求极限的几种方法

第第页求极限的几种方法摘要：极限一直是数学分析中的一个非常重要的内容,并且极限的思想方法也一直贯穿于整个数学分析的学习中.一些基本学分析的关键.而求极限的方法也是多种多样.在本文中,通过归纳与总结,罗列出几种在学习中常用的求极限的方法,并用具体实例加以说明.关键词：极限；不动点；洛必达法则；定积分；泰勒公式1引言极限是数学分析中最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的终极状态.极限也是研究数学分析的限存在,则考虑如何计算此极限.本文主要针对第二个问题展开论述,即在极限存在的情况下,如何求得极限.2极限的若干求法2.1利用不动点法求极限定理1[1]：设数列满足,,,且有两个互异的不动点和,则当且仅当,,时有.而当时,有.例1设数列满足，且,，其中，求极限.解令函数,由解得不动点,.又因为,所以.故由定理1得.2.2利用重要极限及其推广求极限2.2.1利用求极限当所给函数中含有恒等变形将函数化成或的形式,然后利用重要极限公式或它的变形形式求解.例2求极限.解2.2.2利用的推广求极限定理2[2]：设,在点(可以为无穷大)的某一邻域(点除外)内连续,且满足如下条件：(1),；(2)(为常数或无穷大),则有.例3求.解因为,,,所以由定理2得.2.2.3利用求极限当极限形式中含有三角函数时,一般等变换,然后利用重要极限来求解.例4求极限.解注利用这两个重要极限及其推广来求函数的极限时要仔细观察所给函数的形式,只有形式符合或经过恒等变形后符合我们经常使用的变形：2.3利用极限的四则运算法则求极限函数和数列都有相应的极限四则运算法则,下面以函数极限的四则运算法则为例来进行说明.定理3(函数极限的四则运算法则)[3]：若极限和都存在则函数，当时极限也存在,且(1)；(2)；又若,则当时极限存在,且有(3).注上述性质对于仍成立.例5求极限.解而,,故由极限的四则运算法则可得.例6求极限.解注通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算.首先要对函数施行各种恒等变形.例如分子、穷多项的和(或积)为有限项.2.4利用导数的定义求极限定义1(导数的定义)[3]：函数在的某领域内有定义,若极限存在,则称函数在点处可导.并称该极限为函数在点处的导数,记作.例7设在处的导数,求极限.解注在运用此方法的过程中,首先要选好.然后把所求极限表示成与在定点的导数有关的形式.2.5利用单侧极限与极限的关系求极限例8设，讨论在点处的极限是否存在.解因为,,显然.故在处的极限存在且.注这种方法适用于求分段函数在分断点处的极限,首先必须考虑分段点的左右极限,如果左、右极限都存在且相等,则函数在分段点处的极限存在.否则,极限不存在.2.6利用初等函数的连续性求极限(1)任何初等函数在其定义区间上都是连续函数；(2)若在处连续,则.例9求极限.解因为在初等函数的定义域内,故由函数的连续性得.注这种方法适用于求函数在连续点处的极限.2.7利用拆项法求极限例10求.解由于,因此可得注此方法主要应用于求数列各项和的极限.其中数列必须满足其各项通过拆项后能够相互抵消,以此来简便求极限运算的条件.2.8利用泰勒展开式求极限[4]若函数在点的邻域内存在直至阶导数,那么可以运用具有佩亚诺余项的泰勒公式来表示(1)其中.称为佩亚诺余项,(1)式称为具有佩亚诺余项的泰勒公式.例11求.解在这里可用泰勒公式求解,考虑利用泰勒公式,当有.于是注在计算过程中,要注意高阶无穷小的运算及处理.2.9利用定积分的定义求极限定积分也可以称为和式的极限.即.这里定积分的值与区间分法无关,与的取法也无关.关键是确定三个量.所以利用定积分定义求和式的极限分)的积分和式的极限.然后利用定积分的定义求得积分和的极限.例12计算极限.解由于因此令,,它是等分区间,取区间的右端点构成的积分和.易知函数在可积.于是由定积分的定义可知:.即2.10利用无穷小量的性质求极限定理4(无穷小量的性质)：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量.即如果,在的某一邻域内有界,那么.例13求.解因为有界,且，所以由无穷小量时的无穷小量.则有.注运用定理4来求函数极限,要求所给函数可以分解为两个函数的积,其中一个函数极限为0,另一个函数只要求有界,对其极限并无要求.2.11利用等价无穷小量代换求极限在求乘除表达式的极限时,巧妙运用等价无穷小代换,可以简化计算并求出相应的极限值.定义2(等价无穷小量的定义)[3]：若,则称与是时的等价无穷小量,记作.定理5[3]：设函数在内有定义，且有.(1)若,则；(2)若,则.例14求.解因为当时,有，故有.注(1)由上例可以看出,欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量,当时,常用的等价无穷小代换有:，，，，，，等.(2)等价无穷小代换只能在乘积和商中进行,不能在加减运算中代换,否则会导致错误.2.12利用级数收敛的必要条件求极限定理6(级数收敛的必要条件)[3]：若级数收敛,则.例15求.解设，则由比式判别法可知收敛.则由定理6可知.注此方法主要应用于对级数通项求极限,首先判定级数收敛，然后利用此必要条件求出它通项的极限.2.13利用洛必达法则求不定式极限在不定式极限中,型与型是基本的不定式形式,可以直接使用洛比达法则进行求解.2.13.1型不定式极限对于型不定式极限,可根据以下定理来求出函数的极限.