专题05 直线方程综合大题归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题5直线方程综合大题归类目录一、热点题型归纳TOC\o"1-1"\h\u【题型一】求直线方程 1【题型二】平行线距离 4【题型三】解三角形：求边对应的直线方程 5【题型四】解三角形三大线：中线对应直线 7【题型五】解三角形三大线：高对应直线 9【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线 10【题型七】最值：面积最值 12【题型八】最值：截距与长度 13【题型九】叠纸 15【题型十】三直线 18【题型十一】直线与曲线：韦达定理与求根 19【题型十二】直线应用题 21培优第一阶——基础过关练 23培优第二阶——能力提升练 27培优第三阶——培优拔尖练 32【题型一】求直线方程【典例分析】（2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为.(1)求对角线所在直线方程；(2)已知直线过点，与直线的夹角余弦值为，求直线的方程.（以上所求方程都以直线的一般式方程作答）【答案】(1)(2)或【分析】（1）由的中点在直线上，结合垂直关系得出对角线所在直线方程；（2）由点在直线上，得出直线的倾斜角为或，再由点斜式写出方程.(1)由题意可知，的中点在直线上，对角线所在直线方程为，即(2)点在直线上，设直线的倾斜角为，直线与直线的夹角为则直线的倾斜角为或，当直线的倾斜角为时，，即故直线的方程为：当直线的倾斜角为时，，则直线的方程为，即【提分秘籍】基本规律1、可以适当的讲一下夹角公式：2、到角公式：3、如果不用夹角公式与到角公式，则可以处理【变式训练】1.（2022·湖南·长沙一中高二开学考试）已知直线的方程为，直线的方程为.(1)设直线与的交点为，求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；(2)设直线的方程为，若直线与，不能构成三角形，求实数的取值的集合.【答案】(1)或(2)【分析】（1）通过联立和的方程求得点的坐标，对直线是否过原点进行分类讨论，由此求得直线的方程.（2）对于、的位置关系进行分类讨论，由此求得的值.（1）由，解得，所以点的坐标为.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，可设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为.当直线在两坐标轴上的截距均为零时，可设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.（2）当直线与直线平行时不能构成三角形，此时，解得；当直线与直线平行时不能构成三角形，此时，解得；当直线过直线与的交点时不能构成三角形，此时，解得.综上，或或2，故实数的取值的集合为.2.（2022·全国·高二专题练习）如图，射线与轴正半轴的夹角分别为和，过点的直线分别交，于点．(1)当线段的中点为时，求的方程；(2)当线段的中点在直线上时，求的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得的方程，再设，根据中点的坐标公式求解坐标，进而求得的斜率，再根据点斜式可得的方程；（2）同（1）将的中点坐标代入得到，进而求得的斜率，再根据点斜式求得的方程即可.（1）由于射线与轴正半轴的夹角分别为和，射线：．：．设，的中点为点，由中点坐标公式求得，．点坐标，点坐标．故的斜率为，又，：．（2）的中点在直线上，，即，，：．【题型二】平行线距离【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）已知直线过点，且被平行直线：与：所截取的线段长为，求直线的方程．【答案】或【分析】根据两条平行线之间的距离及解得的线段的长度，可推测出直线与、的夹角，利用正切函数的两角和公式即可求解直线的斜率，进而得出直线方程.【详解】两条平行线之间的距离，截得的线段长为，推得直线与、的夹角为45°．设直线的斜率为，故解得：或则直线的方程为：或.整理得：或.【提分秘籍】基本规律1、两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离：d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))2、过两定点的两条平行线之间的距离范围：[0,d].其d是两定点之间的距离【变式训练】1.（2022·江苏·高二专题练习）两平行直线，分别过，.(1)，之间的距离为5，求两直线方程；(2)若，之间的距离为d，求d的取值范围.【答案】(1)或(2)【分析】（1）斜率不存在时，不合题意，斜率存在时，设斜率为，表示出直线，，利用平行线间的距离公式解出即可；（2）结合图像可知当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大，求出，即可求得d的取值范围.(1)当，斜率不存在时，易知，，之间的距离为1，不合题意；当，斜率存在时，设斜率为，则，化为一般式得，，由，之间的距离为5，可得，解得或，当时，；当时，.故两直线方程为或.(2)如图：当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大为，当，旋转到和重合时，距离为0，又两平行直线，不重合，故.2.（2022·全国·高二课时练习）已知直线与的方程分别为，，直线平行于，直线与的距离为，与的距离为，且，求直线的方程．【答案】或【分析】由平行关系可设且，由平行直线间距离公式可构造方程求得，由此可得直线方程.【详解】，可设且，由两平行直线间的距离公式得：；又，，则．，，则，或，解得：或，直线的方程为或．【题型三】解三角形：求边对应的直线方程【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）在等腰中，，顶点的坐标为，直角边所在的直线方程为，求边和所在的直线方程．【答案】直线为或，直线为．【分析】利用点斜式写出直线，根据等腰直角三角形性质，应用到角公式求的斜率为，最后由点斜式写出直线.