初中专题题库圆垂直于弦的直径

如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.解OOF⊥CDF CFCFEO 2在Rt△OEB中 2

OC2在Rt△CFO中，OFOC2

又∵OF⊥CDCD＝2CF＝215答：CD215说明：此题是利用垂径定理的计算问题.在求有关弦心距、弦长和半径等问题时，常常较为.ODBC解：分两种情况ODBCAAD⊥BC又∵AB=ACOAD上，∴OD=3cmOB，Rt△ODB中，OB==5cm，OD=3cm，由勾股定理，得OB2BD2OD2，∴BD

OB2OB252AD2BD42在RtAD2BD42AB2AD2BD2，∴ABAB=25（cm

5（cm）B AFEBO OE50cm的⊙OAB=40cmCD=48cmAB∥AFEBO OE的两弦可能在圆心的同侧，也可能在在圆心的 侧，即有两解解（略 和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题BGOCEHFDBGOCEHFDA（一）OOH⊥CD ∵AO= ∴EH=∵OH⊥CD且O为圆 ∴CH=CDO∴CH－EH 即CECDO∵EH=HF ∴OH是EF的中垂 ∴OE= ，用三角形全等和直角三角形斜边中线证明OE= （1）让几何动起来.CDAB不相交，让学生在运动中观察、发例如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A 的中点，AD⊥BCAFEA=AFE2C（ C AF EAF E2

2

（方法二）AD交⊙OE形，问题即可解决 （略说明：此题是垂径定理的应用为过程，培养学生的发散思维典型例题ABC、D两点，设大圆和小圆的半ab.ADBDa2b2.证明：作OEABE，连OAOC，则OAaOCbRtAOEAE2OA2OE2RtCOECE2OC2OE2AE2CE2(OA2OE2OA2OCa2即AECEAEa2b2AEBE,CEAECEAEDEAD,AECEBEDEBD,ADBDa2 3）直线平分弦4）直线平分弦所对的劣弧5）直线平分弦所对的优弧（1（2（3（4典型例题 已知在⊙O中弦AB12cm，O点到AB的距离等于AB的一半求：AOB分析：本例的关键在于正确理解什么是OAB的距离 作OEAB，垂足为E，则OE的长为O点到AB的距离，如图OE1AB112 AEBEAOEBOE为等腰直角三角形由AOE是等腰直角三角形OA62,AE ⊙O的半径为OA

说明：作出弦AB)的弦心距(OE，构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键典型例题OABCDABCDHOEABEOFCDF求证：四边形OEHF是正方形若CH3DH9，求圆心OAB和CD的距离OEOF证明（1）ABCDHOEABEOFCD四边形OEHF为矩形连结OA、OD，则OAODOAE1AB2DF1CDAB2AE四边形OEHF为正方形又OF

9,CDCF1CD6（由垂径定理2又CH3,FHCFCH63OEOF圆心OAB和弦CDOA2说明：本例（1）证明OEOF，还可以利用勾股定理计算，OA2OD2DFOF ，OAOD,AEDF,OD2DF典型例题已知：如图，以O为圆心，AOB120ND4EFGH的两顶点E、F在弦AB上，H、G在上，且EF4HE，求HE的长. 连结AD、OGAOD1AOB112060 AOD为等边三角形ODNOND4厘米(x4)22x)28x12

4（舍去 HE的长为12厘米5典型例题例 F.

ECFD证明：过O作OPEFP∵AEEF,BFEF,∴AE∥OP∥BF又∵OAOB,∴EPO是圆心OPCD，∴CPDP∴EPCPFPDPECFDEPFP典型例题十例如图，过⊙OABMNCDEF，若CDEFACBF（1）（2）分析：因为CD//EF，由圆的对称性可知，又因为ACBF，所以，所以可证得．证明（1）∵CD//EF，∴.∵AB为⊙O的直径，故.从而得（2）AD、BE.由（1）得ADCBEF故CF.又CDEF，得BNF∴AMBN典型例题十23例已知：⊙O的半径OA1，弦AB、AC的长分别 .求BAC的度数23解：如图所示，作ODABOEACADOA1RtODA

2,AE 3 cosOAD 22OADRtOAEcosOAE

3,OAE2AC、ABOA两侧时，有BACOABOAE75；当AC、AB位于OA同侧时，有BACOABOAE15.典型例题十例在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是 分析：因为已知圆柱的半径和油的最大深度，可以求出OD长，即可求得油面宽度．OBO作ODABD，交⊙OC.DC16cm,OB15226cm.RtODBOD2DB2OB22262(26262(26

