![2023届山西省运城市稷山县稷山中学高三年级上册学期12月月考数学试题【含答案】_第1页](http://file4.renrendoc.com/view/e1ed6e5b50c3068a226ab712c2fab3fe/e1ed6e5b50c3068a226ab712c2fab3fe1.gif)
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文档简介
2023届山西省运城市稷山县稷山中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1.已知复数为纯虚数,则实数的值为(
)A. B.0 C.1 D.0或1【答案】C【分析】根据题意和纯虚数的概念可得,解之即可.【详解】因为为纯虚数,所以,解得.故选:C.2.若集合,则为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】化简集合A,根据交集运算求解.【详解】因为集合,所以.故选:D.3.若一个圆锥的侧面展开图为半圆,则该圆锥的母线长与其底面圆的直径应满足的等量关系为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根据圆锥侧面展开图和扇形的弧长公式即可得出结果.【详解】设圆锥的底面圆半径为,则圆锥底面圆的周长等于,因为圆锥侧面展开图为一半圆,且该半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长,所以,即.故选:C.4.函数的一个单调递增区间是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】原问题等价于求函数的一个单调递增区间,作出的图象即可求解.【详解】解:函数的一个单调递增区间,即为函数的一个单调递增区间,作出的图象如下图所示.由图可知函数的一个单调递增区间为,故选:D.5.若直线过点且被圆截得的弦长为6,则满足条件的直线的方程为(
)A.或B.或C.或D.或【答案】B【分析】考虑直线的斜率是否存在,斜率存在时,设出直线方程,求出圆心到直线的距离,列出方程,即可求得答案.【详解】由题意圆的圆心为原点,半径为,当直线的斜率不存在时,直线与圆相交于两点,所以弦长为6,满足题意;当直线的斜率存在时,设直线方程为,圆心到直线的距离,由可得,即,所以,则直线的方程为即,故满足条件的直线的方程为或,故选:.6.若,则(
)A.3 B. C. D.【答案】D【分析】由可得,又,据此可得答案.【详解】因为,所以,又.故选:D.7.若过点可以作曲线的两条切线,则(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据导数的意义得出曲线在点处的切线的方程,将代入直线可得关于的方程具有两个不相等的正数解,构造函数利用导数得出函数大概图形,即可得出答案.【详解】设曲线在点处的切线为,由可知直线的斜率为,故直线的方程为,将代入直线可得关于的方程具有两个不相等的正数解,构造函数,则,当时,单调递减;当时,单调递增,且当时,;,当,即时,,即当时,;故为了使方程有两个不相等的正数解,则须使.故选:B.8.物理学家本福特从实际生活得出的大量数据中发现,以1开头的数出现的频率约为总数的三成,接近期望值的3倍,并提出本福特定律,即在大量进制随机数据中,以开头的数出现的概率为,如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.根据本福特定律,在某项大量经济数据(十进制)中,若,则的值为(
)A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【分析】根据题中的条件,结合对数的运算性质求得及,即可得解.【详解】,而,故,则.故选:A.二、多选题9.第一组样本数据:,由这组数据得到第二组样本数据:,其中,其中为正数,则下列命题正确的是(
)A.当时,两组样本数据的样本平均数不相同B.第二组样本数据的样本极差是第一组的倍C.第二组样本数据的样本标准差是第一组的倍D.第二组样本数据的样本方差是第一组的倍【答案】ABC【分析】根据样本数据的平均数,极差及方差,标准差性质逐个选项判断即可.【详解】设一组数据的平均数为,方差为,则的平均数为,方差为.对于选项,根据以上性质以及可知,第二组样本数据的平均数为,故平均数不相同,故正确;对于选项,由极差的定义知:若第一组的极差为,则第二组的极差为,即第二组样本数据的样本极差是第一组的倍,故正确;对于选项,根据样本数的上述性质,第二组样本数据的样本方差是第一组的倍,第二组样本数据的样本标准差是第一组的倍,故C正确,错误.故选:.10.已知向量,则下列命题正确的是(
