2022-2023学年福建省福州一中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州一中九年级第一学期期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝3，DE＝2，EF＝4，则BC的长为（）A．4 B．5 C．6 D．83．关于x的一元二次方程x2+2021x+2022＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝63°，那么∠BOD的度数为（）A．63° B．126° C．116° D．117°5．下列说法错误的是（）A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为 B．不可能事件发生的概率为0 C．买一张彩票会中奖是随机事件 D．一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定会摸到红球6．已知二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n），则b的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣47．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）A．1+x2＝43 B．1+x+x2＝43 C．x+x2＝43 D．（1+x）2＝438．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A．2cm B．cm C．cm D．1cm9．已知点（x1，y1）和（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，如果x1＜x2，那么y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．无法判断10．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点，且过A（0，a），B（4，b）两点．若0＜m＜n＜3，则ab的取值范围为（）A．0＜ab＜6 B．0＜ab＜8 C．0＜ab＜12 D．0＜ab＜16二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11．平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．12．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，弧长约为π米，“弓”所在的圆的半径约1.25米，则“弓”所对的圆心角度数为．13．在一个不透明的袋子里，装有6枚白色球和若干枚黑色球，这些球除颜色外都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一枚球，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色球的频率稳定在0.2，由此估计袋子里黑色球的个数为．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边AB的中点D在⊙A．（填“内”、“上”或者“外”）15．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线AP，交BC于点E，连接DE，交AC于点F．若AB＝1，AC＝2，则DF的长为．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝6，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为．三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（1）解方程：x2+6x﹣1＝0．（2）解方程：x2﹣1＝3x．18．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：BH＝CD．19．已知关于x的方程x2﹣4x+m﹣3＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为满足条件的最大整数，则方程的解为．20．为了做好校园疫情防控工作，学校后勤每天对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间教室的药物喷洒要5min，药物喷洒时教室内空气中的药物浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系式为y＝2x（0≤x≤5），其图象为图中线段OA，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．（1）点A的坐标为；（2）当教室空气中的药物浓度不高于1.2mg/m3时，对人体健康无危害．如果后勤人员依次对一班至十班教室（共10间）进行药物喷洒消毒，当最后一间教室药物喷洒完成后，一班是否能让人进入教室？请通过计算说明．21．如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，∠C＝36°．（1）在线段BC上求作一点D，使得△ABC∽△DBA；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB＝2，求BC的值．22．为丰富“大课间”的体育锻炼，我校决定在初三学生中开设：A．实心球，B．篮球，C．tabata训练，D．仰卧起坐四种项目．为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：（1）在这项调查中，共调查了名学生，B项对应的扇形圆心角的度数是；（2）若喜欢“tabata训练”且基础较好的学生共有5名，其中有2名男生，3名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生领操．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到学生是一男一女的概率．23．如图，PA切⊙O于点A，PC交⊙O于C，D两点，且与直径AB交于点Q．（1）求证：AQ•BQ＝CQ•DQ；（2）若CQ＝2，QD＝3，BQ＝1.5，求线段PD的长．24．如图①，在正方形ABCD中，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，将△ABP沿直线AP翻折得到△AEP，点Q是CD的中点，连接BQ交AE于点F，若BQ∥PE．（1）求证：△ABF∽△BQC；（2）求证：BF＝FQ；（3）如图②，连接DE交BQ于点G，连接EC，GC，若FQ＝6，求△GBC的面积．25．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．