【详解】由题设，则，故直线为，整理得；由为等腰三角形，若的斜率为，则，解得或，所以直线为或，即或.综上，直线为，直线为或.【提分秘籍】基本规律要注意边所在的直线斜率不存在的情况，防止漏解错解【变式训练】1.（2022·全国·高二课时练习）已知在第一象限的中，，，，，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边与BC边所在直线的方程．【答案】(1)(2)直线的方程为：，直线的方程为：【分析】（1）根据两点的坐标求得直线的方程.（2）结合直线、的倾斜角和斜率，求得直线和直线的方程.（1）因为，，所以轴，所以AB边所在直线的方程为．（2）因为，所以，所以直线AC的方程为，即因为，所以，所以直线BC的方程为，即.2.（2022·江苏·高二专题练习）已知过点且斜率为的直线l与x，y轴分别交于P，Q两点，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为R，S，求四边形PQSR的面积的最小值．【答案】【分析】设l的方程，求出P、Q的坐标，得到PR和QS的方程，利用平行线间的距离公式求出|RS|，由四边形PRSQ为梯形，代入梯形的面积公式，再使用基本不等式可求四边形PRSQ的面积的最小值．【详解】直线l的方程为，即令，得，令，得所以，．从而PR和QS的方程分别为和，又，所以．由点到直线的距离公式，得，．所以，当且仅当，即时等号成立，所以四边形PQSR的面积的最小值为．【题型四】解三角形三大线：中线对应直线【典例分析】（2021·江苏·高二专题练习）已知直线，，，记．（1）当时，求原点关于直线的对称点坐标；（2）在中，求边上中线长的最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据对称的性质，结合互相垂直的两条直线的斜率的性质，通过解方程组、中点坐标公式进行求解即可；（2）根据两条直线的斜率关系可以判断出是直角三角形，最后利用直角三角形的性质，结合两点间距离公式进行求解即可.【详解】（1）当时，直线的方程为，所以直线的斜率为2，设过原点与直线垂直的直线斜率为，所以，因此直线的方程为：，设直线与直线的交点为，所以点的坐标是方程组的解，解得：，所以点的坐标为，设原点关于直线的对称点坐标为，所以有：，即原点关于直线的对称点坐标为；（2）因为，所以直线与直线互相垂直，故是直角三角形，因此边上中线长为，解方程组：，即，解方程组：，即，因此，当时，有最小值，所以边上中线长的最小值.【提分秘籍】基本规律中点坐标公式的应用。三角形中线的性质。3、中线交点是三角形的重心，是中线的三等分点，并且重心坐标公式：【变式训练】1.（2021·湖北·华中师大一附中高二期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，.（1）求边所在直线的一般方程；（2）边上中线的方程为，且的面积为4，求点的坐标.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）利用点斜式方程写出直线的方程得解；（2）求出，由点在中线上，得①，由的面积为4得到②，解①②即得解.【详解】（1）∵直角坐标系中，已知的三个顶点，，∴的斜率为，采用点斜式设直线方程为，∴边所在直线的一般方程为.（2）由题知，中点，代入中线方程，得.∵点在中线上，把点坐标代入①，点到直线的距离为，，∵的面积等于，化简得②，联立①②，求得或，所以，点的坐标为或.2.（2021·广东·湛江二十一中高二期中）已知的顶点，，边上的中线的方程为，边所在直线的方程为(1)求边所在直线的方程，化为一般式；(2)求顶点的坐标.【答案】(1)。(2)【分析】（1）先由已知两点求出斜率，再利用点斜式写出直线方程，最后化为一般方程即可；（2）点为中线和直线的交点，联立直线和直线的方程即可求解.(1)解：由，所以所以直线的方程为：化为一般式为：(2)解：由题知，点为中线和直线的交点所以联立直线和直线的方程：解得：，所以点的坐标为：【题型五】解三角形三大线：高对应直线【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线的方程为.分别求，边所在直线的方程.【答案】边所在直线方程为，边所在直线方程为.【分析】由边上的高所在直线的方程可求得直线的斜率，又直线AC过点，从而根据点斜式即可求解边所在直线方程；由是中线所在直线方程，设中点，则，根据点B在直线上，可得B点坐标，从而即可求解边所在直线的方程.【详解】解：因为边上的高所在直线的方程为，所以边上的高所在直线的斜率为，所以，又直线AC过点，所以边所在直线方程为，即；因为是中线所在直线方程，所以设中点，则，所以，因为点B在直线上，所以，解得，所以，因为所在的直线的斜率为，所以边所在直线方程为，即.【提分秘籍】基本规律三角形的高，和对应底边垂直，所以若斜率都存在，则满足【变式训练】1.（2021·湖北黄冈·高二期中）在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.(1)求点坐标：(2)求直线的方程.【答案】(1)C(－4，－2)(2)5x－7y＋6＝0【分析】（1）先求出AC所在的直线的方程，再求两直线的交点即可；（2）设出B点坐标，表示出M点坐标，利用和CM所在的直线方程解出B点坐标，进而求得直线的方程.(1)边AC上的高BE所在的直线方程为，故边AC所在的直线的斜率为1，

所以边AC所在的直线的方程为，即，因为CM所在的直线方程为4x－5y＋6＝0，由解得，所以C(－4，－2)(2)设B(x0，y0)，M为AB中点，则M的坐标为，由，解得，

