2019版数学（文科 课标版）题组训练：第4章第4讲 正、余弦定理及解三角形（含最新模拟题） 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第四讲正、余弦定理及解三角形题组1正、余弦定理及其综合应用1。［2016全国卷Ⅲ，9,5分][文］在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC，则sinA=(A.310 B.1010 C.55 2。［2014新课标全国Ⅱ，4，5分］钝角三角形ABC的面积是12,AB=1，BC=2,则AC=(A.5 B。5 C.2 D。13.[2013新课标全国Ⅱ，4,5分]［文］△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC的面积为(A。23+2 B。3+1C.23—2 D。3-14。[2013陕西，9,5分］[文］设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为()A。直角三角形 B。锐角三角形C。钝角三角形 D.不确定5。［2017全国卷Ⅱ,16,5分］[文]△ABC的内角A，B,C的对边分别为a,b，c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=。

6。[2017全国卷Ⅲ,15,5分]［文］△ABC的内角A，B,C的对边分别为a,b,c。已知C=60°，b=6,c=3，则A=。

7。［2015新课标全国Ⅰ,16，5分]在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2，则AB的取值范围是。

8。[2015北京，12，5分］在△ABC中，a=4，b=5，c=6,则sin2AsinC9。［2017全国卷Ⅰ,17，12分］△ABC的内角A，B,C的对边分别为a,b,c。已知△ABC的面积为a2（1）求sinBsinC;（2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长。10.[2016四川，17,12分]在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a，b，c，且cosAa+cosB（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC;（Ⅱ）若b2+c2-a2=65bc,求tan11.［2015新课标全国Ⅱ,17，12分］[文］△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC。（Ⅰ）求sin∠B（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B.题组2解三角形的实际应用12.[2014四川，8,5分］［文]如图4—4—1，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()图4-4-1A。240(3-1)mB.180(2—1）mC.120(3-1)mD.30（3+1）m13.[2015湖北,15,5分]［文］如图4—4-2,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m。

图4-4-214。[2014新课标全国Ⅰ,16，5分][文]如图4-4-3，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点。从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m.

图4-4-3A组基础题1.[2018合肥市高三调研,6]在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c,C=60°，a=4b,c=13，则△ABC的面积为()A.3 B。132 C.23 D。2.［2018重庆六校第一次联考，7］在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B，C的对边）,则△A。直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形3.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,8］在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b，c,已知a=1，b=3，A=30°,B为锐角，那么角A∶B∶C为(）A。1∶1∶3 B。1∶2∶3 C。1∶3∶2 D.1∶4∶14。［2018福州四校联考,16］在△ABC中,a，b,c分别是角A,B,C的对边,且满足(a+b)sinC2=(a—b）cosC2=5,则c=5。［2018广东七校第一次联考，16］在△ABC中,点D在边AB上，CD⊥BC，AC=53，CD=5，BD=2AD,则AD的长为。

6。［2017沈阳市高三三模,15]在△ABC中,内角A，B,C的对边分别为a，b,c，已知c=5,B=2π3，△ABC的面积为1534,则cos2A=7。［2018湖北八校第一次联考，17］在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1)若23cos2A+cos2A=0,且△ABC为锐角三角形，a=7，c=6，求b的值;(2）若a=3，A=π3,求b+c的取值范围8.［2017武汉市五月模拟,17]在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，且满足2c-b（1）求角A的大小;(2）若D为BC边上一点，且CD=2DB，b=3,AD=21，求a。B组提升题9.［2018成都市高三摸底测试,11］△ABC的内角A,B，C的对边分别为a,b，c，且23（sin2A-sin2C）=(a-b)sinB，△ABC的外接圆半径为3。则△ABC面积的最大值为()A.38 B.34 C。9310。[2017安徽省合肥市高三二检，11］在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，且满足（a-b）（sinA+sinB)=(c—b）·sinC。若a=3,则b2+c2的取值范围是(）A。(3,6］ B.(3，5） C。(5,6］ D。［5，6］11。[2018惠州市高三一调，16］已知a,b，c是△ABC中角A，B,C的对边,a=4,b∈(4，6），sin2A=sinC，则c的取值范围为。

