专题5.2解析几何与平面向量相结合问题-玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端

一方综向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发方向和必然趋势。平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的几何意义，利用几何意义解决有关问题。二解策类一

利向垂的要件化解几中垂问【例1河郑州一模】知椭圆

:

y0)a2b

的左顶点和上顶点分别为

，左、右焦点分别是

1

，在线段

上有且只有一个点P

满足

PF1

，则椭圆的离心率的平方为（）A．

35B．

C．

5

D．

【答案】

44【点津本在查圆离率同，分用量垂直价件通构函，用数极点零的求建关

a,b,c

的系，考较，要较实计功和算力.【举一反三届川省资市高三期末】已知双曲线

E:

ya0)ab

的右顶点为

，抛物线

C:2ax

的焦点为

若

的渐近线上存在点

使AP

则

的离心率的取值范围是（）A．

32B．．

D．

【答案】

【解析】由题意得，

，设P,x0

，由A

F

，得AP

a

22

0

2

ax0

2

，因为在E

的渐近线上存在点P

，则

，即

a

a2

2933a2e2e，又因为双曲线，则18

，故选B．【点津本主考了曲的本质应，物基本质应，量量坐运以及元次程的别的用属中题首可一草图分其的何系然将FP

系代形表出即得一一二方若使一二方有实解

，水渠，可到案因将何系化方是题关键类二

利向平的要件灵转解几中平或线题【例2林桂林中学2016-2017期考试曲

2ab2

右焦点

作圆

x

y

的切线切点为M直线FM交物线y

于点若OF（O为坐标原点双曲线的离心率（）A．

B．

C．

5

D．

15【答案】

形可得2

边同除以a2e20

以

（负值已经舍去选B．【点津本主考利抛线双线定、曲的简性求曲的心，于档题求与曲性有的题要合形行析既不画图，考也联到形当涉顶、点实、轴渐线双线基量，理清们间关，掘它之的内联．离心问应将用关一量示来再利其的些系构出于的等，从求的值本题利点直的离于半构出于的等式最解的值．【举一反三北省三校2017年第二次联考】已知B

为双曲线

2

24

上不同三点，且满足PB

（

为坐标原点线PA,

的斜率记为,n

，则

2

n24

的最小值为（）A．8B．C．2D1【答案】

2222【点津本主考了曲的关算涉到知点有面量线理直斜的算公，本等等属中题首先出点线AB的点再出线PA，PB斜的达，算

mn

为值再基不式出小．类三

将量坐表和算化点坐和线方【例3南省衡阳市2017届学期第三次联考】已知对任意平面向量

AB绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量

APsinsincos

叫把点绕逆时针方向旋转

角得点

．设面内曲线

上的每一点绕原点沿时针方向旋转

后得到点的轨迹是曲线x

2

y

2

2

，则原来曲线C的程是（）A．

B．xy

C．

y

22D．22

【答案】【解析】设平面内曲线

上的点

P

，则其绕原点沿逆时针方向旋转

后得到点'

22x，

∵P'

在曲线

x2y

上∴

整理得

．故选A．【点津求迹程解几中重内，高命的热和点主考学的形合思、价化想逻推能、类论创思，于较的力查求迹程用方法：接、义、何、关法参法交法点差等本主是查何中三角重的量示重坐公，后据关法以出点P

的迹程【举一反三省州市临区一中月模已知B

、

为单位圆上不重合的两个定点，

为此单位圆上的动点，若点P

满足

，则点P

的轨迹为（）

22A．椭B．双线C抛物D圆【答案】类四

利向相的系把何题数【例4西抚州市临川区一中2018届学期质检】已知双曲线

：

2a2

（

a

，

b

）的左、右焦点分别为F、，点作圆：x1

22

a24

的切线l，点为，直线l与曲线C一个交点

满足NFa

，设

O

为坐标原点，若

OFOM1

，则双曲线

的渐近线方程为（）A．

B．yxC．

D．x【答案】【解析】

1

，故

OM

1

，即

MNFM1

，故点M

为线段

N

的中点，连接OM，则OM为F

的中位线，且M

M

F故F2

且NFNNF，点N在曲线的支，NF，在Rt212

中，由勾股定理可得，

FF，即

，解得

c，故a

，故双曲线

的渐近线方程为

y

x

，故选C．【点津本主考利双线简性求曲的心率属中题求与曲性有关问时结图进分，使画图，考也联想图，涉顶、点实、

虚、近等曲的本时要清们间关，掘出们间内联．本题中利双线定与何质以c

构a,b

的次，而求渐线斜，而出近线程．【举一反三川雅安中学2017-2018期中试】如图，已知梯形中CD

，E

在线段AC上且满足AE

EC，曲线过、、

三点，且以A

、B

为焦点．当

34

时，双曲线离心率e的取值范围是（）A．[

7，

]B．(

，10

)C．(

2

]D．

【答案】

【点津求曲的心或心的值围题高常见题求心只寻一关b

的量系求离率取范只列一关b,c

的等系进而出心的或心率取范，范时要意线离率范，双线的心的围大1.类五利向夹，解析何的度题【例5川省绵阳市南山中学2016-2017期中考试已点F

是双曲线

y20)a22

的左焦点E

是该双曲线的右顶点且直于x轴直线与双曲线交A,B

两点

是钝角三角形，则该双曲线的离心率

的取值范围是（）A．

B．

C．

D．

【答案】【点津求曲离率，提的曲的何系化为于曲基量b,c

的程不等，用2a

和

c

转为于

的程不式通解程不式得心的或值围在方或等的程，考到量一要具在题的用求曲离率要以择填的式查解题单求，插其，度中偏，于能的查【举一反三省都市新津中学2018届11月考】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，A,,B,B12