所以B（3，3），又因为C(－4，－2)，所以直线BC的方程为，化简得5x－7y＋6＝0.2.（2020·安徽·合肥市第五中学高二期中（理））已知ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．(1)求顶点C的坐标；(2)求直线BC的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解；（2）设，利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解；(1)解：设，∵AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为．∴，解得．∴．(2)设，则，解得．∴．∴．∴直线BC的方程为，即为．【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线【典例分析】（2021·全国·高二课时练习）已知的一个顶点，且，的角平分线所在直线的方程依次是，，求的三边所在直线的方程.【答案】所在直线的方程是，所在直线的方程，所在直线的方程是.【分析】先求得关于直线，的对称点，，由此求得直线的方程，再求得点B、C的坐标，从而求得直线AB、AC的方程.【详解】解：记的角平分线交于点，的角平分线交于点.由角平分线的性质，知点关于直线，的对称点，均在直线上.∵直线的方程为，，则，解得，∴.∵直线的方程为，∴同理求得，∴直线的方程是，即，这也是所在直线的方程.由，得，由，得，∴所在直线的方程是，所在直线的方程是.【提分秘籍】基本规律1.求角平分线方程可根据角平分线上的点到两边的距离相等求解2.求角平分线，可以利用夹角公式，或者到角公式求解【变式训练】1.（2021·全国·高二专题练习）在中，已知，.(1)若直线过点，且点A，到的距离相等，求直线的方程；(2)若直线为角的内角平分线，求直线的方程.【答案】(1)或(2)【分析】（1）因为点，到的距离相等，所以直线过线段的中点或，分直线过线段的中点和两种情况讨论即可；（2）因为直线为角的内角平分线，所以点关于直线的对称点在直线上，求出点的坐标，即可求出直线方程．(1)解：因为点，到的距离相等，所以直线过线段的中点或，当直线过线段的中点时，线段的中点为，的斜率，则的方程为，即，当时，的斜率，则的方程为，即，综上：直线的方程为或；(2)因为直线为角的内角平分线，所以点关于直线的对称点在直线上，设，则有，得，即，所以直线的斜率为，则直线的方程为，即．2.2.（2020·上海·高二课时练习）已知：的顶点和的角平分线所在直线方程为，求边所在直线方程．【答案】【分析】根据斜率公式和中点坐标公式求出点关于直线的对称点为的坐标，根据对称性和直线的两点式方程求出边所在直线方程.【详解】设点关于直线的对称点为，直线的斜率为，于是有解方程组，得，所以点的坐标为．点也在边所在的直线上，所以边所在直线方程为：，化简可求得方程为.【题型七】最值：面积最值【典例分析】（2022·江苏南京·高二开学考试）已知直线.(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；(2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（O为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程.【答案】(1)；(2)，直线的方程为.【分析】(1)将直线方程化为斜截式，再利用数形结合求出k的取值范围.(2)先求直线在轴和轴上的截距，表示的面积，利用基本不等式求其最小值.（1）方程可化为，要使直线不经过第四象限，则，解得，所以k的取值范围为.（2）由题意可得，由取得，取得，所以，当且仅当时，即时取等号，此时，直线的方程为.【提分秘籍】基本规律1.利用点斜式求这类面积最值，设直线方程时，要注意斜率的正负。2.可以利用截距式，借助于均值不等式技巧求解【变式训练】1.（2022·全国·高二课时练习）在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B．(1)当AB的中点为P时，求直线AB的两点式方程；(2)求△OAB面积的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用中点坐标公式分别求得，，再代入直线的两点式方程即可解决；（2）先求得过点的直线斜率不存在时△OAB的面积，再求得过点的直线斜率存在时△OAB的面积的最小值，二者进行比较即可求得△OAB面积的最小值．（1）由题意，设，，且．当AB的中点为P时，有解得，，所以，．所以直线AB的方程为．（2）当过点的直线斜率不存在时，，，此时．当过点的直线斜率存在时，设直线AB的方程为．直线AB与相交，可得，直线AB与x轴正半轴相交于B，可得．由，可得或那么．令，则，或则，由，或，可得或，当，即，时，即，则，此时，符合题意．综上，．2.（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的方程为.(1)若直线l与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，求直线l的方程；(2)若，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取得最小值时直线l的方程.【答案】(1)x＋y－2＝0(2)x＋y－2＝0【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再由题意可得，解方程求出的值，再检验即可求得直线方程，（2）求出直线在上的截距，然后表示出△OMN的面积，化简变形后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出直线方程.（1）令x＝0，则y＝2＋a；令y＝0，则.由题意得，解得a＝0或a＝－2.当a＝－2时，直线l的方程为x－y＝0，此时直线与两坐标轴不能围成三角形，不满足题意；当a＝0时，直线l的方程为x＋y－2＝0，此时直线与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，满足题意.综上，直线l的方程为x＋y－2＝0.（2）由直线方程可得，，因为，所以，，所以，当且仅当，即a＝0时，取得最小值.此时直线l的方程为x＋y－2＝0.【题型八】最值：截距与长度【典例分析】（2022·河南省叶县高级中学高二阶段练习）一条直线经过点．分别求出满足下列条件的直线方程．(1)与直线垂直；(2)交轴、轴的正半轴于，两点，且取得最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用垂直关系求出直线的斜率，从而可求直线的方程；（2）设直线方程为，求出的坐标后可求，利用基本不等式可求其最小值，从而可求直线方程.（1）由于直线的斜率，所以所求直线的斜率．