全国高中数学联赛江西省预赛试题解答(同名23059)

2015年全国高中数学联赛江西省初赛试题一、填空题、若三位数nabc是一个平方数，而且其数字和abc也是一个平方数，则称n为1超级平方数，这类超级平方数的个数是．2、函数y8xx214xx248的最大值是．3、直线l过点M(1,2)，若它被两平行线4x3y10与4x3y60所截得的线段长为2，则直线l的方程为．413．、0cos100sin105、知足1x2x的实数x的取值范围是．6、若实数x,y,z0，且xyz30,3xyz50，则T5x4y2z的取值范围是[]．7、在前一万个正整数组成的会合1,2,L,10000中，被3除余2，而且被5除余3，被7除余4的元素个数是．8、如图，正四周体ABCD的各棱长皆为2，A1,B1,C1分别是棱DA,DB,DC的中点，以D为圆心，1为半径，分别在面DAB,DBC??，并将两弧各分红五均分，内作弧A1B1,B1C1分点按序为A1,P1,P2,P3,P4,B1以及B1,Q1,Q2,Q3,Q4,C1，一只甲虫欲从点P1出发，沿四周体表面爬行至点Q4，则其爬行的最短距离为．二、解答题9、正整数数列an知足：a12,an1an2an1；证明：数列的任何两项皆互质．110、（25分）H为锐角三角形ABC的垂心，在线段CH上任取一点E，延伸CH到F，使HFCE，作FDBC，EGBH，此中D,G为垂足，M是线段CF的中点，O1,O2分别为ABG,BCH的外接圆圆心，eO1,eO2的另一交点为N；A证明：1、A,B,D,G四点共圆；FG2、O1,O2,M,N四点共圆；O1NHMEBDCO211a,b及实数r0，证明：圆周xa2yb2r2上、关于随意给定的无理数至多只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）．12、从会合M1,2,L,36中删去n个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是2015的因数，求n的最小值．22015年全国高中数学联赛江西省初赛试题解答一、填空题1、若三位数nabc是一个平方数，而且其数字和abc也是一个平方数，则称n为超级平方数，这类超级平方数的个数是．答案：13个．解：可按序列举出：100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961．2、函数y8xx214xx248的最大值是．答案：23．解：yx(8x)(x6)(8x)8xxx668x，xx6其定义域为6x8，当x6时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为23．3、直线l过点M(1,2)，若它被两平行线4x3y10与4x3y60所截得的线段长为2，则直线l的方程为．答案：x7y15或许7xy5．解：设l的方程为y2k(x1)，将此方程分别与4x3y10及4x3y60联立，解得交点坐标A3k7,5k8与B3k12,10k8，据AB2，3k43k43k43k425k225(k21)1得52，即2，所以k17，k23k43k43k2，分别代入47所设方程，获得x7y15或许7xy5．4、13．sin100cos100答案：4．解：1341cos1003sin100sin300cos100cos300sin100sin10cos1002242sin100cos10002sin100cos10034sin2004．sin2005、知足1x2x的实数x的取值范围是．答案：1,2．2解：用图像法：令y1x2，此为单位圆的上半圆，它与直线yx交点1,1，22半圆位于交点左边的图像皆在直线yx上方；或许三角函数代换法：因1x1，令xcos,0，则ysin，由条件式1x2x，平方得2x21，则x1，又有xcos1，所以x1,2．226、若实数x,y,z0，且xyz30,3xyz50，则T5x4y2z的取值范围是[]．答案：120,130．解：T5x4y2zxyz4x3yz304x3yz因4x2yxyz3xyz80，所以T110(yz)，20(3xyz)(xyz)2(xz)，则xz10，因x,z非负，于是x10，从而由xyz30知，yz20，获得T110(yz)130，（当z0,x10,y20时获得等号）再由4x2y80，y0，则x20，所以yz30x10，于是T110(yz)120，（当x20,y0,z10时获得等号），所以120T130．7、在前一万个正整数组成的会合1,2,L,10000中，被3除余2，而且被5除余3，被7除余4的元素个数是．答案：95个．解：关于每个知足条件的数n，数2n应该被3,5,7除皆余1，且为偶数；所以，2n1应该是3,5,7的公倍数，且为奇数；即是105的奇倍数，而当n1,2,L,10000时，2n142n11,2,L,19999，因为在1,2,L,19999中，共有190个数是105的倍数，此中的奇倍数恰有95个．8、如图，正四周体ABCD的各棱长皆为2，A1,B1,C1分别是棱DA,DB,DC的中点，??