现代控制理论及其MATLAB实现 PPT

现代控制理论及其MATLAB实现韩致信编著第1章

控制系统的状态空间数学模型第2章

控制系统的运动分析第3章

控制系统的稳定性分析第4章

控制系统的能控性与能观测性第5章

线性定常控制系统的综合第6章

最优控制绪论绪论3返回总目录20世纪40年代3形成体系19世纪2发展阶段萌芽阶段118世纪初一、经典控制理论的形成与发展§01现代控制理论的形成和发展41、萌芽阶段

随着科学技术与工业生产的发展，到十八世纪，自动控制技术逐渐应用到现代工业中。其中最卓越的代表是瓦特（J.Watt）发明的蒸汽机离心调速器，加速了第一次工业革命的步伐。瓦特52、发展阶段1868年马克斯韦尔（J.C.Maxwell）解决了蒸汽机调速系统中出现的剧烈振荡的不稳定问题，提出了简单的稳定性代数判据。马克斯韦尔（J.C.Maxwell）63、形成体系阶段1895年劳斯（Routh）与赫尔维茨（Hurwitz）把马克斯韦尔的思想扩展到高阶微分方程描述的更复杂的系统中,各自提出了两个著名的稳定性判据—劳斯判据和赫尔维茨判据。基本上满足了二十世纪初期控制工程师的需要。赫尔维茨（Hurwitz）7由于第二次世界大战需要控制系统具有准确跟踪与补偿能力，1932年奈奎斯特（H.Nyquist）提出了频域内研究系统的频率响应法，为具有高质量的动态品质和静态准确度的军用控制系统提供了所需的分析工具。

奈奎斯特84、经典控制理论的特点和局限性(1)以SISO线性定常系统为研究对象。(2)以拉氏变换为工具，以传递函数为基础在频率域中分析与设计。(3)难以有效地应用于时变系统、多变量系统(4)难以有效地应用于非线性系统。9二、现代控制理论的形成与发展80年代后3形成体系60~80年代

2发展阶段萌芽阶段120世纪50年代

101.五十年代后期，贝尔曼（Bellman）等人提出了状态分析法；在1957年提出了动态规划。2.1959年卡尔曼（Kalman）和布西创建了卡尔曼滤波理论；1960年在控制系统的研究中成功地应用了状态空间法，并提出了可控性和可观测性的新概念。卡尔曼114.罗森布洛克（H.H.Rosenbrock）、欧文斯（D.H.Owens）和麦克法轮（G.J.MacFarlane）研究了使用于计算机辅助控制系统设计的现代频域法理论，将经典控制理论传递函数的概念推广到多变量系统，并探讨了传递函数矩阵与状态方程之间的等价转换关系，为进一步建立统一的线性系统理论奠定了基础3.1961年庞特里亚金（俄国人）提出了极小（大）值原理。

L.S.Pontryagin125.由于现代数学的发展，结合着H2和H等范数而

出现了H2和H控制，还有逆系统控制等方法。

6.20世纪70年代末，控制理论向着“大系统理论”、

“智能控制理论”和“复杂系统理论”的方向发展：大系统理论：研究各种大系的结构方案、总体设计中的分解方法和协调等问题的技术基础理论。智能控制理论：研究与模拟人类智能活动及其控制与信

息传递过程的规律，的理论。复杂系统理论：把系统的研究拓广到开放复杂巨系统的范

筹，以解决复杂系统的控制为目标。返回本章目录§02现代控制理论的内容现代控制理论基础的主要内容有:线性系统理论最优控制理论最优估计理论系统辨识理论自适应控制理论非线性系统理论14

经典控制理论

现代控制理论

研究对象单输入单输出系统(SISO)高阶微分方程

多输入多输出系统(MIMO):一阶微分方程组

研究方法传递函数法(外部描述)

状态空间法(内部描述)

研究工具拉普拉斯变换

线性代数矩阵

分析方法频域(复域),频率响应和根轨迹法

复域、实域，可控和可观测

设计方法PID控制和校正网络

状态反馈和输出反馈

其他

频率法的物理意义直观、实用，难于实现最优控制

易于实现实时控制和最优控制15现代控制理论应用示例：地空导弹稳定控制机器人控制16返回本章目录1.1基本概念1.3线性时变连续系统的状态空间数学模型1.2线性定常连续系统的状态空间数学模型1.5线性离散系统的状态空间数学模型1.4非线性连续系统的状态空间数学模型1.6线性定常系统状态空间模型的MATLAB实现第1章

控制系统的状态空间数学模型返回总目录

内容提示：本章论证控制系统的状态空间数学模型，包括线性定常连续系统的状态空间模型及其线性变换、线性时变连续系统的状态空间模型、非线性系统状态空间模型、线性定常离散系统的状态空间模型、线性定常系统状态空间模型的MATLAB实现等。1．输入量和输入向量1.1基本概念2．输出量和输出向量3．状态变量、状态向量和状态空间状态变量具有最小性，非唯一性，独立性。4．状态方程非线性时变系统状态方程非线性定常系统状态方程4．状态方程线性时变系统状态方程系统矩阵输入（或控制）矩阵5.输出（或观测）方程非线性时变系统输出方程非线性定常系统输出方程5.输出（或观测）方程线性时变系统输出方程输出（或观测）矩阵前馈（或顺馈）矩阵5.输出（或观测）方程线性定常系统输出方程输出矩阵C和前馈矩阵D为常数矩阵（1）系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵和前馈矩阵都只与系统的结构及其参数有关，统称为系数矩阵。（2）系统的状态空间模型描述的是系统的输入、状态及输出三者之间的动态关系，故状态方程和输出方程统称为动态方程。（3）由于状态变量的非唯一性，同一系统可以具有不同的动态方程。但不论怎样选取状态变量，系统的传递函数矩阵必定是唯一的，对于一定的输入和初始条件，系统的输出也必定是唯一的。（4）为了保障微分方程解的存在性，状态变量的选取不能使状态方程含有输入量的导数项。因为有些输入量的导数不连续，会使状态方程无解。（5）线性系统的动态方程完全决定于其系数矩阵，常常直接表示为线性时变系统线性定常系统线性时变系统6.系统的结构图线性定常系统6.系统结构图返回本章目录1.2线性定常连续系统的状态空间数学模型当已知系统的物理模型时，状态变量一般选物理量，特别是标志能量大小的物理量。如机械系统中弹性元件的变形（反映位能）和质量元件的速度（反映动能）；电气系统中的电容电压（反映电能）和电感电流（反映磁能）。1.2.1根据物理模型建立状态空间模型【例】由质量为的质块、刚度为的无重弹簧及阻尼系数为的阻尼器组成的质量-弹簧-阻尼系统如图所示。建立以激励力为输入量、以质块位移为输出量的状态空间模型。