定理7[3]：若函数和函数满足：(1)；(2)在点,且；(3)(可为实数,也可为或),则.例16求.解2.13.2型不定式极限对于型不定式极限,可根据以下定理来求出函数的极限.定理8[3]：若函数和函数满足：(1)；(2)在的某右邻域内两者都可导,且；(3)(可为实数，也可为,),则.例17求.解2.13.3其它类型不定式极限不定式极限还有，,，，等类型.这些类型必须经过变换化为型或型的不定式极限,然后才能利用洛必达法则来求极限.例18求.解这是类型的不定式极限,首先我们对它作恒等变形.其指数部分,可先求得.从而有.注(1)要注意条件,在所求极限没有化为或的形式时不可使用洛必达法则.(2)应用洛必达法则,否则会引起错误.(4)当不存在时,洛必达法则失效,但并不能说极限不存在,此时要用其它的方法求函数的极限.2.14利用换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时,可采用换元法对其进行恒等变形,使函数形式简化容易求出极限.例19求解令,则有.故2.15利用极限定义求极限2.15.1利用函数极限的定义定义3(函数极限的定义)[3]：设函数在点的某个空心领域内有定义,为定数.若对任给的,存在正数为极限.例20用极限定义证明.证明因为所以,对,取,当时,就有.由函数极限的定义可得：.2.15.2利用数列极限的定义定义4(数列极限的定义)[3]：设为数列,为定数.若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有,则称数列收敛于,定数称为数列的极限.例21证明.证明由于的,故当时,(2)式成立.由数列极限的定义有：.注(1)在数列极限的定义中N不一定限于正整数,而只要它是正数即可.(2)此方法通常应用于极限已知用于证明的情况.2.16利用中值定理求极限2.16.1微分中值定理定理9(拉格朗日中值定理)：若函数满足(1)在闭区间上连续；(2)在内可导；则在内至少存在一点,使得.此式也可变形为:.例22求.解令,则由中值定理可得:.从而有.因为连续,所以.从而有=1.2.16.2积分中值定理定理10(积分第一中值定理)[3]：若在上连续,则至少存在一点,使得.例23求极限.解由积分第一中值定理可得:.注这种方法适用于所求极限中含有积分的形式,运用积分定理将含有积分的形式化为一般形式再求极限.2.17利用两个准则求极限2.17.1利用极限的迫敛性[3]2.17.1.1数列的迫敛性设收敛数列,都以为极限,数列满足：存在正数,当时有,则数列收敛,且.2.17.1.2函数的迫敛性设,且在某内有.则.例24求的极限.解因为,故由数列的迫敛性可得.例25求.解因为,所以当时,有故由迫敛性可得.注利用极限的迫敛性求极限,通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列或函数,使得或.然后利用它们的极限和夹逼定理来得到所要求得的结果.2.17.2利用单调有界准则[5]定理11(单调有界准则)：单调有界数列必有极限，且极限就是数列的上确界或下确界.例26证明下列数列的极限存在，并求其极限.证明从这个数列的构造来看显然是单调递增的，而且,,,所以得数列的通项为则有.因此数列有上界，故由单调有界准则可知，数列的极限存在.假设,在递推公式两端同时取极限，可得.由此解得.因此有.注利用“单调有界准则”讨论递推数列极限问题通常分为两个步骤,首先,讨论数列极限是否存在,这是问题的关键；当判定数列极限存在时,然后根据数列的通项递推公式求出极限.3小结本文主要归纳了数学分析中求极限的一些常用方法.而这些方法也只是众多求解极限方法的一小部分,可见求极联系,才能在求极限的过程中游刃有余,并且要想熟练掌握求极限的各种方法,必须通过大量的练习,在练习中体会.参考文献[1]郑华盛.非线性递推数列极限的不动点解法[J].高等数学研究,2012,15(5):1-2.[2]甘媛.幂指函数极限的推广及应用[J].安徽电子信息职业技术学院学报,2011,10(6):45-46.[3]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[4]李小光.求极限的若干技巧[J].西安航空技术高等专科学校学报,2002,20(1):42-43.[5]于邵权,李宏伟.递推数列极限的一种求法[J].高等数学研究,2011,14(5):47-48.SomeMethodsofSolvingLimitationPangDandan(SchoolofMathematicsandStatistics,AnyangNormalUniversity,Anyang,HenanAbstract:limitationhasbeenaveryimportantcontentinmathematicalanalysis,andthethoughtmethodofthelimitationhasbeenthroughoutthelearningofthemathematicalanalysis.Somebasicconceptssuchasdifferentialandintegraldefinitioncontactswithlimitationclosely.Thereforeitisthekeytodowellinmathematicalanalysistomasterthealgorithmofthelimitationexpertly.Butthe