参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形；选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形；故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝3，DE＝2，EF＝4，则BC的长为（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，代入数据即可得到结果．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝3，DE＝2，EF＝4，∴＝，∴BC＝6．故选：C．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．3．关于x的一元二次方程x2+2021x+2022＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【分析】求出方程根的判别式的值，判断方程解的情况即可．解：关于x的一元二次方程x2+2021x+2022＝0，∵b2﹣4ac＝20212﹣4×1×2022＝20212﹣4×（2021+1）＝20212﹣4×2021﹣4＝2021×（2021﹣4）﹣4＝2021×2017﹣4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝63°，那么∠BOD的度数为（）A．63° B．126° C．116° D．117°【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．解：∵∠DCE＝63°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝117°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝63°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝126°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．5．下列说法错误的是（）A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为 B．不可能事件发生的概率为0 C．买一张彩票会中奖是随机事件 D．一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定会摸到红球【分析】根据列表法与树状图法，概率的意义，随机事件，必然事件，不可能事件的特点逐一判断即可．解：A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为，故A符合题意，B．不可能事件发生的概率为0，故B不符合题意，C．买一张彩票会中奖是随机事件，故C不符合题意，D．一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定会摸到红球，故D不符合题意，故选：A．【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率的意义，随机事件，熟练掌握列表法与树状图法求概率是解题的关键．6．已知二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n），则b的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，即﹣＝2，解得b＝4．解：∵抛物线经过点A（1，n）和点B（3，n），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2，即﹣＝2，解得b＝4，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）A．1+x2＝43 B．1+x+x2＝43 C．x+x2＝43 D．（1+x）2＝43【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．解：设每个支干长出x个小分支，根据题意列方程得：x2+x+1＝43．故选：B．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．8．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A．2cm B．cm C．cm D．1cm【分析】根据正六边形的内角度数可得出∠1＝30°，再通过解直角三角形即可得出a的值，进而可求出a的值，此题得解．解：∵正六边形的任一内角为120°，∴∠1＝30°（如图），∴a＝2cos∠1＝，∴a＝2．故选：A．【点评】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．9．已知点（x1，y1）和（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，如果x1＜x2，那么y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．无法判断【分析】分x1，x2同号和异号两种情况讨论．解：∵反比例函数y＝中k＝1，∴图象在第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，当x1，x2同号，即0＜x1＜x2或x1＜x2＜0，y1＞y2，当x1，x2异号时，即x2＞0＞x1，y1＜y2；故选：D．【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．10．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点，且过A（0，a），B（4，b）两点．若0＜m＜n＜3，则ab的取值范围为（）A．0＜ab＜6 B．0＜ab＜8 C．0＜ab＜12 D．0＜ab＜16【分析】先表示出b＝mn，a＝（3﹣m）（3﹣n），进而得ab＝mn（4﹣m）（4﹣n）＝（4m﹣m2）（4n﹣n2）＝[﹣（m﹣2）2+4][﹣（n﹣2）2+4]，再判断出0＜﹣（m﹣2）2+4≤4，0＜﹣（n﹣2）2+4≤4，即可得出结论．解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），所以可设交点式y＝（x﹣m）（x﹣n），分别代入（0，b），（4，a），∴ab＝mn（4﹣m）（4﹣n）＝（4m﹣m2）（4n﹣n2）＝[﹣（m﹣2）2+4][﹣（n﹣2）2+4]，∵0＜m＜n＜3，∴0＜﹣（m﹣2）2+4≤4，0＜﹣（n﹣2）2+4≤4，∵m＜n，∴ab不能取16，∴0＜ab＜16．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数与x轴的交点，完全平方的非负性，判断出a＝b以及抛物线与x轴只有一个交点时，ab最大这个分界点是解本题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11．平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，3）．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．解：点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．12．