上式右端得，,解得,综上实数的取值范围是.规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3:已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程；（2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.解析：（1）∵，∴（2）设点横坐标为,点横坐标为.平行线分线段成比例定理：联立：得：，，则或（舍）与实际情况不符故三.课堂练习强化技巧1.已知椭圆过，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，点坐标为，求直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）的斜率之和为2.解析（Ⅰ）解：由已知得解之得，a=2，b=，c=1.所以椭圆方程为:（Ⅱ）设，由(1)得，设直线的方程为与椭圆联立得消去x得，所以①所以②将①带入②,化简得:当直线斜率不存在时，A(1,－)，B(1,)，所以的斜率之和为2.2.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程。答案:(1)(2)(x-1)2+y2=2解析：（1）设椭圆的方程为=1（a>b>0），由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F1（-1；0），F2（1，0）.所以2a=所以a=2，又c=1，b2=4-1=3，故椭圆的方程为.（2）当直线l⊥x轴，计算得到：A（-1，-），B（-1，），，不符合题意.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），由消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0,显然△>0成立，设A（x1,y1），B（x2,y2），则x1+x2=，x1·x2=，又|AB|=,即|AB|=，又圆F2的半径r=，所以，化简，得17k4+k2-18=0，即（k2-1）（17k2+18）=0，解得k=±1，所以，r=，故圆F2的方程为：(x-1)2+y2=23.已知是圆：上的动点，在轴上的射影为，点是线段的中点，当在圆上运动时，点形成的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）经过点的直线与曲线相交于点，，并且，求直线的方程.【答案】(1)；(2).解析：（1）设，则在圆上，所以，即（2）（ⅰ）当直线斜率不存在时，经检验，不满足题意；（ⅱ）设直线斜率为，则其方程为，则令，得设，①②又由，得，将它代入①，②，得，（满足）所以直线的斜率为，所以直线的方程为.四.课后作业巩固内化1.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点.(1)求线段的长度；(2)为坐标原点,为抛物线上一点，若，求的值．答案:(1)9;(2)或.解析：(1)直线AB的方程是y＝2（x-2），与y2＝8x联立，消去y得x2－5x＋4＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝5.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，(2)由x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，又，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.2.已知椭圆经过点，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，且，求直线的方程.答案:（Ⅰ）（Ⅱ）或.解析：（Ⅰ）由题意得，解得.故椭圆的方程是.（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立，消去，得.则有，..设的中点为，则，.∵直线与直线垂直，∴，整理得.∴.又∵，∴，解得或.∵与矛盾，∴.∵，∴.故直线的方程为或.3.已知F1，F2为椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P(1，3(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得1AC，λ，1BD成等差数列？若存在，求出答案:（1）x24+解析：(1)∵PF1+PF2=4，∴2a=4将P1,32代入可得b2=3(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时，1AC②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y=k(x+1)，代入椭圆方程x24+设A(x1,y1)，AC=∵直线BD的斜率为-1k，∴∴1AC综上，2λ=1AC+故存在常数λ=724，使得1AC，λ4.如图，已知椭圆：，其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点，且、、构成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）记的面积为，（为原点）的面积为，试问：是否存在直线，使得？说明理由.答案:（1）；（2）.解析：（1）因为、、构成等差数列，所以，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为．（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与,轴垂直．设方程为，由消去y整理得，显然．设，，则，故点的横坐标为，所以．设,因为，所以，解得，即．∵和相似，且，则，∴，整理得，解得，所以，所以存在直线满足条件，且直线的方程为.5.设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，过点的直线交抛物线于两点，线段的长是，的中点到轴的距离是.(1)求抛物线的标准方程；(2)过点作斜率为的直线与抛物线交于两点，直线交抛物线于，①求证：轴为的角平分线；②若交抛物线于，且，求的值.答案:（1）；（2）证明见解析，.解析：（1）设抛物线方程为，由抛物线定义可,又中点到轴距离为，则，故，所以抛物线的方程.(2)①设，直线为,，知