选取弹簧变形和质块速度为状态变量，即【例】一个由电阻、电容和电感元件组成的四端无源网络如图所示，试建立以输入电压

为输入量、以输出电压为输出量的状态空间模型。选取电容电压和电感电流为状态变量，即

状态空间模型框图绘制步骤：积分器的数目等于状态变量数，每个积分器的输出表示一个状态变量（用矢线表示），根据所给的状态方程和输出方程，画出加法器和比例器。1.2.2根据微分方程建立状态空间模型当已知系统的微分方程时，可根据高阶微分方程与一阶微分方程组的关系将其化为一阶微分方程组。由于状态变量选取的非唯一性，同一微分方程可演化出许多不同的状态空间模型，其中最常用的是两种观测器规范型。

1.能观测规范Ⅰ型令为待定系数

为使状态方程不含输入量的导数项，令

能观测规范Ⅰ型

推广到n阶系统

【例】假设系统的微分方程为试求其状态空间数学模型。2．能观测规范Ⅱ型1.2.2根据微分方程建立状态空间模型令……

能观测规范Ⅱ型【例】假设系统的微分方程为试求其状态空间数学模型。1.2.3根据传递函数建立状态空间模型当已知系统的传递函数时，可借助于传递函数与微分方程的关系及结构图将其化为一阶微分方程组。由于状态变量选取的非唯一性，同一传递函数可演化出许多不同的状态空间模型，其中最常用的是两种控制器规范型。1．能控规范Ⅰ型…令能控规范Ⅰ型【例】假设系统的传递函数为

试求其状态空间数学模型。2．能控规范Ⅱ型……令能控规范Ⅱ型能控规范型与能观测规范型的关系【例1】假设系统的传递函数为

试求其状态空间数学模型。

3．约当规范型假设传递函数的极点有一个重极点，其余极点为单极点，即令约当规范型4．对角线规范型当已知系统的传递函数结构图时，仿照上面约当规范型的状态变量定义方法，对每个积分环节和各一次项倒数环节的输出端定义一个状态变量，再通过简单数学运算即可建立状态空间模型。当结构图中含有二次项或更高次有理分式函数环节时，可应用梅逊公式和结构图等效变换方法将其化为一次项倒数环节的组合形式。还可以综合运用以上几种方法来建立状态空间模型。1.2.4根据系统的传递函数结构图建立状态空间模型【例】假设系统的结构如图所示，试建立其状态空间模型。

令【例】

解法一（应用梅逊公式）解法二根据能控规范Ⅰ型由结构图得1.2.5状态空间模型的线性变换1.线性变换

（1）任意选取非奇异矩阵T

为在新状态空间中的状态向量；z向量空间的系统矩阵、输入矩阵和输出矩阵。1.2.5状态空间模型的线性变换1.线性变换

（2）任意选取非奇异矩阵T

为在新状态空间中的状态向量；分别为z向量空间的系统矩阵、输入矩阵和输出矩阵。

与或是相似矩阵，而相似矩阵具有相同的特征值。线性变换不改变系统的特征值。

2.对角线规范型的实现假设单输入单输出线性定常系统的特征值互异，与对应的特征向量为将系统化为对角线规范型的变换矩阵为变换后，新状态空间模型的系统矩阵为

3.约当规范型的实现有一个化为约当规范型的变换矩阵为

假设系统矩阵重特征值，其余特征值互异

…

…

新状态空间模型的系统矩阵为【例】假设系统的系数矩阵分别为

试求系统的特征值并据以将系统化为约当规范型或对角线规范型。（1）求系统矩阵A的特征值三重特征值（2）化为约当规范型

（2）化为约当规范型

1.2.6状态空间模型与传递函数矩阵之间的关系返回本章目录1.3线性时变连续系统的状态空间数学模型线性时变系统没有传递函数，其状态空间模型可仿照线性定常系统观测器规范型来建立。【例】假设线性时变系统的微分方程为

试建立其状态空间数学模型。

令为使状态方程不含输入量的导数项，令

返回本章目录1.4非线性连续系统的状态空间数学模型非线性系统有本质非线性和本征非线性两种类型。其元件具有滞环或饱和等非线性特性的系统称为本质非线性系统。其微分方程含有非线性项的系统称为本征非线性系统。对于本质非线性系统，可将线性部分状态空间模型列写出来，对非线性部分进行相应的变量代换。本征非线性系统的状态空间模型可通过变量代换来建立。1.4.1本质非线性系统的状态空间模型【例】假设系统的结构如图（a）所示，其中，滞环非线性元件的特性如图（b）所示，试建立其状态空间模型。图（a）图（b）根据能控规范Ⅰ型设1.4.2本征非线性系统的状态空间模型【例】假设系统的微分方程为试建立其状态空间模型。令返回本章目录1.5线性离散系统的状态空间数学模型1.5.1基本概念1.差分方程n阶前向差分方程

n阶后向差分方程

2.脉冲传递函数在零初始条件下输出量的z变换与输入量的z变换之比。

3.状态空间模型线性时变离散系统动态方程线性定常离散系统动态方程1.5.2线性定常离散系统的状态空间模型1.能观测规范型（1）能观测规范Ⅰ型令…

（2）能观测规范Ⅱ型令…

线性定常离散系统的能观测规范型与线性定常连续系统的能观测规范型完全一致2．能控规范型线性定常离散系统的能控规范型与线性定常连续系统的能控规范型完全一致（1）能控规范Ⅰ型

（2）能控规范Ⅱ型

（2）能控规范Ⅱ型

返回本章目录1.6线性定常系统状态空间模型的MATLAB实现1.6.1数学模型的MATLAB表示法1．传递函数在MATLAB中可表示为2．传递函数转换状态空间模型在MALAB中，用符号“tf”表示传递函数，用符号“ss”表示状态空间。将传递函数转换为状态空间模型的命令语句是tf2ss，其调用格式是[ABCD]=tf2ss(num,den)3．状态空间模型转换传递函数[num,den]=ss2tf(ABCD)4．状态空间模型转换约当规范型[T,J]=jordan(A)【例】假设系统的传递函数为试求状态空间模型及其约当规范型。（1）状态空间模型（2）状态空间模型转换约当规范型1.6.2实现能控规范型的MATLAB编程及计算——实现能控规范Ⅰ型实现能控Ⅰ型算例1.6.2实现能控规范型的MATLAB编程及计算——实现能控规范Ⅱ型实现能控Ⅱ型算例返回本章目录第2章控制系统的运动分析2.1线性定常连续系统的运动分析2.2线性时变连续系统的运动分析2.3线性定常离散系统的运动分析2.4线性时变离散系统的运动分析返回总目录

