同济第六版《高等数学》教案-第09章重积分

高等数学教案

重积分第九章

重积分教目：1.理解二积分三重积分的概解重积分的性质道二重积分的中值定理2.掌握二重积的（直角坐标、极坐标）计算方。3.掌握计算三积分的（直角坐标、柱面坐标、面坐标）计算方法。8、会用重积分求一些何量与物理量（平面图形的面、体积、重心、转动惯量、引力等教重：1、二积分的计算（直角坐标极坐标2、三积分的（直角坐标、柱坐标、球面坐标）计算。3、二、三重积分的几应用及物理应用。教难：、利用极标计算二重积分；、利用球标计算三重积分；、物理应中的引力问题。§9二积的概与质二概1顶柱体体积设有一立体的底是面上的区域D的面是以D的界曲线为准而母线平行于轴柱的是曲面x里(且上续种立体叫做曲顶柱体在们来讨论如何计算曲顶柱体的体首一组曲线网把D分n个小域1n分别以这些小闭域的边界曲线为准母平行于z轴的柱面柱面把原来的曲顶柱体分为细曲顶柱每任取一点f(iiiii高而底为平顶体的体积为if(iiii这个平顶柱体体之和V

n

f(ii

i

i内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

ii高ii

重积分可以认为是整个顶柱体体积的近似值求曲柱体体积的精确值分加密需取极Vlimii

i

其中是个小区域直径中的最大值2面薄片质设有一平面薄片有面上的闭区域在(的面密度为)且D上连续要计算该薄片的质量M用一组曲线网把D分成n个区域1n把各小块的质量似地看作均匀薄片的质iii各小块质量的和为平面薄片的质量的近似M

nii

i

i将分割加细极限到面片的质量Mii

i

其中是个小区域直径中的最大值定义设f有界闭区域D上有界函数闭域D任意分小闭区域1n其中示第i个区域表它面每任取一点iiiif(iii

i

如果当各小闭区的直径中的最大值趋零和极限总存在此极限为函数f(在区域上二重积分作

f(,y)d

D内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

高等数学教案

重积分D

f(,y)

lim

i

f(ii

i

f(被函表达分变量积区域分和直角坐标系中的积元如果在直角坐标中用平行于坐标轴的直线网来分D么除了包含边界点的一些小闭区域外余小闭区域都是矩形闭区域矩形区域的边长为和iii坐标系时也把积元素d记把重积分记作iiiD其中dxdy叫做直角坐标系中的积元二重积分的存在f(x)在闭区域D上连续时分和的极限是存在

也就是说函数fx在D上二重积分必定存们假定函数f(在区域D上连以f(在上二重积分都是存在二重积分的几何果f函可解释为曲顶柱体的在(处的竖坐标以重积分的几何意义就是柱体体积果()是负体就在xOy面的下重积分的绝对值仍等于柱体的二重积分的是负二二积分的性质性质设c、为常数1y)(,y

f(,y)d

(x,)

D性质如闭区域被限曲线分有限个部分闭区在D的二重积分等于在各部分闭区域的二重积分的如D分为个闭区域D与12

f(y)

f(xy)

fy)

DD

D性质

d

(

为D的面积)D性质如果Dx有不等式

f(,y)d

(x,)

D特殊地有内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

b(x)b(x)[

重积分

f(,y)d

(x,

D性质设分是(在区域D上最大值和最小

为D的有D

性质二重积分的中值定理)设数f(在闭域D上续的积D上至少存在一(D

f(x,y)d

2二积的算法一利直坐标算重积D

)1YD

()1混合型区域设(xD()1此时二重积分在何上表示以曲面xD柱体的体积

为区D为底的曲顶对于a]0

曲顶柱体在x的截面面积为以区间[()x)]底、以曲线010x曲边的曲边梯以截面的面积为0(x)

(x)x)

f()dy

根据平行截面面为已知的立体体积的方曲柱体体积为

A(

f,y)dydx

a

()即

D

fy)d

()(x

fy)]dx

可记为内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

(xdy[]xx4x21dxxdx(xdy[]xx4x21dxxdxy](fy))D

f(y)dy

重积分类似地果域D为D

()12则有

f(y

(y

f(y)

