地球物理计算方法2018秋第二章数值积分

地球物理计算方法

地球物理与信息技术学院课堂情况反馈复习问题（拟合/逼近问题）数值方法（最小二乘法）上节课讲了些什么？复习拟合问题与插值问题有何异同点？5拟合vs插值相同点：两类问题都是用简单函数近似未知函数；不同点：插值问题要求近似函数与未知函数在已知节点函数值相等；拟合/逼近问题只要求近似函数能够符合大部分已知数据的分布趋势即可。复习6oy●●●●●

ynx

y0

x1

x2

xn

y1

y2

x0pn(x)s(x)●复习拟合vs插值71.直线拟合如果某个直线能很好逼近数据规律，即a,b确定，所以根据方程可以计算理论值（真实值）y*i与实测值（近似值）yi之差称为残差。残差的大小可作为衡量近似函数好坏的标准。复习8准则（判断标准）：（2）使残差的绝对值之和最小，即（1）使残差的最大绝对值最小，即（3）使残差的平方和最小，即函数的最佳一致逼近/最小一乘拟合函数的最佳平方逼近/最小二乘拟合复习9数据拟合的最小二乘法问题根据给定的数据组（xi,yi)(i=1,2,…N),选取近似函数形式，使：该函数称为这组数据的最小二乘函数。目标函数复习10据函数极值方法，下式成立将Q代入可以得到线性方程组复习11根据给定的数据组（xi,yi)(i=1,2,…N),求一个m次多项式（m<<N)使所有采样点的误差满足：Q是一个多元函数，所以求这个多元函数的极值问题。2.多项式拟合复习12由多元函数取极值的必要条件，得方程组求导移项得复习13写成方程组：这是最小二乘拟合多项式的系数aj所满足的方程组，称为正则方程组或法方程组,从中求解出aj即可得到Pm(x)。复习14

有时根据给定数据图形，其拟合函数y=f(x)表面上不是线性或多项式的形式，但通过变换仍可化为线性模型。例如，，若两边取对数得这样就变成了形如的线性模型.此时，若令则非线性拟合模型非线性问题线性化复习15《地球物理计算方法》

第2章数值积分1、机械求积2、Newton-cotes积分公式3、复化求积方法4、Romberg加速算法5、Gauss积分公式6、数值微分16问题的提出函数积分：

若能求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，则定积分I能根据牛顿-莱布尼茨公式求出，即18(2)还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂，例如函数其原函数F(x)为：

(1)被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数F(x)，例如：面临的困难：(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数关系由表格或图形表示．0、求积方法的历史变迁

求曲边图形的面积：微积分方法21内接梯形面积：(2)穷竭法22外接梯形面积：预备知识积分中值定理推广形式：积分中值定理：1、机械求积的概念根据积分中值定理，函数积分：平均高度的取值是关键？25左矩形公式右矩形公式y=f(x)yab中矩形公式27abyx(a+b)/2y=f(x)梯形公式Simpson公式abyxy=f(x)29求积系数权系数求积节点y=f(x)机械求积公式：注意：机械求积公式：求积分用某些节点的函数值来计算；求积系数（权系数）,与函数没有关系，只与求积节点有关。abx1

x2

x3

xk

…

301．求积系数及节点如何确定？2．此公式与多项式有何关系？3．公式的计算精度如何判断？如何提高计算精度？问题：例

设积分区间[a,b]为[0,2]，分别用梯形和Simpson公式计算时积分结果并与准确值进行比较.32解:梯形公式和Simpson公式的计算结果与准确值比较如下表所示

f(x)1xx2x3x4ex

准确值222.6746.406.389

梯形公式2248168.389

辛卜生公式222.6746.676.421

定义：

设求积公式对于一切次数小于等于m的多项式是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m阶代数精度（简称精度）2、代数精度的概念等价定义：

设求积公式对于是准确的，而对于是不准确的，则称该求积公式具有m阶代数精度例

试构造求积公式使其具有1阶的代数精度．

解：对于f(x)=1，x是否精确相等；得到：梯形公式35例

若对于给定的一组求积节点相应的求积公式

至少具有n次代数精度，试确定其求积系数．解由已知对于，求积公式

均成立等式，得：解：对于f(x)=1，x…xn均精确相等；令左=右37其系数矩阵当xk,(k=0,1,…n)互异时非奇异,故

Ak有唯一解．在求积节点给定的情况下，求积公式的构造本质上是个解线性方程的代数问题。38求积系数权系数,求积节点y=f(x)机械求积公式：注意：机械求积公式：求积分用某些节点的函数值来计算；求积系数（权系数）,与函数没有关系，只与求积节点有关。abx1

x2

x3

xk

…

393、插值型求积公式过函数f(x)的n+1节点x0，x1，……，xn的函数值，作n次多项式函数pn(x)：式中由于多项式求积分容易，令这样求解插值系数：插值表示：——插值型求解方法定理

n+1个节点的求积公式

为插值型求积公式的充要条件是此公式至少具有n次代数精度．插值型求积代数精度证明P60-61利用拉格朗日插值基函数的性质：43一但给定一系列求积节点，则求积系数可通过以下两种方法来确定：（1）求解线性方程组（2）利用插值型求积公式根据充要条件或方程组解的存在唯一性，二者是等价的。

小结例1

试确定求积系数A,B,C使具有最高的代数精度解:分别取f(x)=1,x,x2

使求积公式准确成立,

即得方程组:所得求积公式为：对于f(x)=1,x,x2,x3都准确成立,对于f(x)=x4

就不准确了，所以此求积公式有3次代数精度。

由于n+1节点的插值求积公式至少有n次代数精度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式的代数精度。例如插值求积公式

有三个节点至少有2次代数精度，是否有3次代数精度呢？将f(x)=x3代入公式两端，左端和右端都等于(b4-a4)/4,公式两端严格相等，再将f(x)=x4代入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有3次代数精度。

的代数精度。可以验证,对于f(x)=1,x时公式两端相等,再将f(x)=x2代入公式左端例2考察求积公式两端不相等,所以该求积公式具有1次代数精度。三个节点不一定具有2次代数精度。因为不是插值型的右端1、机械求积2、Newton-cotes积分公式3、复化求积方法4、Romberg加速算法5、Gauss积分公式6、数值微分48若此求积公式至少具有n阶的代数精度，则称此求积公式为n阶的Newton-Cotes公式．把区间[a，b]分为n等份，步长为h（h=(b－a)/n）,则n+1个点（取等分点）分别为：xk=a+kh;,由这n＋1个点构造的插值型求积公式为：50积分公式的构造：精度概念定义

对于则此求积公式对于应成立等式条件满足。1、公式的导出51（2）插值公式方法