内容提示：本章论证控制系统的运动分析方法，包括定常连续和离散、时变连续和离散四种线性系统自由运动、状态转移矩阵、受控运动及其MATLAB编程与计算等。2.1线性定常连续系统的运动分析

在初始条件下的解1．直接解法—待定系数法2.1.1系统状态自由运动系统状态自由运动是在没有外部激励的情况下由不为零的初始状态引发的状态运动，在数学上，就是齐次微分方程第1步，假设微分方程的预解，用待定系数反映事先不确定的因素；第2步，将假设的预解代入微分方程并确定待定系数；第3步，将确定的待定系数回代入预解。假设齐次微分方程的预解为左边==右边

…当时，代入微分方程，得

矩阵指数函数——状态转移矩阵，并用符号表示

2．间接解法—拉氏变换法

第1步，对微分方程进行拉氏变换；第2步，求出微分方程的复域解；第3步，对复域解进行拉氏逆变换。对微分方程进行拉氏变换，得令2.1.2状态转移矩阵

1.状态转移矩阵的性质（1）初值（2）可求导数

左提矩阵A

因，故

右提矩阵A（3）可分解

（4）可逆

（5）可乘方（1）幂级数计算法

2．状态转移矩阵的计算（2）拉氏变换计算法【例】试求矩阵的矩阵指数函数（3）应用凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定理计算一般表达式的同次幂合并同类项，可得再按研究系数的计算方法

10）系统矩阵的特征值互异与其特征值可以互换。

根据凯莱-哈密顿定理，方阵20）系统矩阵有重特征值

关于重特征值求一阶、二阶直至阶导数，可得个方程。

解n元一次方程组便可确定

【例】应用凯莱-哈密顿定理求解前例(学生练习）（4）对角线矩阵和约当矩阵的指数函数10）对角线矩阵

20）约当矩阵30）约当矩阵（5）相似变换计算法与是相似矩阵，具有相同特征值。

2.1.3系统状态受控运动第1步，将齐次微分方程的解的常数参量用变参量代替并作为非齐次微分方程的预解；1．直接解法—常数变易法第2步，将预解代入非齐次微分方程并确定变参量；第3步，将确定的变参量回代入预解。（1）假设非齐次方程预解齐次微分方程的解为得非齐次微分方程的预解，即

将常数向量用变参数向量代替（2）确定变参数向量左边==右边将代入微分方程（3）变参量回代

系统的受控运动由两部分组成受控运动分量——输入量引发则由状态转移矩阵的性质——不为零的初始状态自由运动分量引发如果给定的初始时刻为t0、初始状态为2．间接解法—拉氏变换法

2.1.4系统的输出响应2.1.5实现线性定常连续系统运动分析的MATLAB编程直接法拉氏变换法【例2】已知系统的动态方程为

试求系统的状态转移矩阵和时间响应实现系统运动分析的MALAB人机交互计算过程及数据表输出量变化曲线图【例】上例中，若初始状态输出矩阵，试求系统的响应。输出量变化曲线图（a）输出量y1

（b）输出量y2

返回本章目录2.2线性时变连续系统的运动分析2.2.1系统状态自由运动

是状态转移矩阵。=右边=线性时变系统无法实施拉氏变换，只能用时域直接法进行分析。设时变系统齐次状态方程的解为左边=

——线性时变系统状态转移矩阵的定义式。2.2.2状态转移矩阵

状态转移矩阵的性质（1）初值

（2）可分解（3）可逆

状态转移矩阵关于时间t的导数为（4）可求导数2．状态转移矩阵的计算时，状态转移矩阵为[定理]当且仅当（1）幂级数法证明：左边==右边=

（2）递推级数法对状态转移矩阵定义式两边积分，可得向下递推向上迭代时变系统的非齐次状态方程为故按照常数变易法的思想，假设非齐次方程的预解为2.2.3系统状态受控运动的解为齐次状态方程左边==右边

与定常系统一样，时变系统的状态受控运动也是自由运动分量和受控运动分量两部分的叠加。将预解代入微分方程，得2.2.4系统输出响应2.2.5实现线性时变连续系统运动分析的MATLAB编程1．计算状态转移矩阵的MATLAB编程2．实现系统运动分析的MATLAB编程【例】假设系统的动态方程为

若初始状态为试求在控制信号作用下系统的响应。

实现系统运动分析的MALAB人机交互计算过程及数据表

【例】假设系统的动态方程为

若初始状态为试求在控制信号作用下系统的响应。返回本章目录2.3线性定常离散系统的运动分析1.离散化模型2.3.1线性定常连续系统的离散化及其MATLAB实现令

令设2.线性定常连续系统离散模型的MATLAB实现[Ak,Bk]=c2d(A,B,T)连续模型转化为离散模型T为采样周期离散模型转化为连续模型[A,B]=d2c(AkBk,T)【例】假设连续系统的系数矩阵为

若采样周期为T=0.05（s），试求其离散化模型。系统的离散化模型为实现离散模型的MATLAB过程和数据表2.3.2线性定常离散系统的运动分析1.求解状态方程的递推法

——离散系统的状态转移矩阵

——离散系统的状态转移矩阵2．求解状态方程的z变换法

对进行z变换，得

3．系统输出响应2.3.3实现线性定常离散系统运动分析的MATLAB编程直接递推法Z变换法【例2】

假设离散系统的系数矩阵为

采样周期T=0.1（s），试求系统第10步采样以前的响应序列。

MATLAB人机交互过程及计算数据表（a）输出量y1序列图

（b）输出量y2序列图返回本章目录2.4线性时变离散系统的运动分析2.4.1线性时变连续系统的离散化及其MATLAB实现1.离散化模型令令2.实现线性时变连续系统离散模型的MATLAB编程【例】假设线性时变连续系统的动态方程为

试求其离散化模型，采样周期T=0.1(s)