故过点，斜率的直线方程为，即．（2）设过点的直线方程为，令，得；令，得．从而有，，所以．当，即（舍去）时，取得最小值．所求的直线方程为．【变式训练】1.（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）在平面直角坐标系中，点，，直线.(1)在直线上找一点使得最小，并求这个最小值和点的坐标；(2)在直线上找一点使得最大，并求这个最大值和点的坐标.【答案】(1)最小值为，(2)最大值为，【分析】（1）首先求出点关于的对称点为的坐标，从而得到直线的方程，再求出两直线的交点坐标，即可所求点的坐标，则的最小值为；（2）首先求出直线的方程，求出直线与直线的交点坐标，即为，而的最大值为，即可得解.（1）解：设点关于的对称点为，则，解得，即，所以直线的方程为，即.当为直线与直线的交点时，最小.由，解得，所以，从而的最小值为.（2）解：由题意知直线的方程为，即.当为直线与直线的交点时，最大.由，解得，所以，从而的最大值为.2.（2022·全国·高二课时练习）已知．(1)若直线l过点P，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程．(2)是否存在直线l，使得直线l过点P，且原点到直线l的距离为6？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)或(2)不存在，理由见解析【分析】（1）考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式求出直线方程；（2）方法一：求出直线l过点P，且原点到直线l的最大距离，进行判断；方法二：先求出当直线的斜率不存在时，原点到直线l的距离，再求出当直线l的斜率存在时，得到相应的方程，由根的判别式进行判断.（1）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；②当直线的方程为，即．，根据题意，得，解得：，所以直线的方程为．故直线的方程为或．（2）方法一：不存在．理由如下：若直线过点，则当原点到直线的距离最大时，直线与垂直，此时最大距离为，而，故不存在这样的直线．方法二：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知原点到直线的距离为2，不符合题意．若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，则原点到直线的距离为，令，整理得，则，方程无解，所以没有符合题意的直线．综上，不存在符合题意的直线．【题型九】叠纸【典例分析】（2022·全国·高二单元测试）如图，OAB是一张三角形纸片，∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，设直线l与边OA，AB分别交于点M，N，将△AOB沿直线l折叠后，点A落在边OB上的点处．(1)设，试用m表示点N到OB的距离；(2)求点N到OB距离的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用直线的方程和直线的方程求得点的横坐标，由此求得到的距离的表达式.（2）利用换元法，结合基本不等式求得点N到OB距离的最大值.（1）以点O为原点，边OA，OB所在的直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，所以，因为翻折后点A与点重合，所以，所以当m＝0时，直线MN的斜率不存在；当时，．因为的中点为，且中点在直线l上，所以直线l的方程为或，即或．①因为A（1，0），B（0，2），所以直线AB的方程为，即y＝－2x＋2，②由①②解得或，即点N到OB的距离为．（2）令t＝2m＋1，则，令，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，所以当时，点N到OB的距离最大，最大值为．【提分秘籍】基本规律可转化为轴对称问题，利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系.。中点坐标公式、两条直线垂直的条件、点到直线的距离公式是解题【变式训练】1.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边､分别在轴､轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为__________.【答案】【解析】因为折叠的过程中，点落在线段上，特别的如果折叠后重合，这时折痕所在的直线斜率为0，然后根据点和对折后的对应点关于直线折痕对称，即可求出折痕所在的直线的方程.【详解】当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程，当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，，所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得：，故折痕所在的直线的方程.，从而折痕所在的直线与的交点坐标为，折痕所在的直线方程为，即，综上所述：折痕所在的直线的方程为：.故答案为：.2.（2021·安徽·桐城市第八中学高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A落在线段DC上．（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（2）在（1）的条件下，若时，求折痕长的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）当时，此时A点与D点重合，求出折痕所在的直线方程．当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为，可知：A与G关于折痕所在的直线对称，有，解得故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标即线段OG的中点M的坐标表示，即可得出结果；（2）当时，折痕长为当时，折痕所在的直线交BC于点，交y轴于点，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出结果．