，并将两弧各分红五均分，以D为圆心，1为半径，分别在面DAB,DBC内作弧A1B1,B1C1分点按序为A1,P1,P2,P3,P4,B1以及B1,Q1,Q2,Q3,Q4,C1，一只甲虫欲从点P1出发，沿四周体表面爬行至点Q4，则其爬行的最短距离为．答案：2sin420．解：作两种睁开，而后比较；因为?被A,P,P,P,P,B分红五段等弧，每段弧对应的中心角各为0，?被A1B111234112B1C1B1,Q1,Q2,Q3,Q4,C1分红五段等弧，每段弧对应的中心角也各为120，若将DBC绕线段DB旋转，使之与DAB共面，这两段弧均重合于以D为圆心，半?000径为1的圆周，PQ对应的圆心角为81296之间直线距离为2sin48，此时，点P,Q4，141若将DAB绕线段DA旋转，DBC绕线段DC旋转，使之皆与DAC共面，在所得图形中，?对应的圆心角为700，此时，点14之间直线距离为2sin420，14所以最短距离是2sin420．二、解答题9、正整数数列an知足：a12,an1an2an1；证明：数列的任何两项皆互质．证：改写条件为an11an(an1)，从而an1an1(an11)，等等，据此迭代得an11anan1(an11)anan1an2(an21)Lanan1La1(a11)anan1La1，所以，anan1an2La11，所以当kn，(an,ak)1．10、（25分）H为锐角三角形ABC的垂心，在线段CH上任取一点E，延伸CH到F，使HFCE，作FDBC，EGBH，此中D,G为垂足，M是线段CF的中点，O1,O2分别为ABG,BCH的外接圆圆心，eO1,eO2的另一交点为N；5A证明：1、A,B,D,G四点共圆；OFG2、O1,O2,M,N四点共圆；1HNM证：1、如图，设EGIDFK，连AH，EBDC则因ACBH,EKBH，AHBC，O2KFBC，得CA∥EK，AH∥KF，且CHEF，所以CAF≌EKF，AH与KF平行且相等，故AK∥HF，KAB900KDBKGB，所以，A,B,D,G四点共圆；、据1，BK为eO1的直径，作eO2的直径BP，连CP,KP,HP,O1O2，则BCPBHP900，所以CP∥AH，HP∥AC，故AHPC为平行四边形，从而得，PC与KF平行且相等，所以对角线KP与CF互相均分于M，从而O1,O2,M是KBP三边的中点，KM∥O1O2，

KAO1GNHMEBDCO2P而由KNB900，O1O2BN，得KN∥O1O2，所以M,N,K共线，所以MN∥O1O2，又由KBP的中位线知MO2O1BO1N，所以四边形O1O2MN是等腰梯形，其极点共圆．11、关于随意给定的无理数a,b及实数r2220，证明：圆周xaybr上至多只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）．证：关于点Ma,b，用PM,r表示上述圆周上有理点的个数；第一，我们能够作一个合于条件的圆，其上起码有两个有理点，为此，取点A0,0,B2,2，线段AB中垂线l的方程为:xy2,今在l上取点M12,12，再取rMA6，则以M为圆心、r为半径的圆周上起码有A,B这两个有理点；6其次说明，关于任何无理点M以及随意正实数r，PM,r2；为此，假定有无理点Ma,b及正实数r，在以M为圆心，r为半径的圆周上，起码有三个有理点Aixi,yi，xi,yi为有理数，i1,2,3，则x12y1b2x2a2y2b2x3a2y3b2a①据前一等号得x1x2ay1y2b1x12y12x22y22②2据后一等号得x2x3ay2y3b1x22y22x32y32③记112x12y12x22y22t1，x22y22x32y32t2，则t1,t2为有理数，22若x1x20，则由②，y1y2bt1，因b为无理数，得y1y20，故A1,A2共点，矛盾！同理，若x2x30，可得A2,A3共点，矛盾！若x1x20,x2x30，由②、③消去b得，x1x2y2y3y1y2x2x3at1y2y3t2y1y2有理数，因a为无理数，故得，x1x2y2y3y1y2x2x30，所以y1y2y3y2，则A1,A2,A3共线，这与A1,A2,A3共圆矛盾！x1x2x3x2所以所设不真，即这类圆上至多有两个有理点．于是关于全部的无理点M及全部正实数r，M,r的最大值为2．12、从会合M1,2,L,36中删去n个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是2015的因数，求n的最小值．答案：17．解：因201551331，M中任两个元素之和不大于71，因为2015不大于71的正因数有1,5,13,31,65，在M的二元子集中，元素和为5的有1,4,2,3；元素和为13的有1,12,2,11,3,10,4,9,5,8,6,7；元素和为311,30,2,29,3,28,4,27,5,26,6,25,L,15,16；的有元素和为65的有29,36,30,35,31,34,32,33；7为直观起见，我们将其画成一个图，每条线段两头的数为上述一个二元子集，为了不组成这些和，每对数（每条线段）中起码要删去一个数；1912272011281318142314173530(A)9223629(B)102115163