冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题21与导数有关的应用题含解析

PAGEPAGE3专题21与导数有关的应用题【自主热身，归纳总结】1\如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知AB为直径，且AB＝2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB.现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧eq\x\to(AC)，C到D是线段CD.设∠AOC＝xrad，观光路线总长为ykm.(1)求y关于x的函数【解析】式，并指出该函数的定义域；(2)求观光路线总长的最大值．【解析】：(1)由题意知eq\x\to(AC)＝x×1＝x，(2分)CD＝2cosx.(5分)因为C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，所以0<x<eq\f(π,2).所以y＝x＋2cosx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(7分)(2)记f(x)＝x＋2cosx，则f′(x)＝1－2sinx.(9分)令f′(x)＝0，得x＝eq\f(π,6).(11分)当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))eq\f(π,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))f′(x)＋0－f(x)极大值所以函数f(x)在x＝eq\f(π,6)处取得极大值，这个极大值就是最大值，(13分)即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(π,6)＋eq\r(3).答：观光路线总长的最大值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\r(3)))km.(14分)2、几名大学毕业生合作开3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元．该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元．假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t(x)＝－a(x＋5)2＋10050；②当60≤x≤76时，t(x)＝－100x＋7600.设该店月利润为M(元)(月利润＝月销售总额－月总成本)，求：(1)M关于销售价格x的函数关系式；(2)该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．(注：写到上一步，不扣分)(2)设g(u)＝(－2u2－20u＋10000)(u－34)－20000，34≤u<60，u∈R，则g′(u)＝－6(u2－16u－1780)．令g′(u)＝0，解得u1＝8－2eq\r(461)(舍去)，u2＝8＋2eq\r(461)∈(50,51)．(7分)当34<u<50时，g′(u)>0，g(u)单调递增；当51<u<60时，g′(u)<0，g(u)单调递减．(10分)因为x∈N*，M(50)＝44000，M(51)＝44226，所以M(x)的最大值为44226.(12分)当60≤x≤76时，M(x)＝100(－x2＋110x－2584)－20000单调递减，故此时M(x)的最大值为M(60)＝21600.(14分)当eq\f(5,v)≤t≤eq\f(13,v)时，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋v\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,v)))，3))＝(vt－1,3)；当eq\f(13,v)≤t≤eq\f(16,v)时，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12，3－v\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(13,v)))))＝(12,16－vt)；当eq\f(16,v)≤t≤2时，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(12,0)．记f(t)＝eq\o(PQ,\s\up6(→))2＝(eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))2，则f(t)＝因为v>8，所以在相应的t的范围内，v2－eq\f(48,5)v＋36，(v－6)t－1,16－vt,12－6t均为正数，可知f(t)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,v)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,v)，\f(13,v)))上递增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13,v)，\f(16,v)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(16,v)，2))上递减．即f(t)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(13,v)))上递增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13,v)，2))上递减，所以f(t)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,v))).令feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,v)))≤25，得eq\f(13v－6,v)－1≤4，解得8<v≤eq\f(39,4).eq\a\vs4\al(解后反思)当分段函数f(t)的图像连续时，整体考虑函数的单调性求最值，可减少很多(无效)计算量．一个小窍门是：分段函数的各个分界点，能用“闭区间”就不用开区间．【变式1】、某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－k＋\f(4500,x)))L，其中k为常数，且60≤k≤100.(1)若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，欲使每小时的油耗不超过9L，求x的取值范围；v(0,2eq\r(a))2eq\r(a)(