将状态转移矩阵中的t用(k+1)T代替、t0用kT代替，可得离散化系统矩阵2.4.2线性时变离散系统的运动分析——时变离散系统的状态转移矩阵

2.4.3实现线性时变离散系统运动分析的MATLAB编程【例】假设线性时变离散系统的状态空间模型为

试求当采样周期分别为T=0.1（s）和T=0.05（s）时前20步采样的响应序列（1）T=0.1（s）（1）T=0.1（s）（a）输出量y1序列图

（b）输出量y2序列图（1）T=0.05（s）（1）T=0.05（s）（a）输出量y1序列图

（b）输出量y2序列图返回本章目录第3章控制系统的稳定性分析3.1李雅普诺夫稳定性基本定理返回总目录3.2线性连续系统的稳定性分析3.3线性离散系统的稳定性分析3.4非线性连续系统的稳定性分析

内容提示：本章论证控制系统的李雅普诺夫稳定性分析法，包括定常连续和离散、时变连续和离散四种线性系统、非线性连续系统等的稳定性分析及其MATLAB编程与计算等。3.1关于系统稳定性的基本概念1．系统自由运动数学描述受扰运动——任何一个处于平衡状态的控制系统，当受到扰动作用后，偏离其平衡状态进行运动。

受扰自由运动——扰动消失以后的受扰运动。系统的受扰自由运动与控制作用无关。系统的稳定与否，与输入无关，在研究稳定性时，只须依据自由运动数学模型，即齐次微分方程。非线性系统的齐次微分方程的一般形式为（时变）（定常）线性系统（时变）（定常）2．平衡状态平衡状态——系统运动形式保持恒定的状态，其数学描述是状态变量关于时间的导数等于0，即（非线性）（线性）为平衡状态线性系统：当非奇异时，有唯一的平衡状态当奇异时，有无穷多个平衡状态。非线性系统：常有多个平衡状态。3.李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫意义下的稳定性在平衡状态的邻域内，任意选定实数，如果存在，使得由满足另一实数的任意初始状态引发的系统自由运动总满足则称系统在处是李亚普诺夫意义下稳定的，简称isL稳定。如果而与初始时刻无关，则称isL一致稳定。对于n阶系统，状态变量是n维向量，在状态空间，是欧几里得范数。isL稳定的几何意义是：由超球面内的任意初始状态引发的自由运动永远不会超出超球面。二阶系统isL稳定的几何意义示意图渐进稳定如果系统在处是isL稳定的，且则称系统在处是渐近稳定的。当系统在处是isL一致稳定时，称为一致渐近稳定。当时间足够大时，由偏离平衡状态的任意初始状态引发的自由运动最终趋于。2阶系统渐近稳定的几何意义全局渐进稳定如果为中的任意点，由引发的一切自由运动都是渐近稳定的，则称系统是全局渐近稳定的。当系统是全局渐近稳定时，平衡状态一定是唯一的。对于非奇异线性系统，因平衡状态只有一个状态空间原点，只要渐近稳定，那必定也是全局渐近稳定。对于有多个平衡状态的非线性系统，渐近稳定一定是小范围的。不稳定如果在平衡状态的邻域内，不论该邻域多么小，对于任意选定，的实数均无法找到另一实数，使之满足isL稳定的条件，则称系统在该平衡状态是不稳定的。几何意义：只要偏离，由必定随时间的延续离而远去。它引发的2阶系统不稳定的几何意义4李雅普诺夫稳定性基本定理[定理1]在的邻域内，对于满足系统齐次状态方程的状态向量，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数，而且（1）正定负定（2）则系统在处渐近稳定。又当时，如果，那么系统全局渐近稳定。[定理2]在的邻域内，对于满足系统齐次状态方程的状态向量，如果存在一个满足系统齐次状态方程的具有连续一阶偏导数的，而且标量函数（2）负半定（1）正定外，不恒等于0。（3）除则系统在处渐近稳定。又当时，如果，那么系统全局渐近稳定。[定理3]在的邻域内，对于满足系统齐次状态方程的状态向量，如果存在一个满足系统齐次状态方程的具有连续一阶偏导数的，而且标量函数（1）正定（2）负半定则系统在处是isL稳定的。[定理4]在的邻域内，对于满足系统齐次状态方程的状态向量，如果存在一个满足系统齐次状态方程的具有连续一阶偏导数的，而且标量函数（1）正定（2）正定则系统在处是不稳定的。（2）以上定理均以为平衡状态，对于任意平衡状态，可通过线性坐标变换将其转化为0平衡状态，再应用定理进行分析。（1）以上定理关于稳定的条件对线性系统是充分必要条件，但对非线性系统是充分条件，而非充分必要条件。如果选取的标量函数满足稳定的条件，则可断定稳定。这样的标量函数称为李雅普诺夫V函数（简称李氏V函数）。但如果选取的标量函数不满足稳定的条件，对非线性系统不能就此断定不稳定。（3）以上定理均以标量函数为依据，该函数除了其中的必须满足系统齐次状态方程外并未有其它限制。因此，能够判不是唯一的。李雅普诺夫稳定性定理之的随意性，使的选取没有章法可循，只能凭判断和经验通过试探选取。定系统稳定性的有广泛的适应性。但另一方面，也正是通常依据系统的广义能量和广义距离选取李氏V函数。（4）以上定理具有普遍意义，既适用于线性系统，也适用于非线性系统，即适用于定常系统，也适用于时变系统。5标量函数的定号性设Ω是包含状态空间原点的有限闭域，在Ω内是向量的标量函数且具有连续一阶偏导数：则有正定和半正定函数为正定函数当时当时为半正定函数当时当时负定和半负定函数为负定函数当时当时为半负定函数当时当时不定函数不定函数——不论闭域Ω多么小，当时，可正可负

