精确二维固相体积分率方案2

精确二维固相体积分率方案为了精确计算二维固相体积分数，将颗粒与网格的部分重叠进一步细分为四种状况。图3.1中给出了各种重叠状况下颗粒与网格的相对地址关系表示。计算网格的二维固相体积分数时，部分重叠的四种状况还需要进一步划分网格极点与颗粒的地址关系。本章模拟采用正方形网格进行空间隔散，这里令颗粒的坐标为

(X,Y)

，网格宽度和厚度分别为

dx,dy，网格的几何中心为

(x,y)，网格的四个极点分别为

(x

dx/2,y

dy/2)

，(x

dx/2,y

dy/2)

，

(x

dx/2,y

dy/2)和(xdx/2,ydy/2)，由此可计算颗粒与四个极点的距离d1,d2,d3和d4。这些距离中，当d1,d2,d3和d4分别为最小时，单颗粒所占网格的二维固相体积分数的表达形式存在差别，不失一般性，这里只给出当d1<d2，d1<d3和d1<d4同时建马上，各种重叠状况下单颗粒所占网格的二维固相体积分数的表达式。图3.1颗粒与控制体的五种重叠状况图3.2颗粒与网格重叠时颗粒质心的地域划分图3.2给出了当d1<d2，d1<d3和d1<d4同时建马上，各种重叠状况下颗粒质心与网格左下极点的相对地址关系，与部分重叠的四种状况相对应，这里部分重叠时颗粒与极点的地址关系也划分为四种状况。图3.2还显示了颗粒与网格发生重叠时，颗粒质心所处地址的精确范围。以下将分类谈论各种重叠状况下单个颗粒对网格的二维固相体积分数的贡献。r(X,Y)r(x1,y1)(a)Cas1

(b)Cas2图

3.3

颗粒与网格左下极点近来的重叠状况（

Cas1与

Cas2）图3.3给出了颗粒与网格左下极点距离近来的重叠状况1和2。这两种状况下，颗粒所占网格的二维固相体积分数的表达形式是唯一确定的，不存在变例。对于状况1，颗粒质心与网格的地址关系为：xrXx且yrYy。则单11个满足重叠状况1的颗粒i所占目标网格的二维固相体积分数为fi1r2(3.3)xy对于状况2，颗粒质心与网格的地址关系为：x1Xx1r，y1Yy1r，且(Xx1)2(Yy1)2r。此状况下fi计算为fi1SSASBxy圆XxYyr2Yrsinarccos1Xrsinarccos1ydx(3.4)XrxxdyYryYrsinarccos1Xrsinarccos1rrr22Xx12Yy112Xx1)12Yy1)rarccosrarccosrsin(2arccosrrsin(2arccosrrr22图3.4给出了颗粒与网格左下极点距离近来的重叠状况3。对于状况3，颗粒质心与网格的地址关系存在四种变例，但均满足(Xx1)2(Yy1)2r。尽管状况3存在四种变例，但经过推导，颗粒所占网格的二维固相体积分数的表达形式是一致的。依照图3.4简单获取ar2(Yy1)2(Xx1)(3.5)br2(Xx1)2(Yy1)(3.6)则颗粒i所占目标网格的二维固相体积分数为f1x1a(xX)2(yY)]dxi[R2xyx11(R2y1Yx1XaY)b(arccosarcsin)(y1(xX)2rr2123.7)bar(a)Variation1r(X,Y)b(x1,y1)a(c)Variation3

bar(b)Variation2ba(d)Variation4图3.4颗粒与网格左下极点近来的重叠状况（Cas3）图3.5给出了颗粒与网格左下极点距离近来的重叠状况4。状况4存在两种变例，并且颗粒所占网格的二维固相体积分数的表达形式也存在差别。对于状况4的变例1，颗粒质心与网格的地址关系所满足的条件为：x1Xx1r，y1，Y且(Xx1)2(Yy1)2r。此变例下fi计算为fi1r22Yy112Yy1)(3.8)xyrarccosrsin(2arccosrr2对于状况4的变例2，颗粒质心与网格的地址关系为：Xx1，y1Yy1r，且(Xx1)2(Yy1)2r。此变例下fi计算为fi1r2r2arccosYy11r2sin(2arccosYy1)xyr2r(3.9)r(X,Y)(X,Y)r(x1,y1)(x1,y1)(a)Variation1(b)Variation2图3.5颗粒与网格左下极点近来的重叠状况（Cas4）(X,Y)r(x1,y1)r(x1,y1)(X,Y)(a)Variation1(b)Variation2图3.6颗粒与网格左下极点近来的重叠状况（Cas5）图3.6给出了颗粒与网格左下极点距离近来的重叠状况5。状况5也存在两种变例，并且颗粒所占网格的二维固相体积分数的表达形式也存在差别。对于情形5的变例1，颗粒质心与网格的地址关系满足条件：x1rXx1，Yy1，且22(Xx1)(Yy1)r。此变例下有1r2y1Y12y1Y)(3.10)fiarccosrsin(2arccosrxyr2对于状况5的变例2，颗粒质心与网格的地址关系为：Xx1，y1rYy1，且(Xx1)2(Yy1)2r。此变例下有1xX1xX(3.11)fir2arccos1r2r2sin(2arccos1)xyr在上述各