24ABDB2选择 OAMB在⊙O中，AB，CD是弦，= OAMBA．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5、如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范 （A）3OM3OM

（B）4OMDABCO4OMDABCOABO直径，弦CDABE，那么下列结论CE D．ACOM的最长弦为4cm，最短的弦长为2cm，则OM的长为

ABOCDOABCDE，则图中不大于半圆的相等 B．2 C．3 D．4如图，⊙O的直径CDAB，垂足为点E，若CE2,ED8，则AB 过⊙O内一点M的最长的弦长为4cm，最短的弦长为2cm，则OM的长为 32 32已知：如图，⊙OABCDEAB10CD6BE长是 已知⊙O的弦AB长8cm，弦心距为3cm，则⊙O的直径是 C．55 D．73已知⊙O2cmAB长23cm离为（2 2

3 3O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，AB10cm,CD6cm，则AC的长为 A．0.5cmB．1cmC．1.5cm如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙OC作动时，点P（）CD的距离保持不变B．位置不变C．等分D．随C点的移动而移动306cm4cm弦心距为（333

33 33 如图，已知⊙O6cm，两弦ABCD垂直相交于ECE3cmDE9cm，则AB

ABO的直径，弦CDABPCD为

OP5AC3235335 B． C． 5335在⊙O中，AB是弦，C是AB的中点延长OC交⊙O于D若OCCD

1、C；2. 3.D4.C5、A；6. 7.A 10．A11．A 16．C.17．CDABCDABCO61、如图，⊙O的半径为7cm，弦AB的长为 和6AB组成的弓形的高CD等于 cm.2、过⊙O内一点P的最长弦为10cm，最短的弦为6cm，则OP的长为 OAB长为8cmAB的距离为3cmO半径长为（）半径是5cm的圆中，圆心到8cm长的弦的距离是（）AB、CD的长分别18cm和24cmABCD，又两弦之间距离为3cm，则圆的半径长是（）cm 如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径OA10m，桥拱的距度AB16m，则拱高CD 如图，⊙OCDABM （写出一个即可MAB的中点1000mmAB800mmCD AB24，则水管中水深 半径为2的圆中，有一弦长23，圆心到此弦的距离 在半径为8cm的⊙O中．圆心O到弦AB的距离为4cm，则弦长 OM的最长的弦长为10cm，最短的弦长为8cmO cm，OM的长 已知弓形的弦长23cm，弓形的高为1cm，则弓形所在圆的半径 半径为5cm的⊙O内有一点P且PO3cm则过P点的最长弦长为 cm， cm．如图，矩形ABCD边AB经过⊙O的圆心，E，F分别为AB，CD与⊙O的交点，若AE3cm，AD4cm，DF5cm，则⊙O的径等于 2如图，是一个水平放置的圆柱形水管的截面，已知水面高CD22

cmAB22cm．那么水管截面圆的半径 答案1、2；2、4.3.

5.15cm

7cm或1cm. 8．CDAB或

解答AB24cm，直径CDABM，且CM8cmO如图，在圆OAB垂直于弦CD，并且交CDEMN交CDF，FOFD2OE，求，如图，已知BF、CE，是⊙O的直径，求证：OBD如图，ABO的直径，CDAECDE，BFCDFCEDFOAB、CDEAE5，CE1BE3，求圆O的半已知：△ABC内接于⊙O，OE⊥ABE，OF⊥ACF.求证：EF∥BC，EF=1BC2OD如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=8cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CDOD7.22.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为正方形并高出水面2米的货船要 ABO的直径，CD为OA，OB过点CDGEF于GECGF如图，ABO的直径，CD是弦，ABCDE如图，BF，CE是⊙O的直径 OABCDCECDABEDFABFAEBF已知：如图OABCD相交PPO是APC的平分线，点M,N分别是，的中点，MN分别交AB，CD于点E，F．求证：MNPO．OAB和弦CDM，AECD，BFCDEFCEDFAB26CD24AEBF如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一1．13cm

3.略4. ；7MCN FH略解：如图，MCN FHFN=OH-OD=2.1米，这里2米<2.1米，仅有0.1米的余量，因 此货船可以通过这座拱桥，但要非常O作OM