D

()例算

中D是由直线及所成闭区D解出区D方法一

可把看成是D

xydy]dx

12

(

dx[]24

注分可以写成

xyd

x2x

ydy

D

解法可D看是YD

xyd

y

xydx]dy

[]

dy

3(2y)dy

8

例算

y12

中D是直线yx所成的闭解画出区域D把D看成是D

y

2

x

y

2

)1

(|x3

230

3

dx

12

也可D看是内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

2dxdx22y1[y]2dxdx22y1[y]222216

重积分D

2

2

例计

xyd

中D是直线y抛线所成的闭区域D解积分域可以表示为D+D12其中

:x

12x

是

1x

xydy

4

D

0

1

x积分区域也可以示为yD

[]2y

[(y]dy2y54讨论积分次序的

例求个底圆半径都等于直交圆柱面所围成的立体的体解设这两个圆面的方程分别为利用立体关于坐平面的对称要出它在第一卦限部分的体积V后乘以8就1行了第一卦限部分是

,

2

顶的曲顶柱于是D

d0

2dy[y]

dx

(R

dx3

二利用坐标算重分有些二重积分区域的界曲线用极标方程来表示比较方被积数用极坐标变量、达比较简单

这时我们就可以虑利用极坐标来计算二重积分内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

1i1i1id高等数学教案1i1i1id

重积分f(,y)dD按二重积分的定

f(xdfiii

i

下面我们来研究个和的极限在极坐标系中的形以从极点出发的一族射线及极点为中心的一族同心圆构成的将区域D分个小闭区域闭域的面积(2

ii

2

i

2

iiii

i

ii

i

i

iii

其中表相邻两圆弧的半径的平i在点i

(

)ii

其角坐标(ii则有

iiiiii

于是

lim

nffiiiiiiiiiiii

即

f(,y)d

f(

o

i

D若积分区域

D

可表示为(12

则

f

sin

f

D讨积分限

f(

f(

D

D

f

sin

d

f(

例5算

dxdy

其中D是中心在原点、半径为a的周所围成的闭区D内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

2a21)e222222R2a21)e222222R22222域解在极坐标系区域D表示为0

重积分于是

D

dxdy

D

000

[e2

]0

120

注处积

e

dxdy

也常写成

e

dxdy

D

x

利用

e

dxdy

(1

)

计算广义积分

2dx

x

设x1D2显然于12

则这些闭区域上的二重积分之间有等式

dxdy

dxdy

dxdy

D

S

D因为

e

e

又应用上面已得结果有

dxdy)

dxdy)

D

D于是上面的不等可写成

4

(1)

0

edx)24

)

令R趋同一极限

4

而

dx

2

例6求体x

2

被圆柱面

ax所截得的（含在圆柱面内部分）立体的体积解由对称体体积为第一卦限部的四内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

2(13a(2(13a()i

重积分

a

D其中为半周

2

及轴所围成的闭区在极坐标系中D可示为0

0

2

于是

4a

2

2

2acos

4a

2

D

02233

三积一三积的概定义设f间界闭区的有界函数意分成n个小闭域1n其中表第i个闭区表示的体每上任取一点(iiiiii

i

)(iii

f(iiii

果各小闭区域的直径中的最大值i趋于零这和的极限总存在则称此极限为函数f在闭区的重积作

f(,y,z)dv

即

(,y,)lim(iiii

三重积分中的有术

——积分

f(被函f(——被积表达体元素分—积分域在直角坐标系中果用平行于坐标面的平来划分此也把iiii体积元素记为dxdydz重分记作内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

[by([by()z(xy)

重积分

f(,y,z)

f,y,z)

当函数f(区域连限

i

fiiii

是存在因此f(三重积分是在后也总假定f(区是续三重积分的性二重积分类似比如gx,y,z)]2

f(,y,z)

(x,y,zdv

f(y,zdv

中为域体二、三重积分的算1用直角标计算三重积分三重积分的计重积分也可化为三次积分来计空间闭表xx()()121则

f(xyzdv

(,y)

f(yz]d

D

(x,y

by(x(

fxyz)]a

y(x)