为椭圆的顶点，F为焦点，延长

B与12

交于点P，PB1

为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

22555A．,1．CD

【答案】【解析】如图所示，

BPB1

为

B22

与

B21

的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为，b,

，A22

，

向量的夹角为钝角时，

B21

，又b2

，两边除以a

得2

，即

，解集

，又00

，故选C．类六

利向数积求解几中数关问【例6届西来宾高中5月拟】如图，椭圆

2ya2

，圆

:2y2

，椭圆

的左右焦点分别为

F12

，过椭圆上一点P

和原点

O

作直线

l

交圆

O

于,

两点，若PF【答案】

，则

PM

的值为___________．【点津本主考利余定、面量量公及向的何算圆性及圆定义性，于题求与圆质关问时结图进行析既不出形思时要联到形当及点焦、轴虚、近等曲的基量，理它之的系挖

2222222222掘它之的在系同，于合较，能了求速而视含件挖．题题的键是用量一具问转后利椭定及弦定解．【举一反三届南省师大学附属中学12月考】在平面直角坐标系

中，已知点A椭圆x2y259

1

上点P满足AP(OA

)

72

则OP在x轴上影长的最大值为．【答案15三强训1分中学上期期中考试点线与圆OAOBOP，则点两点，若的轨迹方程是（）

x

4

相交于A

BA．x

y

111．xy11．x2y22

2

D

x2

y12【答案B【解析】设

P，12

，过点的为1

，由

OAOB得1

，y21

，直线ykx代x2

4

得1k

2x2

30x1

x2

2k1k

2

，

yy12

21k

2

222222即x

k，y2

，所以x2

，故选B2宁大连渤海高级中学2017-2018期考试】已知

,12

是椭圆的两个焦点，满足

·MF1

的点

总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．

1B．2

C．

2D．,1【答案】【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为b,

。因为

MF12

所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的。与因为点

M

在椭圆的内部，所以

c,，以c

2

b

2

a

2

，所以2c

222

21a2

2，所以e

，故选C。32017-2018黑江省黑河市吴一中期中】已知椭圆：

221612

的左右焦点分别为F、，在椭圆C上满

PF12

的点P的个有（）A．0B．C．3D4【答案】

4西省西安市长安区第一中2017-2018上学期期末】已知双曲线C：

2ab2

(>0>0)直线l:x

交于

y1122

xyxOM1

，且30

，则双曲线C的近线方程为（）A．y

x

B．

y

C．

D．y2x【答案】

5南省南阳市一中2018届六次月考】已知抛物线

y2p0)

的焦点为

，过点

的直线交抛物线于A,

两点，若AM2MB

，则

（）A．2

B．

C．

D．与p

有关【答案】【解析】由题意得直线

的斜率存在且不为0，过点

，可设其方程为

，由

{

yy

消去y整得k

p

，设

y1

，则

xp

．①∵AM2MB

，∴

11

y22

，

5252∴

12

，即

x12

．②由①②可得

{

xpp或{xxp2

（舍去∴

AFBF

12

ppp2

．选B．6省普通中学届二调研知F

为抛物线

yx

的焦点

在该抛物线上且位于x轴的两侧，而且（O为标原点ABO与AFO的积分别为

和

，则

1

2

最小值是A．

3

B．

C．

D．

43【答案】

故选B7省东至二中2017-2018学上学期12月考已过双曲线

y2b右焦点F，a斜率为的直线与双曲线的第一象限交于点A，点F为左焦点，且的离心率为)65132A．B．C．．22【答案】

1

，则此双曲线【解析】由题意

FFA1

，∵过双曲线

yba

右焦点

的直线

y

，∴

3c

，代入双曲线

2cc，可得a2a2

，∴2c

，

∴c

2

4

e

2

，，e

3

，故选C．82017--2018山省晋城一中12月考】已知椭圆C：

2168

，、别为其左、右焦点A，A别为其长轴的左右端点，动点M满足MA⊥，椭圆于点P，则OM的为（）A．8B．16C．20．24【答案】∴

OP

=

432

32tt=3232

2

故选：9南昆明一中2018届一次摸底测试】设

O

为坐标原点，P

是以F

为焦点的抛物线

y（p

）上任意一点，M是段PF

上的点，且

PM，直线的率的最大值为（）A．

B．

C．

D．1【答案】

1110西省抚州市临川区一中2017-2018第次月考】已知椭圆：

22a22

的离心率为

，过右焦点且率为(0)

的直线与Γ相于，两点．若

FB

，则

（）A．

B．2

C．

3

D．

【答案】【解析】设

，yAFFB1122e，a2，t，b，x

2

y

2

t

2

0①，设线AB方为xsy3，代入①中消去

，可（s

2）y2sty1

3t2，ys

，由y1

2

可得y

stt2,s2s解得2

，k

．故选D11川遂宁市2016-2017期考试】设为抛物线，为标原点，若A．36B．48．54D64【答案】

的焦点，的面积分别为

为该抛物线上不同的三点，且，则

12石庄市2017届毕业班二模动点

在椭圆

223627

上点A

的坐标为

满足，PM则PM的最小值是（）A．

B．

C．

2

D．

3【答案】【解析】PMPMAM

，PMAMAM

AP∴点M的迹为以为以点为圆心1为半的，AP

，

越小，

PM

越小，结合图形知，当P

点为椭圆的右顶点时，

取最小值

aPM

最小值是

32故选：．13北省衡水中学2016-2017学上学期四调以圆

的顶点为焦点焦为顶点的双线，

其左、右焦点分别是，，知点坐为，曲线上点在一象限，满足，则（）A．B．C．D【答案】14省邑中学20