2022人教版数学一轮复习1几何概型教案

几何概型【考纲要求】1、了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2、了解几何概型的意义.【基础知识】1、几何概型（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。（2）特点：①结果的无限性②每个结果发生的等可能性（3）几何概型的解题步骤首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式。2、求事件的概率计算概率首先是读题审题，然后是概率定性（六大概型：古典、几何、互斥、独立、独立重复试验、条件），再代公式。3、温馨提示求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答。一般与线性规划知识有联系。【例题精讲】例1在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)＝eq\f(1,2)x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为________．解析：f′(x)＝eq\f(3,2)x2＋a，故f(x)在x∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f(x)＝eq\f(1,2)x3＋ax－b在[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f(－1)·f(1)<0成立，即(－eq\f(1,2)－a－b)(eq\f(1,2)＋a－b)<0，则(eq\f(1,2)＋a＋b)(eq\f(1,2)＋a－b)>0，可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤1,0≤b≤1,\f(1,2)＋a－b>0,\f(1,2)＋a＋b>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤1,0≤b≤1,\f(1,2)＋a－b<0，,\f(1,2)＋a＋b<0))由线性规划知识在平面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f(x)＝eq\f(1,2)x3＋ax－b在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a＝0，a＝1，b＝0，b＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为eq\f(7,8).例2将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a(eq\f(1,3)≤a≤1)的概率．解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为1－x－y，则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω＝{(x，y)|0＜x＜1,0＜y＜1,0＜x＋y＜1}，此区域面积为eq\f(1,2).事件“三段的长度都不超过a(eq\f(1,3)≤a≤1)”所对应的几何区域可表示为A＝{(x，y)|(x，y)∈Ω，x＜a，y＜a,1－x－y＜a}．即图中六边形区域，此区域面积：当eq\f(1,3)≤a≤eq\f(1,2)时，为(3a－1)2/2，此时事件“三段的长度都不超过a(eq\f(1,3)≤a≤1)”的概率为P＝eq\f((3a－1)2/2,1/2)＝(3a－1)2；当eq\f(1,2)≤a≤1时，为eq\f(1,2)－eq\f(3(1－a)2,2).此时事件“三段的长度都不超过a(eq\f(1,3)≤a≤1)”的概率为P＝1－3(1－a)2.几何概型强化训练【基础精练】1.如图所示，在一个边长分别为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分别为eq\f(a,3)，eq\f(a,2)，且高为b.现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是()\f(7,10)\f(5,7)\f(5,12)\f(5,8)2.如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为()\f(1,2)\f(\r(3),2)\f(1,3)\f(1,4)3．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为()\f(1,16)\f(1,8)\f(1,4)\f(1,2)4．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于eq\f(1,2)的概率为()\f(1,4)\f(1,2)C.eq\f(3,4)\f(7,8)5.如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为()\f(23,5)\f(21,5)\f(19,5)\f(16,5)6.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为45°，向圆盘内投镖，如果某人每次都投入圆盘内，那么他投中阴影部分的概率为()\f(1,8)\f(1,4)\f(1,2)\f(3,4)7．已知平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．8．向面积为9的△ABC内任投一点P，那么△PBC的面积小于3的概率是__________．9．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为eq\f(9,10)，那么该台每小时约有________分钟的广告．10．设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤6，,0≤y≤6.))表示的区域为A，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤6，,x－y≥0.))表示的区域为B.(1)在区域A中任取一点(x，y)，求点(x，y)∈B的概率；(2)若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x，y)在区域B中的概率．11．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x≥0，,y≥0))所表示的平面区域内的概率．【拓展提高】已知关于x的一次函数y＝mx＋n.(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；(2)实数m，n满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0,－1≤m≤1,－1≤n≤1))，求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率．【基础精练参考答案】[【解析】：S梯形＝eq\f(1,2)(eq\f(a,3)＋eq\f(a,2))·b＝eq\f(5,12)ab，S矩形＝ab.∴P＝eq\f(S梯形,S矩形)＝eq\f(5,12).【解析】：当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′=，由圆的对称性及几何概型得P=【解析】：正方形的面积介于36cm2与81cm2之间，所以正方形的边长介于6cm到9cm之间．线段AB的长度为12cm，则所求概率为eq\f(9－6,12)＝eq\f(1,4).【解析】：设任取两点所表示的数分别为x，y，则0≤x≤1且0≤y≤1.由题意知|x-y|＜，所以所求概率为P=【解析】：据题意知：eq\f(S阴,S矩)＝eq\f(S阴,2×5)＝eq\f(138,300)，∴S阴＝eq\f(23,5).【解析】：P＝eq\f(45,360)＝eq\f(1,8).7.解析】：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如图)，由图可知SU=18，SA=4，则点P落入区域A的概率为.8.【解析】：如图，由题意，△PBC的面积小于3，则点P应落在梯形BCED内，∵，∴S△ADE=4，∴S梯形BCED=5，∴P=.【解析】：60×(1－eq\f(9,10))＝6分钟．10.解：(1)设集合A中的点(x，y)∈B为事件M，区域A的面积为S1＝36，区域B的面积为S2＝18，∴P(M)＝eq\f(S2,S1)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2).(2)设点(x，y)在集合B中为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数的结果为36个，其中在集合B中的点有21个，故P(N)＝eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).11.解：(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)|eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0≤x≤3,0≤y≤4))内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为{(x，y)|其图形如图中的三角形