(xy)dy

f(x,)dz

a

y(x

(y即

f(yzdv

dx

()

dy

(,y)

f(yz

(x)

(x,y)其中:()()域xOy面的投影区12提示设空间闭区表为xx()()121计算yz)基本思内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

y(x[y()y(x[y()(x,)11对于平面区域D

重积分()()任一点fx作函区1间[(x1

()]上对积分到一个二元函数F2(,y)

(,y)

f,y)dz

(y然后计算F闭区域D上二积就成了f间闭区域的重积分

F(x

z(x,y)

f(yzdz]d

[

(x,y)

f(,,z]dy

D

z(xy)

y(x

(x,y)则

f(yzdv

z(,y)

f(yzdz]

z(x)Dy(xz(yy(x(x,y

f(,,z]dydy

f(xy,)

y(x

()即

f(yzdv

(x

z(,y

f(yzdz

(x

z(x)其中:()()域xOy面的投影区12例计三重积分

中三坐标面及平面围的闭区域解作域表示为0

(1

于是

xdz

0

2(1y

040

0(x

148

讨它类型区域?有时们计算一个三重积分也可以化为先计一个二重积分、再计算一个积分设空间闭区x}是坐为z的平面截空间闭区2z内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

22czc22222czc2222222所得到的一个平闭区有

重积分

f,y,z)dv

c

dz

f,y,z)

例计算三重积分

cD

中由椭球面

b2c

所围成的空间闭区域解空间域表:y2b2c2

于是

z

dxdydz

z

D

(1)z2dz3c2

练习1三重积

I,zdxdydz

化为三次积中(1)由曲面z

围成的闭区(2)双曲抛物面平面x闭区(3)其由曲面z

及z

所围成的闭区2三积分

I

f(,y,z)

化为先进行二重分再进行定积分的形式

其中曲围成闭区域2用柱面标计算三重积分设M空间一点设M在xOy面的投影P的极坐标为P(

这样的三个数就做点的面坐里定z的化范围0坐标面000点M的直角标与柱面坐标的关系

柱面坐标系中的积元简单来内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

222412222412[8]22柱面坐标系中的重积

重积分

f(x,y,z)dxdydz

f(

)

例利柱面坐标计算三重积分围成的闭区解闭区表示为

中由曲面z与平z所于是

zdxdydz

0

zdz

d2

)d16423

3用球面标计算三重积分设M间内一点点M也可这样三个有次序的数r确中r为点与M间距

为

OM

与轴向所夹的

从正z轴来看自轴逆时针方向转到有线段

P

的角里为点M在面的投样三数r、叫点M球面坐标里r、变化范围为0坐标面r0

0

0点

M

的直角坐标与球坐标的关sin

sin球面坐标系中的积元球面坐标系中的重积

dvsin

f(,y,z)dvcossinr

例求径为球面与半顶角为的内接锥面围成的立体的体解该立所占区表示0内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

222222222222于是所求立体的积为

重积分V

2cos

r

0

sin

2acos

r

16

3

0

ia)3

提示面的方为球面坐标下此球面方程为rrcos§9重积的用元法推有许多求总量的题可以用定积分的元素法来处种元素法也可推广到二重积分的应用中果要计算的某个量U对闭区域具可加性就是说闭区域D分许多小闭区域求量U相地分成多部分U等部分量之和)且闭区域D内取一个直径很小的闭区应部分量可近地表示为fx的中在d称f(为求量U的素为dU为被积表达式闭域D上分UD

这就是所求量的分表达一、曲面的面积设曲面由方程为面在xOy面上的投影区域数fx在D上具有连续偏导数ff(求面的面积y在区域内取一点P(在区域D内一包含点(的闭区域d也记为dS点(x处曲面的平面T做小区域d边曲线为准线、母线行于z轴的柱面含柱面内的小块切平面的面作为含于柱面内的小块曲面面积的似为dA设切平的法向量与z所成的角为

f

2xy)fxy

()d

这就是曲面的积元内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

))))222222于是曲面的面为

重积分A

(,)

