方差分析与回归分析

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第八章方差分析与回归分析

一、教材说明

本章内容包括：方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归.主要陈述方差分析和一元线性回归两节内容.

1、教学目的与教学要求

(1)了解方差分析的统计模型，把握平方和的分解，熟悉检验方法和参数估计，会解决简单的实际问题.

（2）了解效应差的置信区间的求法，了解多重比较问题，把握重复数相等与不相等场合的方法，会解决简单的实际问题.

（3）熟练把握Hartley检验，Bartlett检验以及修正的Bartlett检验三种检验方法，会解决简单的实际问题.

（4）理解变量间的两类关系，认识一元线性和非线性回归模型，熟悉回归系数的估计方法，熟练把握回归方程的显著性检验.能用R软件来进行回归分析，会解决简单的实际问题.

2、本章的重点与难点

本章的重点是平方和的分解，检验方法和参数估计、重复数相等与不相等场合的方法、检验方法的把握，回归系数的估计方法，回归方程的显著性检验，难点是检验方法和参数估计，重复数相等与不相等场合的方法.实际问题的检验，回归方程的显著性检验.

二、教学内容

本章共分方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归等5节来陈述本章的基本内容.

§8.1方差分析

教学目的：了解方差分析的统计模型，把握平方和的分解，熟悉检验方法和参数估计,会

解决简单的实际问题.

教学重点：平方和的分解，检验方法和参数估计教学难点：检验方法和参数估计

教学内容：

本节包括方差分析问题的提出,单因子方差分析的统计模型,平方和分解,检验方法,参数估计,重复数不等情形.

8.1.1问题的提出

在实际工作中经常会遇到多个总体均值的比较问题，处理这类问题寻常采用方差分析方法.

例8.1.1

8.1.2单因子方差分析的统计模型

在例8.1.1中，我们只考察一个因子，称为单因子试验.记因子为A，设其有r个水平，记为A1,,Ar，在每一水平下考察的指标可看做一个总体，故有r个总体，假定

2（1）每一总体均为正态总体，记为N(?i,?i)，i?1,2,（2）各总体方差一致，即?1??2?22,r；

??r2??2

（3）每一总体中抽取的样本相互独立，即诸数据yij都相互独立在这三个基本假定下，要检验的假设是

H0:?1??2???r?H1:?1,?2,?,?r不全相等（8.1.1）

假使H0成立，因子A的r个水平均值一致，称因子A的r个水平间没有显著差异，简称因子A不显著；反之，若H0不成立，因子A的r个水平均值不全一致，称因子A的r个水平间有显著差异，简称因子A显著.

在每一水平下各作m次独立重复试验，若记第i个水平下第j次重复的试验结果为yij，得到r?m个试验结果：yij,i=1,2,r,j=1,2,,m.

在水平Ai下的试验结果yij与该水平下的均值?i的差距?ij=yij-?i称为随机误差.于是有

yij=?ij+?i，（8.1.2）

该式称为试验结果yij的数据结构式.

把三个假定用于数据结构式就得到单因子方差分析的统计模型：

??yij=?ij+?i,i=1,2,r,j=1,2,,m;（8.1.3）?2??诸?ij相互独立，且都听从N(0,?)1称诸?i的平均?=(?1+r1r+?r)=??i为总均值，第i水平下均值?i与总均值的差

ri=1rai=?i-?称为因子A的第i水平的主效应，简称为Ai的主效应.则有?ai=0,?i=?+ai.

i=1统计模型（8.1.3）可改写为

?yij=?+ai+?ij,i=1,2,r,j=1,2,,m;?r???ai=0;?i=1?诸?相互独立，且都听从N(0,?2)?ij假设（8.1.1）可改写为

H0:a1?a2??ar=0?H1:a1,a2,?,ar不全为0.

8.1.3平方和分解

一试验数据

在单因子方差分析中可将试验数据列成如下表格形式

因子水平试验数据和平均

A1y11y12?y1mT1y1

A2y21y22?y2mT2y2

????

Aryr1yr2?yrmTryr

合计Ty二组内偏差与组间偏差

1m1r1rmyij-y=(yij-yi)+(yi-y)，记?i=??ij,?=??i=???ij，yij-yi称为组内偏

mj=1ri=1ni=1=1j差，yi-y称为组间偏差.

三偏差平方和及其自由度在统计学中，把k个数据y1,k,yk分别对其均值y=(y1++yk)/k的偏差平方和

Q=?(yi-y)2称为k个数据的偏差平方和，简称平方和.

i=1由于

?(y-y)=0，说明在Q中独立的偏差只有k-1个，称为该平方和的自由度，记为

ii=1kf，fQ=k-1.

四总平方和分解公式

各yij间总的差异大小可用总偏差平方和ST表示为

ST???(yij?y)2,fT=n-1.（8.1.3）

i?1j?1rm仅由随机误差引起的数据间差异可用组内偏差平方和，也称误差偏差平方和，记为Se，

Se???(yij?yi)2,fe=r(m-1)=n-r.（8.1.4）

i?1j?1rm由效应不同引起的数据差异可用组间偏差平方和表示，也称为因子A的偏差平方和，

记为SA，SA?m?(yi?1ri?y)2,fA=r-1.（8.1.5）

定理8.1.1在上述符号下，总平方和ST可分解为因子平方和SA.与误差平方和Se之和，其自由度也有相应分解公式：ST=SA?Se,fT=fA+fe.（8.1.6）

称为总平方和分解式.

8．1.4检验方法

为了度量一组数据的离散程度，称MS?Q/fQ为均方和.

由均方和的概念，得到MSA?SA/fA，MSe?Se/fe，用F?MSA/MSe作为检验的统计量，为给出检验拒绝域，需要如下定理：

定理8.1.2在单因子方差分析模型及前述符号下，有

（1）

se?22~?（n-r),从而E(Se)=(n-r)?2

(2)E(SA)=(r-1)?+m2?ai=1r2i,若H0成立，则有

SA?2~?2(r?1)

（3）SA与Se相互独立.由定理8.1.2知F?MSA/MSeF(fA,fe)，从而可得检验的拒绝域为

W?{F?F1??(fA,fe)}.

将上述结果列成表格，称为方差分析表

来源平方和自由度均方和F比

因子SAfA?r?1M