【详解】（1）当时，此时点A与点D重合，折痕所在的直线方程为；当时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为，所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有，即，交点，故点G的坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标线段OG的中点为，所以折痕所在的直线方程为，即，综上所述，折痕所在的直线方程为；（2）当时，折痕的长为2；当时，折痕所在的直线交BC于点，交y轴于点，，又因为，所以，所以综上所述，折痕长的取值范围为．【题型十】三直线【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）平面上三条直线，，，如果这三条直线将平面划分为六个部分，求实数的所有可能的取值．【答案】、或【分析】三条直线将平面划分为六个部分，则这三条直线有两条平行，另一条与这两条平行线相交或三条直线交于一点，然后对直线与其他直线平行或三线交于一点进行分类讨论，即可求得实数的可能取值.【详解】解：三条直线将平面划分为六个部分，则这三条直线有两条平行，另一条与这两条平行线相交或三条直线交于一点．当直线与直线平行时，，得．当直线与直线平行时，，得；当三条直线相交于同一点时，由，解得，即直线与交于点，直线过点时，．综上，、或.【变式训练】1.（2022·江苏·高二课时练习）已知三条直线和，且与的距离是．(1)求的值；(2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．【答案】(1)(2)能，【分析】（1）根据平行间的距离公式建立方程，求解可得答案；（2）设存在点满足，由平行间的距离公式可求得或．得出满足条件②的点满足或．再由点到直线的距离公式可得或，联立方程，求解可得结论.（1）解：因为可化为，所以与的距离为．因为，所以．（2）解：设存在点满足，则点在与，平行直线上．且，即或．所以满足条件②的点满足或．若点满足条件，由点到直线的距离公式，有，即，所以或，因为点在第一象限，所以不成立．联立方程和，解得（舍去），联立方程和，解得，所以即为同时满足条件的点.【题型十一】直线与曲线：韦达定理与求根【典例分析】（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））已知动点P与两个顶点，的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的轨迹方程;(2)过点且斜率为k的直线l，交曲线C于、N两点，若，求斜率k【答案】(1)；(2).【分析】（1）设出动点P的坐标，借助两点间距离公式列式，化简计算作答.（2）根据给定条件写出l的方程，联立l与C的方程，借助韦达定理计算判断作答.(1)设点，依题意，，则，化简整理得：，所以曲线C的轨迹方程是：.(2)依题意，设直线l的方程为：，由消去y并整理得：，由得，设，，则有，，即，整理得，解得或（舍去），所以斜率.【提分秘籍】基本规律1.直线与曲线有两个交点，则可以连立方程，消去一个变量后的一元二次方程有两个根。借助于求根公式直接求解，或者韦达定理转化求解（圆锥曲线大题初步）【变式训练】1.（2022·江苏·高二专题练习）已知曲线．(1)说明曲线C是什么图形，并画出该图形；(2)直线经过点，与曲线C交于M，N两点，且点A是线段MN的中点，求直线的方程；(3)直线与曲线C交于M，N两点，且，求直线的方程．【答案】(1)曲线C表示的是两条直线或，图形见解析；(2)直线的方程为；(3)直线的方程为或或或.【分析】（1）化简即得解，再作图；（2）设直线交直线于点，求出点坐标即得解；（3）联立直线的方程，求出点坐标，解方程即得解.(1)解：由得或，所以曲线C表示的是两条直线或，如图所示，(2)解：设直线交直线于点，则直线交直线于点，所以.所以，所以直线的斜率为.所以直线的方程为.所以直线的方程为.(3)解：联立直线方程得；联立直线方程得.因为，所以，化简得或.所以或或或.所以直线的方程为或或或.【题型十二】直线应用题【典例分析】（2021·吉林·长岭县第三中学高二阶段练习）如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点位于点正北方向60m处，点C位于点正东方向170m处（为河岸），．(1)求新桥的长；(2)长的范围是多少？【答案】(1)m(2)【分析】（1）根据题意，以为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标系，进而点坐标为，，再结合题意得直线，方程，并联立得交点的坐标，最后结合距离公式求解即可；（2）根据题意设，进而根据题意列出不等式组，再结合代换求得的范围，即长的范围.(1)解：如图，以为轴建立直角坐标系，则，，由题意，直线方程为：．又，故直线方程为，由，解得，即，所以；(2)解：设，即，由（1）直线的一般方程为，圆的半径为，由题意要求，由于，因此，∴∴，即长的范围是.【变式训练】1.（2022·江苏·高二）如图，在一段直的河岸同侧有A、B两个村庄，相距5km，它们距河岸的距离分别为3km、6km．现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水．如果预计修建抽水站需8.25万元（含设备购置费和人工费），铺设输水管每米需用24.5元（含人工费和材料费）．现由镇政府拨款30万元，问A、B两村还需共同自筹资金多少才能完成此项工程？（精确到100元）（参考数据：，，，）【答案】需要两村共同自筹资金23900元【分析】建立直角坐标系,利用关于轴的对称点求出铺设的输水管道最短距离，再结合已知条件可求出结果.【详解】建立直角坐标系如图所示，则．由，可知，那么点A关于x轴的对称点．连接交x轴于点C．由平面几何知识可知，当抽水站建在C处时，铺设的输水管道最短．∵，∴（km），∴铺设管道所需资金为（元），总费用（元）．∴（元）．答：需要两村共同自筹资金23900元．分阶培优练分阶培优练培优第一阶——基础过关练1.