12.［2018石家庄市重点高中高三摸底考试，17]某学校的平面示意图如图4—4-5中的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教区，AB,BC,CD，DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度）.∠BCD=∠CDE=2π3，∠BAE=π3，DE=3BC=3CD=9图4—4-5（1)求道路BE的长度；(2）求生活区△ABE面积的最大值。13.[2017天星教育第二次大联考,17］已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,sinC=-3cosAcosB,tanAtanB=1—3，c=10。(1）求sinA(2）若1a+1b=1，求△ABC答案1.D设BC边上的高为AD，则BC=3AD，又B=π4,所以BD=AD,DC=2AD，所以AC=AD2+DC2=5AD.由正弦定理,知ACsinB=BC2.B由题意,得12AB·BC·sinB=12,又AB=1，BC=2,所以sinB=22,所以B=45°或B=135°.当B=45°时,由余弦定理，得AC=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=1,此时AC=AB=1，BC=2,易得A=903。B由正弦定理知bsinB=csinC，结合条件得c=bsinCsinB=22。又sinA=sinBcosC+cosBsinC=6+24,所以△ABC的面积S=12bcsinA=4.A依据题设条件及边化角选用正弦定理，得sinBcosC+cosBsinC=sin2A，则sin(B+C）=sin2A,由三角形内角和及互补角的性质，得sin(B+C)=sin(π—A)=sinA=sin2A,因为A∈（0，π），所以sinA=1,所以A=π2,即△ABC为直角三角形.故选A5.π3解法一依题意,得2b×a2+c2-b22ac=a×a22accosB=ac〉0，故cosB=12.又0<B〈π,所以B=π解法二依题意，得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C)=sinB〉0,因此cosB=12,又0〈B<π,所以B=π6.75°由正弦定理得sinB=bsinCc=6sin60°3=22，所以B=45°或B=135°,因为b〈c,所以B〈C,故B=7。(6-2,6+2）如图D4-4—1，作△PBC,使∠B=∠C=75°，BC=2，作直线AD分别交线段PB,PC于A，D两点(不与端点重合)，且使∠BAD=75°，则四边形ABCD就是符合题意的四边形。过C作AD的平行线交PB于点Q，在△PBC中，可求得BP=6+2,在△QBC中,可求得BQ=6-2,所以AB的取值范围是(6—2,6+2）。图D4—4-18.1由正弦定理,得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=4∶5∶6,又由余弦定理,知cosA=b2+c2-a22bc=25+36-162×5×6=34,所以sin2AsinC=2sinA9。（1)由题设，得12acsinB=a23sinA,即12由正弦定理,得12sinCsinB=sin故sinBsinC=23(2）由题设及（1）得cosBcosC-sinBsinC=16-23=-12,即cos（B+C）所以B+C=2π3，故A=π由题设,得12bcsinA=a23sinA由余弦定理,得b2+c2—bc=9,即(b+c)2-3bc=9，所以b+c=33。故△ABC的周长为3+33.10.(Ⅰ)根据正弦定理,可设asinA=bsinB=c则a=ksinA，b=ksinB,c=ksinC.代入cosAa+cosBb=sinCc中,有sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）.在△ABC中,由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin（π—C)=sinC，所以sinAsinB=sinC。(Ⅱ)由b2+c2—a2=65bccosA=b2+c所以sinA=1-cos2A由(Ⅰ）知sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，所以45sinB=45cosB+35故tanB=sinBcosB11。(Ⅰ)由正弦定理,得ADsin∠B=BDsin∠BAD，因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以sin∠Bsin∠C=DC(Ⅱ)因为∠C=180°—(∠BAC+∠B)，∠BAC=60°,所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=32cos∠B+12由（Ⅰ)知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=33，即∠B=3012.C因为tan15°=tan（60°-45°)=tan60°-tan45°1+tan60°tan45°=2—3所以BC=60tan60°—60tan15°=120(3-1）（m），故选C。13.1006由题意，得∠BAC=30°，∠ABC=105°。