)A.的最大值为2B.存在,使得C.向量是与共线的单位向量D.在上的投影向量为【答案】ABD【分析】A.根据向量数量积的坐标表示,结合三角函数的恒等变形和性质,即可判断;B.利用数量积公式,可得,即可求解;C.根据模的公式,计算,即可判断;D.根据投影向量公式,即可计算求值.【详解】对于选项,,当,即时取最大值2,故A正确;对于B选项,要使,则,则,因为,所以,故存在,使得,故B正确;对于C选项,因为,所以向量不是单位向量,故C错误;对于选项,因为为单位向量,则在上的投影向量为,故D正确.故选:.11.已知双曲线的左、右焦点分别为,点是的右支上一点,连接与轴交于点,若(为坐标原点),,则(
)A.双曲线的渐近线方程B.双曲线的离心率为C.的面积为D.【答案】AB【分析】根据已知得出,即可通过得出,结合双曲线定义得出,,,即可得出双曲线的离心率,渐近线方程与的面积,判断选项D,即可得出答案.【详解】设,,,,,,,又,,的面积为,故C错误;则,,,双曲线的离心率为,双曲线的渐近线方程为,故AB正确;,故D错误;综上所述:选项AB正确,故选:AB.12.在棱长为2的正方体中,点P在线段上运动,则下列命题正确的是(
)A.B.三棱锥的体积为定值C.异面直线AP与所成的角可以为D.设直线与平面所成的角为,则的最小值为【答案】ACD【分析】对于A:只需证平面即可;对于B:体积转化法;对于C:因为,所以∠APC(或补角)为异面直线AP与所成的角,观察∠APC的变化范围;对于D:求出到平面的距离为定值,则,只需考察变化时对的影响.【详解】如图所示对于A选项,因为,平面,平面所以平面,又平面,所以,同理可证:,又,平面,平面所以平面,又AP在平面内,,所以A选项正确;对于B选项,因为,又平面,平面,所以平面,所以,所以B选项错误;对于C选项,因为,所以∠APC(或补角)为异面直线AP与所成的角,因为为正三角形,所以当点P与线段B1C的端点重合时,异面直线AP与所成的角取得最小值60°,当点P与线段的中点重合时,异面直线AP与所成的角取得最大值90°,因为当点P从线段的端点运动到线段的中点过程中,异面直线AP与所成的角的大小变化是连续的,所以异面直线AP与所成的角可以为75°,所以C选项正确;对于D选项,设点P到平面的距离为,由B知,得,要使最小,则最大,又,当最小时,最大,当点P在线段的中点时,最小为,所以的最大值为,所以的最小值为,所以D选项正确.故选:ACD.三、填空题13.已知函数是奇函数,则__________.【答案】【分析】根据奇函数的定义得出,代入化简得出,即可得出答案.【详解】因为,故,因为为奇函数,故,即,故.故答案为:.14.已知椭圆的上、下顶点分别为,左顶点为,若,则椭圆的离心率为__________.【答案】##【分析】由得关系,变形后可求得离心率.【详解】根据题意,所以离心率.故答案为:.15.函数的最小值为__________.【答案】0【分析】讨论的值,由导数得出最值.【详解】当时,,当时,,当时,单调递减;当时,单调递增,所以.故答案为:四、双空题16.如图所示,一个平面内任意两两相交但不重合的若干条直线,直线的条数与这些直线将平面所划分的区域个数满足如下关系:1条直线至多可划分的平面区域个数为2;2条直线至多可划分的平面区域个数为;3条直线至多可划分的平面区域个数为7;4条直线至多可划分的平面区域个数为11;一般的,条直线至多可划分的平面区域个数为__________;在一个平面内,对于任意两两相交但不重合的若干个圆,类比上述研究过程,可归纳出:个圆至多可划分的平面区域个数为__________.【答案】
【分析】根据当直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时,可划分的平面区域个数最多,设条直线可划分的平面区域个数为,推导出,利用累加法求得;利用类比的方法可求得个圆至多可划分的平面区域个数.【详解】当这些直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时,可划分的平面区域个数最多,设这样的条直线可划分的平面区域个数为,已知,当时,因为第条直线与前条直线至多新增个交点,且新增的这个交点均在上,按沿的方向向量方向排布将这个交点依次记为,,对于线段,且,和以和为端点且不经过的两条射线,均能将前条直线所划分的区域一分为二,故将新增个区域,故,故,故条直线至多将平面划分的区域个数为;同理,当这些圆两两相交,且任意三个圆均不交于同一点时,可划分的平面区域个数最多,设这样的个圆可划分的平面区域个数为,已知,当时,因为第个圆与前个圆至多新增2个交点,且新增的这个交点均在上,按沿的逆时针方向排布将这个交点依次记为,对于弧,且,和弧,每一段弧均能将前1个圆所划分的区域一分为二,故将新增个区域,故有,故,故个圆至多可划分的平面区域个数为.故答案为:.