（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过两条直线和的交点，且________，若直线m与直线l关于点对称，求直线m的方程．试从①与直线垂直，②在y轴上的截距为，这两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并解答．【答案】答案见解析【分析】先求出两直线的交点坐标，若选①，可设直线l的方程为，然后将交点坐标代入可求出，可得直线的方程，在直线上任取两个点，求出这两点关于点的对称点，从而可求出直线m的方程，若选②，则直线过点，从而可求出直线的方程，在直线上任取两个点，求出这两点关于点的对称点，从而可求出直线m的方程，【详解】由，得，所以交点坐标为．若选①，可设直线l的方程为，将点代入可得，即．在直线l上取两点和，点关于点对称的点的坐标为，点关于点对称的点的坐标为，所以直线m的方程为．若选②，可得直线l的斜率，所以直线l的方程为．在直线l上取两点和，点关于点对称的点的坐标为，点关于点对称的点的坐标为，所以直线m的方程为，即．2.（2022·全国·高二期中）已知直线与平行，且直线与直线之间的距离为，求m、n的值．【答案】；或.【分析】根据两直线平行的条件及两直线平行件的距离公式即可求解.【详解】因为直线与平行，所以，解得，，又因为直线与直线之间的距离为，所以，解得或.综上，m的值为；n的值为或.3.（2022·江苏·高二课时练习）在等腰直角三角形中，已知一条直角边所在直线的方程为，斜边的中点为，求其它两边所在直线的方程.【答案】答案见解析【分析】先设另一条直角边所在直线方程为，利用点到两直角边的距离相等求出，再联立两直线的方程解出直角顶点的坐标，利用与直角顶点的连线与斜边垂直求斜边所在直线的斜率，代点斜式即可求得斜边所在直线的方程【详解】如图所示，设另一条直角边所在直线方程为，即：因为到到和的距离相等所以解之得或即直线的方程为或由所以因为，所以所以直线的方程为即：由所以因为，所以所以直线的方程为即：4.（2022·江苏·高二课时练习）已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），(1)求AB边所在的直线方程；(2)求AB边的高所在直线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由两点式可得直线AB的方程,化为一般式即可；（2）可得直线AB的斜率,由垂直关系可得AB边高线的斜率,可得高线的点斜式方程,化为一般式即可.（1）因为A（-1，5）、B（-2，-1），所以由两点式方程可得，化为一般式可得：；（2）直线AB的斜率为.所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为，故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：.5.（2022·全国·高二课时练习）三角形的三个顶点是，，.（1）求边上的高所在直线的方程.（2）求边的垂直平分线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用两点求出的斜率，进而求出边上的高所在直线的斜率为，再由直线经过点，利用点斜式即可求解.（2）由（1）可得垂直平分线的斜率，利用中点坐标公式求出的中点坐标，利用点斜式即可求解.【详解】（1）边所在的直线的斜率因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为又边上的高经过点所以边上的高所在的直线方程为即.（2）由（1）得，边所在直线斜率所以边垂直平分线斜率为的中点坐标所以边垂直平分线方程即6.（2021·四川省绵阳南山中学高二阶段练习）在中，点，边上中线所在的直线方程为，的内角平分线所在的直线方程为.（1）求点的坐标；（2）求的边所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设点，根据题意点B在直线上，再求出AB的中点，进而将中点坐标代入直线上，最后解出答案；（2）先求出点A关于直线的对称点，则点在直线BC上，进而求出直线方程.【详解】（1）设点，则，解得，∴点.（2）设点关于对称的点，则的中点坐标为，，于是，则，由（1），所以，所以直线BC的方程为：，即.7.（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）设直线的方程为.(1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；(2)若直线与轴､轴分别交于点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程.【答案】(1)(2)面积的最小值为，此时直线的方程为【分析】（1）将直线化为斜截式方程，由直线不经过第二象限，列方程组解出实数的取值范围；（2）由已知得出，代入面积公式，利用基本不等式可求出最值以及取得最值时的直线方程．（1）直线的方程可化为，因为不过第二象限，所以，解得，从而的取值范围为（2）直线的方程可化为，所以，从而，当且仅当，即时等号成立，因此面积的最小值为，此时直线的方程为8.（2022·全国·高二单元测试）将一张纸沿直线对折一次后，点与点重叠，点与点重叠.(1)求直线的方程；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由对折可知中点在上且，利用点斜式即可得到直线方程；（2）由（1）设所在直线方程为，利用点坐标解出的值，再计算点坐标即可.（1）因为，，所以线段中点坐标为；又因为，所以由对折可得，所以直线的方程为即.（2）由（1）得设直线的方程为，因为在直线上，代入解得，即直线的方程为，设直线与直线的交点坐标为，由解得,所以，解得，所以.9.（2020·四川·石室中学高二阶段练习（理））如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为3，宽为2，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合.将矩形折叠，使点落在线段上，已知折痕所在直线的斜率为.