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第七章

统计案例一元线性回归方程回顾上一节学习的直线拟合的内容:直线拟合：所有点都在一条直线附近波动，可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合．这条拟合直线的数学表达式是什么样的？如何使所有的点到拟合直线的距离之和最小？有没有较好的用成对数据的数学表达式表示拟合直线的方法呢?在成对数据生成的散点图中，可以利用所有的点到拟合直线的距离之和最小时对应的数学表达式来表示拟合直线．

我们发现n=3时这个式子就已经相对复杂了，那么我们可以用什么方法去解决呢？为什么考虑这种方法呢？虑借助向量解决问题，空间向量既有代数特征又有几何特征，如果能借用其代数特征表示偏差的平方和，便能借助空间向量的几何特征直观地分析理解，便于求最小值．该怎么用向量的语言描述问题呢？

等价等价该如何用向量的思维思考前面的问题呢？

尝试用向量的方法解决前面的问题．

用向量的坐标表示，即:

解决了n=3时的问题，如何把这种结论推广到一般情况?

没有函数关系，我们得到的线性回归方程只是对其变化趋势的一种近似描述，并不是函数关系．某小卖部6天卖出热茶的杯数Y(单位:杯)与当天气温X(单位:℃)之间存在近似的线性关系．数据如下表．解

(1)先画出散点图，根据点的分布，得到两个变量很可能有近似的线性关系．261813104-1杯数/杯202434385064(1)试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程;(2)如果某天的气温是-3℃，请预测这天可能会卖出热茶多少杯．

解

(1)画出散点图如图．

一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下:加工零件X/个102030405060708090100加工时间Y/min626875818995102108115122(1)画出散点图;(2)求Y关于X的线性回归方程;(3)关于加工零件的个数与加工时间，能得出什么结论?

(3)关于加工零件的个数与加工时间可得结论：当加工零件每增加1个，加工时间约增加0.668min．有人收集了10年来某城市的居民年收人(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据:年份2010201120122013201420152016201720182019年收入X/亿元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0商品销售额Y/万元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0(1)画出散点图;(2)求Y关于X的线性回归方程;(3)如果这座城市居民的年收入达到40亿元，试估计这种商品的销售额．解

(1)画出散点图如图．

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