线性代数行列式与克拉默法则详解演示文稿

线性代数行列式与克拉默法则详解演示文稿当前1页，总共60页。（优选）线性代数行列式与克拉默法则当前2页，总共60页。当前3页，总共60页。定义1.二阶行列式定义为主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算当前4页，总共60页。定义2.三阶行列式定义为三阶行列式的计算---对角线法则注意

红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．当前5页，总共60页。说明1.

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．

2.

三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.考察三阶行列式如下：当前6页，总共60页。当前7页，总共60页。定义3.代数余子式剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式当前8页，总共60页。定义4.

是一个算式，且当前9页，总共60页。注意：行列式是一些乘积的代数和，每一项乘积都是由行列式中位于不同行不同列的元素构成的.(3)定义4中行列式按第一行展开，同样也可按第一列展开，甚至按行列式中任意行或列展开.由此可计算一些行列式.Example1.当前10页，总共60页。Proof.（数学归纳法）当前11页，总共60页。不是对角行列式，当前12页，总共60页。性质1行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.记性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.说明

行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.当前13页，总共60页。例如推论如果行列式有两行(列)完全相同,则行列式为零.证明互换相同的两行，有性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.当前14页，总共60页。推论

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明注意与矩阵数乘运算的区别,当前15页，总共60页。性质5

若行列式D的某一列（行）的元素都是两数之和:则D等于下列两个行列式之和：例如当前16页，总共60页。性质６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如当前17页，总共60页。性质7.行列式按行（列）展开法则下面证明:证当前18页，总共60页。当前19页，总共60页。相同同理当前20页，总共60页。当前21页，总共60页。性质8.Laplace定理(2)

Laplace定理当前22页，总共60页。当前23页，总共60页。为方便起见，引用以下符号：其一、利用行列式的性质，或通过将行列式化为三角行列式来计算行列式的值.当前24页，总共60页。Solution.当前25页，总共60页。ex3.已知204,527,255三数都能被17整除，不计算行列式的值，证明三阶行列式也能被17整除.Solution.当前26页，总共60页。Solution.当前27页，总共60页。当前28页，总共60页。Solution.当前29页，总共60页。Solution.其二、当行列式各行(列)元素之和相同时，应先把各列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再考虑.当前30页，总共60页。Solution.当前31页，总共60页。故原方程的解为当前32页，总共60页。思考其三、根据行列式的特点，利用行列式的性质，将行列式的某一行(列)化出尽量多的0元素，然后由定义按该行(列)展开.当前33页，总共60页。Solution.当前34页，总共60页。Solution.当前35页，总共60页。当前36页，总共60页。当前37页，总共60页。其四、当各阶行列式具有同一结构形式时，可利用数学归纳法计算或证明行列式的值.当前38页，总共60页。Solution.（数学归纳法）当前39页，总共60页。当前40页，总共60页。这个行列式称为Vandermonde（范德蒙）行列式，可见Vandermonde（范德蒙）行列式为零的充要条件是注意不是Vandermonde行列式当前41页，总共60页。解法1其五、先用展开或拆项等方法，将原行列式表成低阶同型行列式的线性关系，再由递推法得出结果.当前42页，总共60页。当前43页，总共60页。解法2当前44页，总共60页。其六.当行列式为三线非0行列式时，将其转化为三角行列式来计算.

当前45页，总共60页。其七、加边法，即在行列式值不变的情况下，加上一行一列.用于主对角线上元素不同，其余元素相同(或各行其余元素成比例)的行列式.Solution.当前46页，总共60页。当前47页，总共60页。当前48页，总共60页。Solution.当前49页，总共60页。五.分块矩阵的行列式①②③当前50页，总共60页。定义1.如2431是一个4级排列.定义2.在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.当前51页，总共60页。例如排列32514中，32514逆序逆序逆序32514逆序数为31故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.当前52页，总共60页。定义3.逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列.定义4.在一个排列中某两个数的位置调换，而其余的数不动，从而构成一个新的排列，这种调换叫做对换.将相邻两个数字对换，叫做相邻对换.结论1.对换改变排列的奇偶性.当前53页，总共60页。结论2.关于n阶行列式的另一定义当前54页，总共60页。ex14.已知Solution.含的项有两项,即在中对应于当前55页，总共60页。当前56页，总共60页。1.线性方程组当方程个数与未知数个数相同时,线性方程组的形式为:则称此方程组为非

齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.当前57页，总共60页。2.Gramer法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即当前