（1）求折痕所在的直线方程；（2）若点为的中点，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设折痕所在的直线方程为，点落在线段上的对称点为，其中，由折痕垂直平分可列出关于和的方程组，解之即可；（2）由两点间距离公式求得的长，由点到直线的距离公式求得点到折痕的距离为，的面积，从而得解．【详解】解：（1）设折痕所在的直线方程为，点落在线段上的对称点为，其中，则的中点的坐标为，，，解得，折痕所在的直线方程为．（2）由（1）知，折痕所在的直线方程为，，，，，为的中点，点，点到折痕的距离为，的面积．培优第二阶——能力提升练1.（2022·全国·高二课时练习）已知，，．(1)若点满足，，求点的坐标；(2)若点在轴上，且，求直线的倾斜角．【答案】(1)(2)90°【分析】第（1）问中，若存在，两直线垂直，则有，两直线平行，则有,设出点的坐标，列方程即可求解.第（2）问中，根据，可知，设点坐标列方程即可.（1）设，由题意得，．因为，所以，即．①又，所以，即．②由①②，得，，即．（2）如图所示：设，因为，所以．又，，所以，即，所以，又，所以轴，故直线的倾斜角为90°．2.（2022·全国·高二专题练习）已知两直线l1与l2，直线l1经过点（0，3），直线l2过点（4，0），且l1∥l2．(1)若l1与l2距离为4，求两直线的方程；(2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．【答案】(1)l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0或l1：x＝0，l2：x＝4(2)最大距离为5；l1：4x﹣3y+9＝0，l2：4x﹣3y﹣16＝0【分析】（1）分两类讨论：①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，写出两条直线的方程，由点到直线的距离公式求出斜率k即可，②若l1、l2的斜率都不存在，则l1：x＝0，l2：x＝4，然后验证距离是否等于4即可．（2）当直线l1，l2均与两点的连线垂直时，l1与l2的距离最大，由两点间距离公式求出最大距离，由两条直线的垂直关系求出斜率，再根据点斜式或斜截式写直线的方程即可．（1）①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，由斜截式得l1的方程y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，由点斜式得l2的方程y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，在直线l1上取点A（0，3），则点A到直线l2的距离为d4，化简得16k2+24k+9＝16k2+16，解得k，∴l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0．②若l1、l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝4，它们之间的距离为4，满足条件，综上所述，两条直线的方程为l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0或l1：x＝0，l2：x＝4．当直线l1，l2均与两点的连线垂直时，l1与l2的距离最大，两点连线的直线的斜率为，∴直线l1与l2的斜率均为，此时，最大距离为5，l1：4x﹣3y+9＝0，l2：4x﹣3y﹣16＝0．3.（2021·广东·南海中学高二阶段练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标为、、．(1)求边的中垂线所在的直线方程和平行四边形的顶点D的坐标；(2)求的面积．【答案】(1)，(2)8【分析】（1）利用中点坐标公式，以及，结合点斜式求直线方程；（2）利用两点间距离公式和点到直线距离公式求解代入计算．（1）如图，设边中点为E，∵、，∴边的中垂线所在的直线的斜率为，由直线的点斜式方程得边的中垂线所在的直线为，即．设边中点为M，则M点坐标为，设点D的坐标为，由已知得M为线段的中点，有，解得，∴．（2）由、得，直线的方程为：，∴D到直线的距离，∴．4.（2022·全国·高二）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.(1)求直线的方程；(2)求边上的高所在直线的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合平行线的性质进行求解即可；（2）根据直线垂直的性质进行求解即可.(1)∵四边形为平行四边形，∴.∴.∴直线的方程为，即.(2)∵，∴.∴直线的方程为，即.5.（2021·广东·佛山市顺德区文德学校高二阶段练习）已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x-2y+2=0上.(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；(2)求△ABC的面积.【答案】(1)(2)2【分析】（1）由题意可知，为的中点，，利用斜率计算公式、点斜式即可得出．（2）由得，利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．(1)解：由题意可知，为的中点，因为，，所以，，所以，所在直线方程为，即．(2)解：由解得，所以，所以平行于轴，平行于轴，即，，．6.（2021·全国·高二单元测试）已知，，，，轴为边中线．（1）求边所在直线方程；（2）求内角角平分线所在直线方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）设交轴于点，则根据条件可知为等边三角形，则，进而，由点斜式即可求解；（2）先内角角平分线斜率的，再由点斜式即可求解【详解】（1）因为，，设交轴于点，则根据条件可知为等边三角形，则，为中点，则．,故直线方程为，即，故直线方程为．（2）因为，所以，,所以内角角平分线斜率为，故内角角平分线所在直线方程为．7.（2022·江苏·高二课时练习）已知直线.