6二次型函数的定号性二次型函数定义实对称矩阵根据西尔维斯特（Sylvester）准则，二次型函数的定号性等价于矩阵P的定号性。实对称矩阵P为正定的充分必要条件是其所有特征值为正或各阶主子式为正，即且或…如果为奇异矩阵，则当以上各阶主子式非负时，为正半定。实对称矩阵为负定的充分必要条件是为正定矩阵。如果为奇异矩阵，则当为正半定时，为负半定。P为负定的充分必要条件为：其奇数次主子式为负，偶数次主子式为正…奇异矩阵P为负半定的充分必要条件为：奇数次主子式为非正，偶数次主子式为非负，即…【例】某系统的齐次状态方程为试分析系统的稳定性。解：令可得且唯一。预选与之间的广义距离作为V函数，即显然，是正定的。对关于时间t求一阶导数并将给定的系统齐次微分方程代入显然负定。因正定，负定，且当时，，所以该系统是全局渐进稳定的。返回本章目录3.2线性连续系统的稳定性分析1.线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性定理当非奇异时，是唯一平衡状态。选取二次型函数为V函数，即为正定实对称矩阵。根据李雅普诺夫定理，欲使系统稳定，必须负定，而根据负定。西尔维斯特准则，这只需[定理]线性定常连续系统全局渐近稳定的充分必要条件是：任给正定实对称矩阵，存在正定实对称矩阵，使得线性定常系统的李雅普诺夫方程此时李氏V函数为为简化运算，也可取半正定实对称矩阵，但此时为半负定。不恒为0的条件。根据定理2，欲使系统渐近稳定，还必须附加最简单的半正定矩阵为或实现线性定常系统稳定性分析的MATLAB通用程序【例】某系统的自由运动方程为试判定系统的稳定性，并求李氏V函数。解：因系统矩阵非奇异，故该系统只有一个位于状态空间原点的平衡状态，即李氏方程为若取，则如果，必有根据给定状态方程当时，必有可见，只有在处，。除此以外，不恒为0。解方程可得因为正定实对称矩阵，矩阵Q为正半定实对称矩阵且不恒为0，满足李氏方程。故该系统全局渐近稳定。李氏V函数为MATLAB人机交互过程及数据表2.线性时变连续系统的李雅普诺夫稳定性定理线性时变系统的齐次微分方程为选取二次型函数为V函数，即当非奇异时，是唯一平衡状态。为正定实对称矩阵。线性时变系统的李雅普诺夫方程根据李雅普诺夫定理，欲使系统稳定，必须负定，而根据负定。西尔维斯特准则，这只需[定理]线性时变连续系统全局渐近稳定的充分必要条件是：任给正定实对称矩阵，存在正定实对称矩阵，使得李氏V函数为在实际应用时，矩阵常取单位阵。不恒为0的条件。也可取正半定实对称矩阵，但必须附加时变系统的稳定性不仅与（从而与）有关，还有关。与初始时刻李氏V方程是Riccati（里卡提）矩阵微分方程的特殊情形，其解为和是系统的状态转移矩阵，；为初始条件。返回本章目录3.3线性离散系统的稳定性分析1.线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性定理线性定常离散系统的齐次差分方程为当非奇异时，是唯一平衡状态。选取二次型函数为V函数，即为正定实对称矩阵。离散系统信号不连续，的导数不存在，只能用差分代替导数。对上式求一阶前向差分，可得根据李雅普诺夫定理，欲使系统稳定，必须负定。这只需负定。[定理]线性定常离散系统全局渐近稳定的充分必要条件是：任给正定实对称矩阵，存在正定实对称矩阵，使得此时李氏V函数为线性定常离散系统的李雅普诺夫方程在实际应用时，矩阵常取单位阵。为简化运算，也可取不恒为0的条件。正半定实对称矩阵，但必须附加【例】某离散系统的自由运动方程为试判定系统的稳定性，并求李氏V函数。解：因系统矩阵非奇异，故该系统只有一个位于状态空间原点的平衡状态，即李氏方程为若取，则李氏方程为解方程可得因为负定实对称矩阵，不满足李氏方程，所以，该系统不稳定。MATLAB人机交互过程及数据表2.线性时变离散系统的李雅普诺夫稳定性定理线性时变离散系统的齐次差分方程为选取二次型函数为V函数当非奇异时，是唯一平衡状态。为正定实对称矩阵。线性时变离散系统的李雅普诺夫方程此时李氏V函数为根据李雅普诺夫定理，欲使系统稳定，必须负定。[定理]线性时变离散系统全局渐近稳定的充分必要条件是：任给正定实对称矩阵，存在正定实对称矩阵，使得返回本章目录3.4非线性连续系统的稳定性分析与线性系统相比，非线性系统的特性要复杂得多，平衡状态也往往不至一个，系统在某一个平衡状态渐近稳定或不稳定，只可能具有局部性质，并不能代表系统稳定或不稳定。李雅普诺夫稳定性定理给出的判决条件是充分条件，不是充分必要条件，找不到李氏V函数，不能断定系统不稳定。能否应用该理论解决稳定性问题，关键在于能否找到李氏V函数。关于非线性系统的李氏V函数，尚未有一般性建构方法，只有一些适用于特殊函数和针对特殊问题的建构方法。两种方法：雅可比（Jacobian）矩阵法变量梯度法1.雅可比（Jacobian）矩阵法雅可比矩阵法利用系统状态方程等式右边的函数向量构造V函数。假设非线性系统的状态方程为