在△ABC中,因为∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,所以∠ACB=45°,因为AB=600m,由正弦定理可得600sin45°=BCsin30°，即BC=3002m.在Rt△BCD中，因为∠CBD=30°,BC=3002m,所以tan30°=CDBC=CD3002,所以14。150由题意，得在三角形ABC中，AC=1002，在三角形MAC中，MAsin60°=ACsin45°，解得MA=1003,在三角形MNA中,MN1003=sin60°=32，故A组基础题1。A由余弦定理知(13)2=a2+b2-2abcos60°,因为a=4b，所以13=16b2+b2-2×4b×b×12,解得b=1或b=-1（舍去)，所以a=4,所以S△ABC=12ab2。A已知等式变形得cosB+1=ac+1，即cosB=ac①.由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac,代入①得a2+c2-3。B解法一由正弦定理asinA=bsinB，得sinB=bsinAa=32。∵B为锐角，∴B=60°,则C=90°,故A∶B解法二由a2=b2+c2-2bccosA,得c2—3c+2=0,解得c=1或c=2。当c=1时，△ABC为等腰三角形，B=120°,与已知矛盾，当c=2时,a<b<c,则A<B<C,排除选项A,C,D，故选B。4。13因为(a+b)sinC2=12,（a—b)cosC2=5，所以(a+b)2(1-cosC)2=144①，(a-b)2(1+cosC)2=255.5在△ABC中,BD=2AD，设AD=x（x〉0），则BD=2x。在△BCD中，因为CD⊥BC，CD=5,BD=2x，所以cos∠CDB=CDBD=52x。在△ACD中,AD=x,CD=5，AC=53,则cos=x2+52-(53)22×x×5。因为∠CDB+∠ADC=π,所以cos∠ADC=—6.7198由三角形的面积公式,得S△ABC=12acsinB=12×a×5×sin2π3=12×32×5由b2=a2+c2-2accosB=32+52-2×3×5×（—12)=49，得b=7又由asinA=bsinB⇒sinA=absinB=3故cos2A=1-2sin2A=1-2×（3314)2=7.(1)∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A-1=0，∴cos2A=125又A为锐角，∴cosA=15而a2=b2+c2—2bccosA，即b2-125b—13=解得b=5（负值舍去)，∴b=5。（2)解法一由正弦定理可得b+c=2(sinB+sinC)=2［sinB+sin（2π3-B）]=23sin(B+π∵0〈B〈2π3,∴π6<B+π6〈5π6，∴12<sin（B+π6)≤1,∴b+c∈解法二由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得b2+c2—3=bc,即（b+c）2—3=3bc≤34（b+c）2，当且仅当b=c∴b+c≤23，又由两边之和大于第三边可得b+c〉3，∴b+c∈(3,23]。8。（1)由已知得（2c-b)cosA=acosB,由正弦定理,得（2sinC-sinB)cosA=sinAcosB,整理，得2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB，即2sinCcosA=sin（A+B)=sinC.又sinC≠0，所以cosA=12，所以A=π(2）如图D4-4-2,图D4—4—2过点D作DE∥AC交AB于E,又CD=2DB,∠BAC=π3，所以ED=13AC=1，∠DEA=由余弦定理可知,AD2=AE2+ED2-2AE·EDcos2π3,得AE=4,则AB=6又AC=3，∠BAC=π3，所以在△ABC中,由余弦定理得a=BC=33B组提升题9。D由正弦定理，得asinA=bsinB=csinC=23，所以sinA=a23，sinB=b23，sinC=c23,将其代入23（sin2A-sin2C)=(a—b)sinB,得a2+b2-c2于是S△ABC=12absin=12×23sinA×23sinB×sin=33sinAsinB=332［cos(A—B）—cos(=332［cos（A—B)+cos=332cos（A—B)+当A=B=π3时，S△ABC取得最大值，最大值为9310。C由正弦定理可得（a—b）·（a+b)=（c—b）·c,即b2+c2-a2=bc，cosA=b2+c又A∈(0，π2），∴A=π∵bsinB=csinC∴b2+c2=4（sin2B+sin2C）=4[sin2B+sin2（A+B）］=4｛1-cos2B2+1-cos2B+4=2sin（2B-π6)+4。∵△ABC是锐角三角形，∴B∈(π6,π2),即2B-π6∈（π∴12<sin（2B-π6)≤1，∴5〈b2+c2≤6.11.42<c<210由4sinA=csinC,得4sinA=c∵16=b2+c2—2bccosA，∴16-b2=64cos2A-16bcos2A，又b≠4，∴cos2A=16-b264-16b=(4-b)(4+b)16(4-∵b∈(4，6）,∴32<c2<40，∴42〈c〈210.12.(1)图D4—4-3如图D4-4-3，连接BD，在△BCD中，BD2=BC2+CD2—2BC·CD·cos∠BCD=27100∴BD=3310∵BC=CD,∴∠CDB=∠CBD=π-23又∠CDE=2π3，∴∠BDE=π∴在Rt△BD