【点睛】关键点点睛:确定当直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时,可划分的平面区域个数最多,设这样的条直线可划分的平面区域个数为,关键点就是要推导出当增加一条直线时新增的区域个数,从而得到.五、解答题17.设数列满足.(1)求的通项公式;(2)若数列满足:,求数列的通项公式.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据题意,利用累加法和等比数列前n项求和公式计算即可求解;(2)当时,当时,,与题意中的相减可得,结合(1)即可求解.【详解】(1)因为,所以,由累加法,得,所以,当时也适合上式,所以.(2)①,当时,,所以,当时,②,①-②,得.又,经验证时也成立,故.18.足球比赛是一项深受球迷喜爱的运动项目.第22届足球世界杯在卡塔尔举行,这是历史上第一次在冬季举行的世界杯,为了解人们收看世界杯的意愿,随机对80个用户(其中女40人)进行问卷调查,得到如下列联表:男生女生合计有收看意愿无收看意愿1030合计40(1)补充上面的列联表,依据小概率值的独立性检验,能否认为“有收看意愿”与“性别”有关;(2)在无收看意愿的30人中,按性别用分层抽样的方法随机抽取6人,再从选出的这6人中随机抽取3人,记这3人中男生的人数为,求的分布列和数学期望.附:,其中.【答案】(1)列联表见解析,“有收看意愿”与“性别”无关(2)分布列见解析,数学期望为【分析】(1)填写列联表,由独立性检验的计算公式计算出结果,可推断是否有关;(2)分层抽样抽取的这6个人中男生有2人,女生有4人,由超几何分布公式计算概率,可求出分布列和期望.【详解】(1)男生女生合计有收看意愿302050无收看意愿102030合计404080零假设:“有收看意愿”与“性别”无关,由.依据小概率值的独立性检验,没有充分证据推断不成立,因此可以认为成立,即“有收看意愿”与“性别”无关.(2)无收看意愿的30人,男生人数与女生人数比为,所以用分层抽样抽取的这6个人中男生有2人,女生有4人,可得的可能取值为,有,,,故随机变量的分布列为012有.19.中,内角的对边分别为的外接圆半径为,已知.(1)求;(2)已知的平分线交于点,从以下三个条件中选择两个,使唯一确定,并求和的长度.条件①:;条件②:;条件③:.【答案】(1)(2)选择条件②和③;,【分析】(1)利用正弦定理得,可求出,再根据的范围可得答案;(2)由余弦定理得,条件①中,所以,显然不符合题意,由条件②,条件③解得,由余弦定理可得,利用为的平分线得,再由余弦定理可得答案.【详解】(1)由已知得,得,即,即,又因为,故;(2)由(1)得中,由余弦定理得,所以,而条件①中,所以,显然不符合题意,即条件①错误,由条件②,条件③,解得,由余弦定理可得,所以,所以,在中,因为为的平分线,所以,又因为,所以,在中,,所以.20.如图1,在梯形中,,于,且,将梯形沿折叠成如图2所示的几何体,,为直线上一点,且于,为线段的中点,连接,.(1)证明:;(2)若图1中,,求当四棱锥的体积最大时,平面与平面所成锐角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据线面垂直即可证明线线垂直,(2)根据体积公式表达出体积,利用导数求解最值,进而根据空间向量求解面面角.【详解】(1)由已知得,,且,平面,所以平面,因为平面,所以,在梯形中,,因为为线段的中点,所以,故,又因为,且,平面,所以平面,因为平面,所以.(2)过点作于点,又因为平面,平面,所以,又,平面,所以平面,所以线段的长度为点到平面的距离.设,则,则四棱锥的体积,令,,,则时,,函数单调递增;时,,函数单调递减,所以,即当时,四棱锥的体积最大,此时,,以点为坐标原点,直线,分别为轴、轴,在平面内过点作与垂直的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,则,,,设平面的法向量,则有,可取,因为平面,所以即为平面的一个法向量,则,故,所以平面与平面所成锐角的正弦值为.21.已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于两点,抛物线准线与轴交于点.(1)请写出满足的点的一组坐标;(2)证明:;(3)若将过焦点改为过点的直线与抛物线交于两点,在轴上是否存在点,使得,不需要说明理由,若存在写出点坐标.【答案】(1),(2)证明见解析(3)存在,【分析】(1)由题意可得当直线AB的方程为时满足,此时,;(2)由题意可得直线斜率存在且不为0,设直线,,,联立方程理由韦达定理得出,,则计算得出,即可证明;(3)存在,使得成立,理由如小问2.【详解】(1)由题意可知:,,若当直线AB
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