且，即，关于存在一阶连续导数，则的雅可比矩阵为预选如下形式的二次型作为V函数P为正定实对称矩阵

根据李雅普诺夫定理，欲使系统稳定，必须负定，而根据西尔负定。维斯特准则，这只需[定理]非线性系统在渐近稳定的充分条件是：，矩阵对于任意正定实对称矩阵是负定的。李氏V函数是又当时，如果，那么系统全局渐近稳定。雅可比矩阵法是一种特殊方法，只适用于部分特殊的状态方程函数。而且定理的判定条件是充分条件，不是充分必要条件。克拉索夫斯基（Krasovski）提出，可以取，直接用状态方程函数向量的点积作为V函数，即系统稳定的充分条件简化为负定雅可比矩阵法的技术路线比较简单，但负定这个条件是苛刻的，大多数实际系统的状态空间函数向量难以满足。[推论]非奇异线性定常系统全局渐近稳定的充分必要条件是：负定。将克拉索夫斯基法应用于线性定常连续系统，可得如下推论：用于非线性系统稳定性分析的MATLAB通用程序【例】某系统的自由运动方程为试判定系统的稳定性，并求李氏V函数。令系统的平衡状态唯一。令的各阶主子式为因的一阶主子式为负，二阶主子式为正，故矩阵是负定的。根据克拉索夫斯基稳定性分析法，该系统在处渐近稳定。又当时，该系统全局渐近稳定。李雅普诺夫V函数为应用现克拉索夫斯基法的MATLAB人机过程及数据2.变量梯度法假设为预选的非线性系统在处的李氏V函数是标量函数的梯度向量。如果确定了的梯度向量，则可由上式积分而定根据线积分与路径无关的条件，如果梯度向量的旋度，则上式积分与路径无关，即欲使旋度，只须有梯度向量的雅可比矩阵对称，即式中，变量梯度法技术路线：（1）用状态变量的线性组合表示标量函数的梯度向量，称为变量梯度，即为待定系数。（2）令梯度向量的雅可比矩阵对称，即个方程（3）按照负定条件补充个条件。根据以上（2）和（3）条件，联立解方程组，可确定变量梯度中的全部系数，从而可确定变量梯度式。（4）通过线积分确定【例】某系统的自由运动方程为试用用变量梯度法分析系统的稳定性。解：（1）假设变量梯度（2）求梯度向量的雅可比矩阵（3）由负定条件补充3个条件将变量梯度和系统状态方程代入上式，得试取，有欲使负定，只须有。于是正定，负定，且当时，该系统是全局渐进稳定的。（4）通过线积分确定返回本章目录第4章控制系统的能控性与能观测性4.1系统的能控性4.2系统的能观测性4.3能控与能观测规范型的实现4.4线性定常系统能控性与能观测性在复域[s]中的判据4.5对偶系统及对偶性原理4.6线性定常系统能控与能观测结构分解返回总目录内容提示：本章讨论控制系统的能控性与能观测性包括定常连续和离散、时变连续3种线性系统的能控性与能观测性判据、能控与能观测规范型的实现、对偶性原理、线性定常系统能控能观测结构分解以及与这些内容相关的MATLAB编程与计算等。系统的能控性——系统状态变量能通过输入量控制的特性能观测性——系统状态变量能通过输出量观测的特性经典控制理论，系统分析与综合是通过传递函数来实现的，而传递函数直接将输出量与输入量连在一起。由于输入量与输出量之间有着明确的函数关系，所以输入量直接决定着输出量。现代控制理论的基础是状态空间模型，在状态空间模型中，除含有顺馈环节的系统以外，输出量不是由输入量直接决定的，而是由状态变量决定的，如果状态变量不能被输入量控制，那输出量也就无法实现控制。输出量无法控制，控制系统就失去存在价值。另外，状态反馈是现代控制理论实现系统综合的主要方式，如果状态变量不能被输入量控制，那么状态反馈也就无从谈起。因此，能控性问题是系统分析与综合的基本问题之一。与稳定性一样，能控性是系统本身的固有属性，只与系统本身的结构及参数有关，与具体的输入量无关。通过状态反馈实现系统综合的前提条件是，状态信号能够在物理上引出来。然而，在状态空间模型中，在许多情况下，系统的状态变量只具有数学意义，没有物理意义，无法取出信号。如果通过量测输出量而能观测到状态变量，那就可通过输出反馈实现与状态反馈相同的功能。特别在下一章介绍的状态重构器设计中，只有状态能观测，才能实现状态重构。因此，能观测性问题是系统分析与综合的另一基本问题之一。与能控性一样，能观测性也是系统本身的固有属性，只与系统本身的结构及参数有关，与具体的输出量无关。系统的能控性与能观测性是卡尔曼（Kalman）于20世纪60年代提出来的，是实现最优控制和最优估值及其它系统综合与校正的必要条件。4.1系统的能控性[定义]设系统的状态方程为对于任意非零初始状态，如果存在容许控制，在有限时区将其转移到状态空间原点，即，则称系统在时刻是状态能控的。对于任意的初始时刻，如果系统都是状态能控的，则称系统是能控。状态完全能控的，简称系统状态能控，并记为线性定常系统的状态能控性与初始时刻无关。定义中的容许控制指的是在物理上可实现的控制信号，在数学上是每个分量在有限时区平方可积，即收敛。在上面的定义中，状态能控与否取决于能否用容许控制把任意非零初始状态转移到状态空间原点，而不是把零初始状态转移到指定的任意目标状态。若存在容许控制在有限时区把零初始状态转移到指定的任意目标状态，则称系统是状态能达的。对于定常系统来说，能控性与能达性两者是等价的，对于时变系统来说，由于系统的结构参数随时间变化，故两者是不完全等价的。上面的定义没有涉及输出方程。表明系统的状态能控性与输出没有关系。这是不言而喻的。能控性是从输入端考察状态，自然与输出方程无涉。4.1.1线性时变连续系统的能控性[引理1]在连续的方阵行线性无关等价于格拉姆(Gram)矩阵非奇异。[引理2]在有限时区具有n-1阶连续导数的方阵行线性无关等价于行满秩，即的充分必要条件是：

[判据1]线性时变系统在时刻状态能控在有限时区，矩阵行线性无关或格拉姆矩阵非奇异。根据引理1，行线性无关与格拉姆矩阵非奇异是等价的。1充分性由线性时变系统状态方程的解和状态转移矩阵的性质，可得因非奇异，故存在。若取这表明，只要格拉姆矩阵非奇异，必存在将任意非零初始状态转移到状态空间原点的容许控制。2必要性直接证明判据提出的必要性是困难的，兹用反证法来证明。假定矩阵行线性相关而系统状态能控。当行线性相关时，必存在非零向量，使又因系统状态能控，故因此上式成立的条件是，或者，或者，二者必居其一。任意及非零两者相矛盾。而这与表明行线性相关而系统状态能控不成立。对上式等式两边乘以并由可得[判据2]若和存在n-1阶连续导数，则系统在时刻状态能控的充分必要条件是：行满秩，即式中：系统的能控性矩阵。，矩阵在有限时区假设对上式关于时间t求一阶、二阶、直至n-1阶导数，可得…因非奇异，故无关，进而根据判据1，系统状态能控。根据引理2，当上式行满秩时，必有行线性【例】设系统的状态方程为试分析其能控性。解：不论t取何值，总有因此，该系统是状态能控的。4.1.2线性定常连续系统的能控性线性定常系统是线性时变系统的特例，毫无疑问，所有线性时变系统理论均适用于线性定常系统。将线性定常系统的常数矩阵和该矩阵与矩阵具有相同的秩。1基本判据——秩判据代入可得能控性矩阵线性定常系统状态能控的充分必要条件是：系统能控性矩阵行满秩，即【例】试分析能控规范Ⅰ型系统的能控性，其中解：系统的能控性矩阵及其秩分别为因能控性矩阵行满秩，故该能控规范Ⅰ型系统状态能控。【例】试分析能控规范Ⅱ型系统的能控性，其中解：系统的能控性矩阵及其秩分别为因能控性矩阵行满秩，故该能控规范Ⅱ型系统状态能控。【例】试分析约当规范型系统的能控性，其中解：系统的能控性矩阵及其秩分别为因能控性矩阵行满秩，故该约当规范型系统状态能控。2关于能控规范型的判据能控规范Ⅰ型系统和能控规范Ⅱ型系统状态能控。3关于约当规范型的判据约当规范型系统状态能控的充分必要条件是：①中每个约当小块对应的特征值互异；②

中与每个约当小块最后一行同行的元素不全为零。【例】试分析约当规范型系统的能控性，其中解：系统矩阵含2个约当小块，即这2个约当小块对应的特征值互异，分别为-3和-5，又在控制矩阵中，与2个约当小块的最后一行同行的元素不全为0

