2013年北京昌平区高三二模理科数学试题1

昌平区2012－2013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）已知集合，，则A.B.C.D.（2）已知命题，，那么下列结论正确的是A.命题B．命题C．命题D．命题(3)圆的圆心到直线（为参数）的距离为A.B.1C.D.(4)设与抛物线的准线围成的三角形区域（包含边界）为，为内的一个动点，则目标函数的最大值为A.B.C.D.(5)在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为A.B.C.D.(6)已知四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是A．B．C．D．（7）如图，在边长为2的菱形中，，为的中点，则的值为A．1B．C．D．(8)设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，.给出下列结论：①；②；③的值是中最大的；④使成立的最大自然数等于198.其中正确的结论是A.①③B.①④C.②③D.②④第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）二项式的展开式中的系数为___________.（10）双曲线的一条渐近线方程为，则.（11）如图，切圆于点,为圆的直径，交圆于点，为的中点，且则__________；__________.开始①输出开始①输出结束图1是否若①是时，输出的值为；若①是时，输出的值为.（19）（本小题满分13分）如图，已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直，椭圆的离心率，为椭圆的左焦点，且.（I）求此椭圆的方程；（II）设是此椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得.连接并延长交直线于点为的中点，判定直线与以为直径的圆的位置关系．（20）（本小题满分14分）设数列对任意都有(其中、、是常数)．（=1\*ROMANI）当，，时，求；（=2\*ROMANII）当，，时，若，，求数列的通项公式；（=3\*ROMANIII）若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当，，时，设是数列的前项和，，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意，都有，且．若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由．

昌平区2012－2013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测数学试卷参考答案（理科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案CBADCCAB二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9）（10）（11）；（12）；（13）（14）②③④三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）..4分..6分（Ⅱ）的最小正周期.…………8分又由可得函数的单调递增区间为.………13分（16）(本小题满分14分)(Ⅰ)证明：连结，为正方形，为中点，为中点.∴在中，//．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分且平面，平面∴．．．．．．．．．．．．．．．．．4分(Ⅱ)证明：因为平面平面，平面面为正方形，，平面所以平面.∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分又，所以是等腰直角三角形，且即，且、面面又面，∴面面.…………..9分(Ⅲ)如图,取的中点,连结,.∵,∴.∵侧面底面,,∴,而分别为的中点,∴,又是正方形,故.∵,∴,.以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,则有,,,.若在上存在点使得二面角的余弦值为，连结设.由(Ⅱ)知平面的法向量为.设平面的法向量为.∵,∴由可得,令,则,故∴,解得，.所以，在线段上存在点,使得二面角的余弦值为..．．．．．．．．．．．．．14分（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记表示这40位市民满意指数的平均值，则（分）…2分（Ⅱ）的可能取值为0、1、2、3.的分布列为12……………8分（Ⅲ）设所有满足条件的事件为①满足的事件数为：②满足的事件数为：③满足的事件数为：所以满足条件的事件的概率为.……13分（18）（本小题满分13分）解：（I）在处的切线方程为………..3分（Ⅱ）由由及定义域为，令①若在上，，在上单调递增，因此,在区间的最小值为.②若在上，，单调递减；在上，，单调递增，因此在区间上的最小值为③若在上，，在上单调递减，因此,在区间上的最小值为.综上，当时，；当时，；当时，.……………….9分(III)由（II）可知当或时，在上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.当时，要使在区间上恰有两个零点，则∴即，此时，.所以，的取值范围为…………..13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，,，，又，，解得所求椭圆方程为…………5分（Ⅱ）设，则由所以直线方程由得直线由又点的坐标满足椭圆方程得到：，所以直线的方程：化简整理得到：即所以点到直线的距离直线与为直径的圆相切.…….13分（20）（本小题满分14分）解：（I）当，，时，，①用去代得，，②②—①得，，，……………2分在①中令得，，则0，∴，∴数列是以首项为1，公比为3的等比数列，∴=………………….4分（II）当，，时，，③用去代得，，④④—③得，，⑤.用去代得，，⑥⑥—⑤得，，即，.∴数列是等差数列