2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《两角差的余弦公式》 学生版

→→→→→→→→3.1.1

两差余公学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导.2.理解用向量法导出公式的主要.3.熟记两角差的余弦公式的形式符号特征，并能利用该公式进行求值、计.知识点一两差的余弦公式的究思1如用，β的正、弦来示cos(α-β)？人为cos(α-)=cos-cosβ，你认正吗试出例以明.答案为：不正确.πππ2例如：当α，=时cos(-)=cos=，2442ππ2而cosα=cos-cos=-，cos()≠cos-cosβ242πππ3再如：当α，=时cos(-)=cos=，3662ππ1－3而cosα=cos-cos=，故cos(-β)≠cosαβ362思2计下式子值并据些子共特，出个想.①cos45°cos45°sin45°=________②cos60°cos30°60°sin30°=________；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°=________；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°=________.猜想：coscosβsinβ=________，即_____________________________.答案为：①1②

31③0④；cos(-β)cos(α-)=cosαcos＋sinsin22知点两角的弦式思考1.单位圆中(如图，∠AOx=α，∠BOx=β，那么，的标是什么？OA与的夹角是多少？答案为：Aα，sinα，(cosβ，sinβ).OA与的夹角是αβ第页共7页

→→→→→→→→思考2请根据上述条件推导两角差的余弦公.答案为：①=||||cos(-)=cos(-)，②=coscos＋sinα.∴cos(-)=coscos＋sinαsinβ梳理C：cos(-β)=cosαcosβ＋sinαsinβ.(1)适用条件：公式中的角，β都是任意角(2)公式结构：公式右端的两部为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相类型一利用两角差的余弦公式化简求值例1.计算：(1)cos(-15°)；(2)cos15°cos105°15°sin105°.反与悟利两角差的余弦公式求值的般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的，正用公式直接求.(2)在转化过程中，充分利用诱公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求跟训1求列式值：；(2)cos46°cos16°＋sin46°sin16°.类型二给值求值21例2.已知α均为锐，=，cos(-)=，求cos的.第页共7页

反与悟

三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换最基本的变.常见的有：α=(α＋)-，=β-(-)，=(2-)-(-β，11α=[(α＋)＋(β，α=[(β＋)-(-α)]等2211π跟训2已cosα，cos(α＋)=-，，β∈，142

，cos的值.类型三给值求角13π例3.已知cosα=，cos(β)=，且0<β<<，β的值142反与悟求给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的.第页共7页

12跟训3已cos(α-β，cos(＋β)=，13π3且αβ∈，πα＋β∈，22

，角的.1.计算cos

5ππππcos＋cossin的是1261261A.0B.2

C.

22

D.

322.若a=(cos60°，sin60°)b=(cos15°，sin15°)，a·b等于(

)A.

22

1B.2

C.

32

1D.-2π3.设α∈

3，若sinα，则2cos5

π)4A.

71B.55

C.-

75

D.-

15344.已知sin＋sin=，cos＋cosβ，求cos()的值55第页共7页

455.已知sin=-，sin=，且180°<α<270°β<180°，求cos(α-β的值513课作一、选择题1.化简cos(45°-)cos(α)sin(＋15°)的结果为()A.

1133B.-C.D.-222π2.已知点P(1，2)是角α终边上一点，则cos(α等于()6A

3＋63－6＋66－3B.C.-D.66665π3.已知cos=，0＜θ＜，cosθ等于()63A.

53＋1212－53＋1235＋53B.C.D.26132613第页共7页

4.若αβ

510，cosα，且β均为锐角且α，则β值为()510A.

ππ3π5B.C.D.64463π5ππ5.若α＋β)=，sin=，，∈cos的值()5424A.

235636B.C.D.2265656.计算sin7°cos23°＋sin83°cos67°值(A.-

1133B.C.D.-2227.化简sin(x＋)sin(-＋)cos(-)的结果为)A.sin2

B.cosy

C.-cos2y

D.-sinπ18.已知sin(＋)=，则cosα＋3sinα的值为)6411A.-B.C.2D.-142二、填空题443ππ9.已知cos=αβ)=-，<<2π，απ，则cosβ=________.552215ππ10.已知sin=，∈(，，则cos(-的值为_______.172411.已知cos(αβα＋sin(α-β=，为第三象限角，则sinβ=________.12.设A，B为锐角ABC的个内角，向量a=(2cosA，2sin)，b=(3cos，3sin).π若a，的夹角的弧度数为，-=________.313.已知sin＋sin＋sin=0，cosα＋cos＋cosγ=0，cos(-β值是_____.三、解答题14.已知cos(2-β)=-

22πππ，sin(-2)=，<<，0<<，cos