故该约当规范型状态能控。实现能控性分析的MATLAB人机交互过程及数据4关于对角线规范型的判据对角线规范型系统状态能控的充分必要条件是：①

且互异；②中无全零元素的行。对角线规范型是约当规范型的特例，4.1.3线性定常离散系统的能控性线性定常离散系统的状态能控性定义和判据可从线性定常连续系统直接移植而来。上面线性连续系统的所有能控性判据均适用于线性定常离散系统。【例】设离散系统的状态方程为其中：试分析其能控性。本系统为对角线规范型，因系统矩阵的特征值互异，分别为没有全0元素的行，故它是状态能控的。-3、-2、-5和10，控制矩阵其能控制性矩阵及其秩分别为解：4.1.4系统的输出能控性

系统的输出能控性指的是输出量能通过输入量实现控制的特性。输出能控性与状态能控性之间无必然因果关系。1输出能控性定义假设系统的动态方程为，如果存在容许控制，

对于任意初始输出能在有限时区将其转移到任意的指定输出，则称系统在时刻是输出能控的。

对于任意的初始时刻，如果系统都是输出能控的，则称系统是输出完全能控的。线性定常系统的输出能控性与初始时刻无关2．线性定常连续系统的输出能控性判据q输出线性定常连续系统输出能控的充分必要条件是行满秩，即式中，称为系统的输出能控性矩阵返回本章目录4.2系统的能观测性4.2.1

线性时变连续系统的能观测性[定义]假设系统状态方程与输出方程分别为对于任意初始状态，如果能根据有限时区的输出唯一确定，则称系统在时刻是状态能观测的。对于任意的初始时刻，如果系统都是状态能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称系统状态能观测，记为能观测。能观测性分析是从输出端考察状态，自然与输入无涉。线性定常系统的状态能观测性与初始时刻无关。[判据1]线性时变系统在时刻状态能观测的充分必要条件是：在有限时区，矩阵列线性无关或格拉姆矩阵非奇异。[判据2]当和存在n-1阶的连续导数时，系统在时刻状态能观测的充分必要条件是：列满秩，即称为系统的能观测性矩阵【例】假设系统的系统矩阵与输出矩阵分别为

试分析能观测性。解：因，当时故该系统是状态能观测的。4.2.2线性定常连续系统的状态能观测性1．基本判据—秩判据线性定常系统状态能观测的充分必要条件是其能观测性矩阵列满秩，即【例】试分析能观测规范Ⅰ型系统的状态能观测性，其中解：系统的能观测性矩阵及其秩分别为因能观测性矩阵列满秩，故该能观测规范Ⅰ型系统状态能观测。【例】试分析能观测规范Ⅱ型系统的状态能观测性，其中解：系统的能观测性矩阵及其秩分别为因能观测性矩阵列满秩，故该能观测规范Ⅱ型系统状态能观测。2．关于能观测规范型的判据能观测规范Ⅰ型系统和能观测规范Ⅱ型系统状态能观测。3．关于约当规范型的判据（1）中每个约当小块对应的特征值互异；（2）中与每个约当小块第一列同列的元素不全为零。

约当规范型系统状态能观测的充分必要条件是：【例4.10】试分析约当规范型系统的能观测性，其中

解：系统矩阵含两个约当小块，即这两个约当小块对应的特征值互异，分别为-3和-5，又在观测矩阵中，与两个约当小块的第一列同列的元素不全为0，故该约当规范型状态能观测。实现能观测性分析的MALAB人机交互过程及数据4．关于对角线规范型的判据对角线规范型系统状态能观测的充分必要条件是：且互异；（1)（2）中无全零元素的列。4.2.3线性定常离散系统的状态能观测性与连续系统一样，离散系统的状态能观测性与输入量无关。与线性定常连续系统类似，线性定常离散系统的状态能观测性与初始采样节点无关。线性定常离散系统的状态能观测性定义和判据可从线性定常连续系统直接移植而来。上面线性连续系统的所有能观测性判据均适用于线性定常离散系统。

【例】假设离散系统的动态方程为其中：

试分析其能观测性。解：本例系统为对角线规范型，因系统矩阵的特征值互异，分别为-3、-2、-5和10，观测矩阵没有全0元素的列，故它是状态能观测的。实现能观测性分析的MATLAB人机交互过程及数据返回本章目录4.3能控与能观测规范型的实现4.3.1能控规范型的实现1.能控规范Ⅰ型的实现对于状态能控的任意单输入单输出线性定常系统，经如下线性变换可将其变换为能控规范Ⅰ型，即式中：是系统矩阵的特征多项式系数，即

2.能控规范Ⅱ型的实现对于状态能控的任意单输入单输出线性定常系统，经如下线性变换可将其变换为能控规范Ⅱ型，即式中：

【例4.12】试分析约当规范型系统的能控性，其中

又当系统状态能控时，将其化为两种能控规范型。因系统矩阵为约当矩阵，有两个约当小块，其对应的特征值互异，分别为-3和-5，又在控制矩阵中，与两个约当小块最后一行同行的元素不为0，故该约当规范型状态能控。解：（1）能控性分析（2）将约当规范型化为能控规范Ⅰ型变换矩阵为

（3）将约当规范型化为能控规范Ⅱ型进行线性变换，可得

实现能控规范型运算的MATLAB通用程序实现能控型的MATLAB过程及数据4.3.2能观测规范型的实现1.能观测规范Ⅰ型的实现对于状态能观测的任意单输入单输出线性定常系统，经如下线性变换可将其变换为能观测规范Ⅰ型，即式中：对于状态能观测的任意单输入单输出线性定常系统，经如下线性变换可将其变换为能观测规范Ⅱ型系统，即式中：

意义同前。2.能观测规范Ⅱ型的实现【例】试分析约当规范型系统的能观测性，其中

又当系统状态能观测时，将其化为两种能观测规范型。解：（1）能观测性分析因系统矩阵为约当矩阵，有两个约当小块，其对应的特征值互异，分别为-3和-5，又在观测矩阵中，与两个约当小块的第一列同列的元素不全为0，故该约当规范型状态能观测。（2）将约当规范型化为能观测规范Ⅰ型

