高考数学一轮总复习 第十章 离散型随机变量的分布列及均值与方差

高考数学一轮总复习第十章离散型随机变量的分布列及均值与方差课件第一页，共五十九页，2022年，8月28日第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第6节离散型随机变量的分布列及均值与方差第二页，共五十九页，2022年，8月28日1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．3．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．4．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．第三页，共五十九页，2022年，8月28日[要点梳理]1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为___________，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．随机变量第四页，共五十九页，2022年，8月28日2．离散型随机变量的分布列(1)定义一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn第五页，共五十九页，2022年，8月28日称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性质①pi≥0，i＝1,2，…，n；第六页，共五十九页，2022年，8月28日(3)常见离散型随机变量的分布列①两点分布若随机变量X的分布列为X01P1－pp则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．②超几何分布第七页，共五十九页，2022年，8月28日第八页，共五十九页，2022年，8月28日3．均值与方差(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或_________．它反映了离散型随机变量取值的_________．数学期望平均水平第九页，共五十九页，2022年，8月28日(3)均值与方差的性质①E(aX＋b)＝___________.②D(aX＋b)＝__________.(a，b为常数)质疑探究：随机变量的均值、方差与样本的均值、方差的关系是怎样的？提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本的均值、方差是一个随机变量，随着试验次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差．aE(X)＋ba2D(X)第十页，共五十九页，2022年，8月28日第十一页，共五十九页，2022年，8月28日X01Pp2p第十二页，共五十九页，2022年，8月28日第十三页，共五十九页，2022年，8月28日3．(2013·高考广东卷)已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)等于(

)第十四页，共五十九页，2022年，8月28日4．已知X的分布列为设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是________．第十五页，共五十九页，2022年，8月28日5．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是________．[解析]

E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.[答案]

0.7第十六页，共五十九页，2022年，8月28日考向一离散型随机变量的分布列例1

(2015·广州市调研)某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．(1)问A，B，C，D四所中学各抽取多少名学生？中学ABCD人数30402010第十七页，共五十九页，2022年，8月28日(2)从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生来自同一所中学的概率；(3)在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取2名学生，用ξ表示抽得A中学的学生人数，求ξ的分布列．第十八页，共五十九页，2022年，8月28日第十九页，共五十九页，2022年，8月28日第二十页，共五十九页，2022年，8月28日第二十一页，共五十九页，2022年，8月28日拓展提高求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．第二十二页，共五十九页，2022年，8月28日活学活用1

(2015·济南调研)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X).第二十三页，共五十九页，2022年，8月28日第二十四页，共五十九页，2022年，8月28日考向二离散型随机变量的期望与方差例2

(2013·天津高考)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望．第二十五页，共五十九页，2022年，8月28日第二十六页，共五十九页，2022年，8月28日所以随机变量X的分布列是第二十七页，共五十九页，2022年，8月28日拓展提高求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由均值的定义求Eξ；(5)由方差的定义求Dξ.第二十八页，共五十九页，2022年，8月28日活学活用2

(2015·温州市调研)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束．(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率；(2)记试验次数为X，求X的分布列及数学期望E(X).第二十九页，共五十九页，2022年，8月28日第三十页，共五十九页，2022年，8月28日考向三超几何分布例3

近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男5女10合计50第三十一页，共五十九页，2022年，8月28日第三十二页，共五十九页，2022年，8月28日下面的临界值表供参考：P(K2≥k)0.100.050.0250.100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828第三十三页，共五十九页，2022年，8月28日思路点拨(1)先根据已知概率求出患心肺疾病的人数，从而得出表格中的各个数据；(2)利用2×2列联表中的数据代入公式求K2，然后利用临界值表进行判断；(3)先确定ξ的取值，利用超几何分布的概率公式求其每个取值所对应的概率，列出分布列，最后代入期望与方差的计算公式求解．第三十四页，共五十九页，2022年，8月28日[解]

(1)列联表补充如下患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050第三十五页，共五十九页，2022年，8月28日第三十六页，共五十九页，2022年，8月28日第三十七页，共五十九页，2022年，8月28日第三十八页，共五十九页，2022年，8月28日拓展提高(1)超几何分布的两个特点①超几何分布是不放回抽样问题．②随机变量为抽到的某类个体的个数．(2)超几何分布的应用超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品，摸不同类别的小球等概率模型．第三十九页，共五十九页，2022年，8月28日活学活用3某校高一年级共有学生320人．为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间(指除了完成老师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间)情况，学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了n名学生进行问卷调查．根据问卷得到了这n名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据(单位：分钟)，按照以下区间分为7组：①[0,10)，②[10,20)，③[20,30)，④[30,40)，⑤[40,50)，⑥[50,60)，⑦[60,70]，得到频率分布直方图如图．已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的有4人．第四十页，共五十九页，2022年，8月28日第四十一页，共五十九页，2022年，8月28日(1)求n的值；(2)若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟，则学校需要减少作业量．根据以上抽样调查数据，学校是否需要减少作业量？(注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)(3)问卷调查完成后，学校从第3组和第4组学生中利用分层抽样的方法抽取7名学生进行座谈，了解各学科的作业布置情况，并从这7人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人．设第3组中学生被聘的人数是X，求X的分布列和数学期望．第四十二页，共五十九页，2022年，8月28日[解]

(1)由题图知第1组和第2组的频率分别是0.02和0.06，则n×(0.02＋0.06)＝4，解得n＝50.(2)设第i组的频率和频数分别是pi和xi，由题图知p1＝0.02，p2＝0.06，p3＝0.3，p4＝0.4，p5＝0.12，p6＝0.08，p7＝0.02，则由xi＝50×pi可得x1＝1，x2＝3，x3＝15，x4＝20，x5＝6，x6＝4，x7＝1.则高一学生每天平均自主支配时间是第四十三页，共五十九页，2022年，8月28日第四十四页，共五十九页，2022年，8月28日第四十五页，共五十九页，2022年，8月28日规范答题9离散型随机变量的分布列、期望与方差典例(2013·湖南高考)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542第四十六页，共五十九页，2022年，8月28日这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．[满分展示]第四十七页，共五十九页，2022年，8月28日第四十八页，共五十九页，2022年，8月28日第四十九页，共五十九页，2022年，8月28日第五十页，共五十九页，2022年，8月28日【答题模板】第一步：弄清题目意思，找到内部及边界各个点；第二步：计算出从三角形地块内部及边界各取一株作物结果种数及相近的种数；第三步：数出各点相近点的株数，分类；第四步：求每类的概率；第五步：列出分布列；第六步：计算期望．第五十一页，共五十九页，2022年，8月28日跟踪训练(2015·北京东城模拟)为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学校学生会随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”.学生视力测试结果43

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1第五十二页，共五十九页，2022年，8月28日(1)写出这组数据的众数和中位数；(2)求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“好视力”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望．第五十三页，共五十九页，2022年，8月28日第五十四页，共五十九页，2022年，8月28日第五十五页，共五十九页，2022年，8月28日[思维升华]【方法与技巧】1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X