2023届河北省邢台市高三年级上册学期期末数学试题

邢台市2022~2023学年高三（上）教学质量检测数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为、，高为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.3若复数z满足方程，则z=（）A. B. C. D.4.某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则（）A. B. C. D.5.《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是（）A.55 B.57.25 C.58.75 D.606.已知圆与直线相切，则圆关于直线对称圆的方程为（）A. B.C. D.7.如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（）A.260万元 B.265万元C.255万元 D.250万元8.若，且，则（）A.的最小值为 B.的最小值为C.的最小值为16 D.没有最小值二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则（）A.函数为增函数 B.函数的图象关于y轴对称C. D.10.如图，正方体的棱长为2，线段上有两个不重合的动点E，F，则（）A.当时， B.C.AE的最小值为 D.二面角为定值11.已知直线与椭圆C）交于A，B两点，线段AB的中点为，则C的离心率可能是（）A. B. C. D.12.已知，函数，下列结论正确是（）A.一定存在最小值B.可能不存在最小值C.若恒成立，则D.若恒成立，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设向量满足，则_________.14.设等比数列的前n项和为，写出一个满足下列条件的的公比_________．①，②是递减数列，③．15.已知函数在上恰有3个零点，则ω的最小值是________.16.已知为抛物线：上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于48，则点的纵坐标的取值范围是________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知．（1）若，证明：△ABC等腰三角形；（2）若，求b最小值．18.已知数列{}满足，.（1）记，证明{}为等差数列，并求{}的通项公式；（2）求{}的前2n项和.19.如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求的分布列；（2）若满足的n的最小值为，求；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优.21.已知双曲线C的渐近线方程为，且C的实轴长为2.（1）求C的方程；（2）过右焦点F的直线与C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P（异于点F），使得点F到直线PA，PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.22.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，，求a的取值范围.邢台市2022~2023学年高三（上）教学质量检测数学1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】BCD10.【答案】BCD11.【答案】BD12.【答案】AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】14.【答案】（答案不唯一，只要即可）15.【答案】16.【答案】四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知．（1）若，证明：△ABC为等腰三角形；（2）若，求b的最小值．【答案】（1）证明过程见详解（2）【解析】【分析】（1）已知条件由余弦定理角化边，化简可得，从而可证△ABC为等腰三角形；（2）已知条件由正、余弦定理角化边，可得，从而得到，进而可求得b的最小值．【小问1详解】因为，，所以由余弦定理可得，即，整理得，即，所以△ABC为等腰三角形．【小问2详解】因为，所以由正弦定理可得，所以由余弦定理可得，又，所以，所以，当时，取最小值，且最小值为．18.已知数列{}满足，.（1）记，证明{}为等差数列，并求{}的通项公式；（2）求{}的前2n项和.【答案】（1）证明见解析，（2）3n2【解析】【分析】（1）根据数列新定义得出和的关系即可证明．（2）根据数列新定义求出的通项公式，根据通项公式特性求出.【小问1详解】由题知则所以，即故{}为等差数列又所以【小问2详解】因为.......所以=3n219.如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，证明平面平面，根据面面平行的性质即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，设棱长，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得答案.【小问1详解】证明：连接，因为分别是棱的中点，所以,平面,平面,所以平面，因为分别是棱，的中点，所以,.所以四边形是平行四边形，则,.平面,平面,所以平面，因为平面，且，所以平面平面，因平面，所以平面.【小问2详解】取的中点O，连接，，因为是等边三角形，故,而平面故平面,平面,则，即，，两两垂直，则以O为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,设，由知，，则，,,，从而,设平面的法向量为，则,令，得,设直线与平面所成角为，则.20.灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求的分布列；（2）若满足的n的最小值为，求；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优.【答案】（1）分布列见解析；（2）13；（3）更优【解析】【分析】(1)由条件确定随机变量的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得分布列；(2)根据分布列结合条件求n的最小值；(3)分别计算与时购买替换灯珠所需总费用的期望值，比较大小确定结论.【小问1详解】设ξ表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，则0.2，，X的取值范围是，，，，，，，，X的分布列为X10111213141516P0.040.160.240.240.20.080.04【小问2详解】由（1）可知，，故.【小问3详解】由（2）可知.在灯带安全使用寿命期内，当时，设购买替换灯珠所需总费用为u元，当时，设购买替换灯珠所需总费用为v元，则，，故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比的方案更优21.已知双曲线C的渐近线方程为，且C的实轴长为2.（1）求C的方程；（2）过右焦点F的直线与C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P（异于点F），使得点F到直线PA，PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】(1)由条件列关于的方程，解方程求可得双曲线方程；(2)假设存在点，据题意设，联立方程得到，，再由点到直线的距离相等可得，由此求可得结论.【小问1详解】由题意得，即.因为C的渐近线方程为.所以所以，故C的方程为.【小问2详解】假设存在P（n，0）满足条件，设.由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB：联立消去x得则且.，，由已知，所以，因为点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是∠APB角平分线则，即，所以整理得所以，整理得，因为对于任意的，恒成立，所以，故存在点，使得点F到直线PA，PB的距离相等.【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22.已知函数.