进行线性变换，可得

（3）将约当规范型化为能观测规范Ⅱ变换矩阵为

系统的特征多项式为进行线性变换，可得

实现能观测规范型运算的MATLAB通用程序

实现能观测型的MATLAB过程及数据返回本章目录4.4线性定常系统能控性与能观测性在复域[s]中的判据1．传递函数矩阵与此状态空间模型对应的传递函数矩阵为假设系统的状态空间模型为仿传递函数矩阵的定义，如下定义u—x之间和x—y之间的传递函数矩阵：以上各个传递函数矩阵的分母多项式相同，均为系统的特征多项式，表明它们具有相同的极点。在以矩阵为根的多项式中，最高次幂系数为1、阶数最小的多项式称为的最小多项式。如果伴随矩阵的各个元素有最大公因子，即则矩阵的最小特征多项式为2．传递函数矩阵的最小多项式形式具有最小特征多项式的传递函数矩阵形式称为传递函数矩阵的最小多项式形式，即如果线性定常系统是状态能控的，那么其输入到状态的传递函数矩阵的最小多项式形式没有零点极点相消因子。3．状态能控的[s]域判据没有零点极点相消因子。4．状态能观测的[s]域判据如果线性定常系统是状态能观测的，那么其状态到输出的传递函数矩阵的最小多项式形式5．状态能控能观测的[s]域判据如果线性定常系统是状态能控又能观测的，那么其传递函数矩阵的最小多项式形式（1）对单输入单输出系统来说，以上状态能控和能观测的条件是充分必要条件。而且A的特征多项式就是其最小特征多项式。（2）对多输入多输出系统来说，以上状态能控和能观测的条件是必要条件而不是充分必要条件。没有零点极点相消因子。【例】某系统的系数矩阵分别为解：系统的传递函数为因传递函数有一个零点极点相消因子s+1，故该系统不是状态能控又能观测的。试分析其能控性和能观测性。x—y之间的传递函数矩阵为因不含零点极点相消因子，而含有零点极点相消因子s+1，故该系统是状态能控但不能观测的。u—x之间的传递函数矩阵为返回本章目录4.5对偶系统及对偶性原理4.5.1线性定常对偶系统1.对偶性若两个线性定常系统与的系数矩阵满足

则称这两个系统互为对偶系统。由对偶性定义知，能控规范Ⅰ型系统与能观测规范Ⅱ型

系统互为对偶系统，能控规范Ⅱ型系统与能观测规范Ⅰ型系统互为对偶系统。（2）因矩阵转置并不改变其特征值，故线性定常对偶系统的特征值相同。（1）线性定常对偶系统的传递函数矩阵互为转置，即（3）对偶系统的状态转移矩阵互为转置，即2.对偶系统的特点3．对偶性原理若两个系统与互为对偶系统，那么（1）的状态能控性等价于的状态能观测性。（2）的状态能观测性等价于的状态能控性。4.5.2线性时变对偶系统1.对偶性线性时变系统与互为对偶的条件是：2.对偶系统的特点式中，是的状态转移矩阵，是

的状态转移矩阵。若两个系统与互为对偶系统，那么3．对偶性原理（1）的状态能控性等价于的状态能观测性。（2）的状态能观测性等价于的状态能控性。返回本章目录4.6线性定常系统能控与能观测结构分解4.6.1能控与不能控结构分解假设系统是状态不完全能控的，其能控性矩阵的秩为那么存在非奇异矩阵，经线性变换后，可得从中选前个线性无列向量

以非奇异为准任意选择经上述线性变换后，在维子空间，是状态能控的，而在维子空间，是状态不能控的。经上述按能控性结构进行分解后，Z变量空间的动态方程又可分解表示为由于选取线性变换矩阵的非唯一性，能控与不能控结构分解的结果不是唯一的。[A_,B_,C_,Tc,Rc]=ctrbf(A,B,C)MATLAB实现能控与不能控结构规范分解的命令ctrbf

【例】假设系统的动态方程为试分析状态能控性，若不能控，则进行结构分解，将状态向量分解为能控和不能控两部分。解：（1）能控性分析因，故系统状态不完全能控。

（2）结构规范分解从中取线性无关前3列并以非奇异为准则构造，得按进行线性变换，可得z变量空间的动态方程，即

经上述线性变换后，在维子空间，是状态能控的，亦即能控，而在维子空间，是状态不能控的，亦即不能控。4.6.2能观测与不能观测结构分解假设系统是状态不完全能观测的，且那么存在非奇异矩阵，经线性变换后，可得从中选取前个线性无关行向量。以非奇异为准任意选择。在维子空间，是状态能观测的，而在维子空间，是状态不能观测的。按能观测性结构进行分解后，变量空间的动态方程又可分解表示为由于选取线性变换矩阵的非唯一性，能观测与不能观测结构分解的结果不是唯一的。试分析系统的状态能观测性，若不能观测，则进行结构分解，将状态向量分解为能观测和不能观测两部分。【例】假设系统的动态方程为解：（1）能观测性分析因，故系统状态不完全能观测。（2）结构规范分解从中取线性无关前2行并以非奇异为准则构造，得按进行线性变换，可得z变量空间的动态方程，即

在维子空间，是状态能观测的，亦即

能观测，而在维子空间，是状态不能观测的，亦即不能观测。

[A_,B_,C_,To,Ro]=obsvf(A,B,C)MATLAB实现能观测与不能观测结构规范分解的命令obsvf

4.6.3能控性与能观测性结构综合分解对于既不完全能控也不完全能观测的系统，可分3步进行结构分解。

当然，也可先按能观测性进行结构分解，再对能观测与不能观测两个子空间分别按能控性进行结构分解。第2步：对能控子空间按能观测性结构进行分解。第3步：对不能控子空间按能观测性进行结构分解。第1步：按能控性结构进行分解，将状态空间分解为能控和不能控两个子空间。【例】某线性定常连续系统的动态方程为

试分析系统的能控性和能观测性，若不能控和不能观测，则进行结构分解。因，，所以系统状态既不完全能控也不完全能观测。解：（1）能控性和能观测性分析系统能控性和能观测性矩阵分别为（2）能控与不能控结构分解从中取线性无关前2列并以非奇异为准则构造，得按进行线性变换，可得变量状态空间模型令

（3）将能控子空间分解为能观测与不能观测两子空间

在能控子空间，能观测性矩阵为因，故只有一个状态变量能观测。从中取第1行并以非奇异为准则构造，得

令按进行线性变换，可得w1既能控又能观测，w2能控但不能观测。（4）将不能控子空间分解为能观测与不能观测两子空间因，故只有一个状态变量能观测。从中取第1行并以非奇异为准则构造，得

在不能控子空间，能观测性矩阵为令是不能控但能观测的，而是既不能控又不能观测的。按进行线性变换

既能控又能观测，