(1)若直线不能过第三象限，求的取值范围；(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．【答案】(1)(2)的最小值为，此时直线的方程为【分析】（1）分、两种情况讨论，在时直接验证即可；在时，求出直线与两坐标轴的交点坐标，根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（2）求出点、的坐标，求得，利用基本不等式结合三角形的面积公式可求得的最最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程.（1）解：由，当时，直线的方程为，此时直线不过第三象限，合乎题意；当时，在直线的方程中，令，可得y=2k+1，令，可得，若直线不过第三象限，则，解得.综上所述，.（2）解：由（1）可知，，又在轴负半轴，在轴正半轴，所以，，可得.，当且仅当时等号成立，所以，的最小值为，此时直线的方程.8..（2022·江苏·高二专题练习）过点作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程．【答案】【分析】由题意设直线的方程为，则可得，所以，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出的值，进而可求出直线方程.【详解】解：设直线的方程为．把点代入可得．，当且仅当时取等号，的最小值为9，此时直线的方程为．9.（2022·全国·高二期末）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合如图所示将矩形折叠，使点A落在线段DC上．（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程（2）当时，求折痕长的最大值．【答案】（1）；（2）【分析】当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为，可知：A与G关于折痕所在的直线对称，有，解得故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标即线段OG的中点为，即可得出．当时，折痕长为当时，折痕所在直线交BC于，交y轴于利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．【详解】解：（1）①当时，此时点A与点D重合，折痕所在直线的方程为．②当时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为，，所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有，故点G的坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点线段OG的中点为，故折痕所在直线的方程为，即．综上所述，折痕所在直线的方程为．当时，折痕的长为当时，折痕所在的直线交直线BC于点，交y轴于点．,,则在上，，，的取值范围为，故点M在线段上．，折痕长度的最大值为而，故折痕长度的最大值为培优第三阶——培优拔尖练1.（2022·江苏·高二课时练习）已知直线：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值.【答案】【分析】设直线与直线交于点，与轴交于点，依题意为中点求出点坐标，反解出点坐标，代入直线中即可求得的值【详解】则直线过定点设直线与直线交于点，与轴交于点，依题意为中点在中令，则，即所以，即，将其代入直线中可得解之得2.（2022·江苏·高二课时练习）若点和到直线l的距离都是.(1)根据m的不同取值，讨论满足条件的直线l有多少条？(2)从以下三个条件中：①；②；③；选择一个条件，求出直线l的方程.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）总有两条的平行线满足到的距离为，求出，再分，，讨论与相交的直线中满足条件的即可；（2）分别设出与平行和相交的直线，利用不同的值及点到直线的距离解方程求出直线方程即可.（1）如图：，为的垂直平分线.由知不论为多少，总有两条的平行线满足到的距离为；易知，当时，由图知还存在两条经过中点且与相交的直线满足到的距离为，如图中，故满足条件的共有4条直线；当时，由图知还存在一条与相交的直线满足到的距离为，如图中，故满足条件的共有3条直线；当时，由图知不存在与相交的直线满足到的距离为，故满足条件的共有2条直线；综上：当时，满足条件的共有4条直线；当时，满足条件的共有3条直线；当时，满足条件的共有2条直线；（2）若选①：由（1）知存在4条直线，存在两条与平行的直线满足条件，由，设，即，故，解得或，故直线为或；存在两条与相交的直线满足条件，且经过中点，即，当斜率不存在时，直线为，到直线的距离为2，满足条件，当斜率存在时，设直线为，即，故，解得，直线方程为，故直线l的方程为或或或；若选②：由（1）知存在2条直线，即存在两条与平行的直线满足条件，由，设，即，故，解得或，故直线为或；故直线l的方程为或；若选③：由（1）知存在3条直线，存在两条与平行的直线满足条件，由，设，即，故，解得或，故直线为或；存在一条与相交的直线满足条件，即的垂直平分线，又中点为，即，故的垂直平分线为，即，故直线l的方程为或或.3.（2022·全国·高二专题练习）正方形一条边所在方程为，另一边所在直线方程为，(1)求正方形中心所在的直线方程；(2)设正方形中心，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用中心到直线、的距离相等，且所在直线与平行可得；（2）求出平行直线与间的距离即正方形边长，设出直线（也是直线）方程为，由中心到直线的距离可把用表示，利用点所在直线方程，表示为的函数，由正方形边所在直线方程求得顶点（）坐标，由顶点在第一象限得不等关系，从而可求得的范围．（1）由于正方形中心所在直线平行于直线，设中心所在直线为，由平行线间的距离公式得，解得．则正方形中心所在的直线方程为；（2）正方形的边长即为平行直线与间的距离，设正方形所在直线方程为，由于中心到的距离均等于，那么，解得

①，又因为在直线上，那么，即

②，把②代入①得③，联立方程，解得，由于正方形只有两个点在第一象限，