(,)d

或

A

1)2dd

D设为面上点的面积元素在面的投影为小闭区域d面上的投影为点Px曲面上点处法量为dA1

2x

(,y

2y

(,yd

提示与xOy的夹角为(n)n)讨曲面方程为xy曲的面积如何求？A

D

或

A

))2dzdx

D

其中是面在面上投影区域yz例求径为R的的表面

D是曲在面的投影区zx解上半面方程为

zR

2

2

2因为对和对y的偏数在D上界以上半球面面积不直接求此先求在区域D(a上的部分球面面后取极限1x

R

2

R

2

2

dxdy

22

RRR

2

2

)

于是上半球面面为

limRR

2

2

)

2

整个球面面积为提示

a1内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

1)R222))21)R222))222d)

重积分22

R

2

2

R

R

解球面面积为半球面面积的两倍上半球面的方程z

2

2

2

22

R

2

2

所以

A

1)2)

2

x

x

R22

dxdyR02

2

R0

2

例2设有颗地球同步轨道通卫地面的高度h36000km行角速度与地球自转的角速相同计该通讯卫星的覆盖面积地球表面积的比值(地球径R解取地为坐标原点心到通讯卫星中心的连线为z立坐标通讯卫星覆盖的半面半顶角锥所截得的部分zR

2

2

sin于是通讯卫星的盖面积为A

D

D

其中xsin是曲面xOy面的投影区利用极坐标A

2Rsin0

R

R

R

由于

cos

RR

入式得A

RR

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高等数学教案由此得这颗通讯星的覆盖面积与地球表面积之为

重积分h42()

6

由以上结果可知星覆盖了全球三分之一以上的面积使三颗相隔

角度的通讯卫星就可以盖几乎地球全部表面二、质心设有一平面薄有xOy面上的闭区域D点()处的面密度为)定D上续在要求该薄片的质坐在闭区域D上任取一点(包点Px一直径很小的闭域面也记为面片对轴对轴力(仅考虑大小)元素分别为平面薄片对x轴对轴力矩分别为Mx

My

DD设平面薄片的质坐标为

(,y

面片的质量为MM

x

于是x

MM

D

y

MM

D

DD在闭区域D上取包含P(的闭区域面也记为d平面薄片对x轴对轴力矩元素分别为平面薄片对x轴对轴力矩分别为Mx

,y)dMy

,y)d

DD设平面薄片的质坐标为

(,y

面片的质量为MM

x

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7高等数学教案7于是

重积分x

MM

D

y

MM

D

D

D提(处的面积元素d成是包含点的直径得小的闭区上任取一点P包含一直径很小的闭区d面积也记为面薄对轴对y轴的力矩仅考虑大元分别为讨果平面片是均匀的面度是常数平面薄片的质心称形)如求？求平面图形的形公式为

x

D

y

D

D例求于两

D和之的均匀薄片的质解因为区域对称于轴质心

C(x)

必位于轴上是

因为

yd

sin

4sin

D

d

2

D所以

y

D

求心是

(0,3

D类似地有间闭区域在(密为宽续)的物体的质心坐是

1M

(,y,z)dvy

1M

y

(,y,z)dvz

1M

(,y,z)dv

其中

(,y,z)

例求匀半球体的质内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

222a22d222a22d2sin2rrdr232222

重积分解取半体的对称轴为轴点取在球心设球半径为半球体所占空间闭区可表示为

2

显心在z轴上

z

3a

故质心为(0,

a8

)

提示

0

2

0

0

d00

3

0

a1a40000

三转惯设有一平面薄有面上的闭区域点(x处的面密度为定)在D上在求该薄对于x轴转惯量和y轴转动惯量在闭区域D上任取一点(包点Px一直径很小的闭域面也记为面片对于轴的转动惯量和y轴转动惯量的元素分别为dI

d整片平面薄片对x轴的动惯量和轴转动惯量分别为Ix

,y

Iy

D例求径为a的均半圆薄(面密度为常量于其直径边的转动惯解取坐系如图薄片所占闭区域可示为Dx而所求转动惯量半圆薄片对于轴转动惯量I内蒙古财经大学统与数学学院公共数学教研

4a22254a222522222

重积分Ix