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，弧长约为π米，“弓”所在的圆的半径约1.25米，则“弓”所对的圆心角度数为90°．【分析】由弧长公式进行变形计算即可．解：设“弓”所对的圆心角度数为n°，∵弧长l＝，∴n＝＝＝90，即“弓”所对的圆心角度数为90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．13．在一个不透明的袋子里，装有6枚白色球和若干枚黑色球，这些球除颜色外都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一枚球，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色球的频率稳定在0.2，由此估计袋子里黑色球的个数为24．【分析】设袋子里黑色棋子的个数为x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．解：设袋子里黑色棋子的个数为x个，根据题意得：＝0.2，解得：x＝24，经检验：x＝24是分式方程的解，估计袋子里黑色棋子的个数为24个．故答案为：24．【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边AB的中点D在⊙A上．（填“内”、“上”或者“外”）【分析】先根据点D是斜边的中点得到AD的长，然后把AD的长与半径比较确定点D的位置．解：∵∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，∴AD＝＝＝2，∵⊙A半径为2，∴斜边AB的中点D在⊙A上，故答案是：上．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，用勾股定理可以求出直角三角形斜边的长，根据点D是AB的中点得到AD的长，然后把AD的长与半径比较可以确定点D的位置．15．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线AP，交BC于点E，连接DE，交AC于点F．若AB＝1，AC＝2，则DF的长为．【分析】连接BD交AC于O点，如图，根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，CD＝AB＝1，OA＝OB＝OC＝AC＝1，∠ABC＝90°，先证明△AOB为等边三角形得到∠BAC＝60°，再利用基本作图得AP平分∠BAC，所以∠BAE＝30°，接着计算出BC＝，BE＝，所以CE＝，DE＝，然后利用平行线分线段成比例定理得到＝，最后利用比例的性质可求出DF的长．解：连接BD交AC于O点，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，CD＝AB＝1，OA＝OB＝OC＝AC＝1，∠ABC＝90°，∴AB＝OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠BAC＝60°，由作法得AP平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝30°，在Rt△ABC中，BC＝＝，在Rt△ABE中，BE＝AB＝，∴CE＝﹣＝，在Rt△CDE中，DE＝＝＝，∵CE∥AD，∴＝，即＝＝，∴DF＝DE＝×＝．故答案为：．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和矩形的性质．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝6，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为．【分析】以BC为边构建出和△BPD相似的三角形，通过将CD边转化为其他边来求值．解：如图所示，以BC为底边向上作等腰△BQC，使∠BQC＝120°，连接PQ．由题意可得△BQC和△BPD均为顶角为120°的等腰三角形，可得，∠QBC＝∠PBD＝30°，∴∠QBC﹣∠QBD＝∠PBD﹣∠QBD，∴∠PBQ＝∠DBC，∴△PBQ∽△DBC，∴，∴当PQ⊥AC时，有PQ最小，即此时CD最小，如图所示，设OP′⊥AC，延长AQ与BC交K，此时QP'为QP的最小值，可得AK⊥BC，∵△BQC中，∠BQC＝120°，BC＝6，∴BK＝3，∠QBK＝30°，∴QK＝，∵AB＝AC＝3，KC＝3，∴AK＝＝6，∴AQ＝AK﹣QK＝5，∵∠AP'Q＝∠AKC＝90°，∠QAP'＝∠CAK，∴△AQP'∽△ACK，∴，∴，∴QP'＝，∴CD＝P′＝．【点评】本题考查的是瓜豆原理的知识点，重难点在于构造相似三角形的手拉手模型，属于难题．三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（1）解方程：x2+6x﹣1＝0．（2）解方程：x2﹣1＝3x．【分析】（1）利用配方法得到（x+3）2＝10，然后利用直接开平方法解方程；（2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．解：（1）x2+6x﹣1＝0，x2+6x＝1，x2+6x+9＝10，（x+3）2＝10，x+3＝±，所以x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；（2）x2﹣1＝3x，x2﹣3x﹣1＝0，a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了配方法．18．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：BH＝CD．【分析】由平行线的性质可得∠DEC＝∠BCH，再根据“AAS”可得△EDC≌△CHB，进而可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DEC＝∠BCH，∵∠D＝90°，BH⊥AC，∴∠D＝∠BHC，由旋转得，CE＝CB，在△EDC和△CHB中，，∴△EDC≌△CHB（AAS），∴BH＝CD．【点评】本题考查旋转的性质，根据“AAS”得到△EDC≌△CHB是解题关键．19．已知关于x的方程x2﹣4x+m﹣3＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为满足条件的最大整数，则方程的解为x1＝x2＝2．【分析】（1）计算根的判别式，由题意得关于m的不等式，求解即可；（2）根据m取最大整数，求得m＝1，解方程即可得到结论．解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+m﹣3＝0有实数根．∴Δ＝（﹣4）2﹣4（m﹣3）＝﹣4m+28≥0，解得：m≤7．（2）∵m取最大整数，∴m＝7，∴原方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，故答案为：x1＝x2＝2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．20．为了做好校园疫情防控工作，学校后勤每天对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间教室的药物喷洒要5min，药物喷洒时教室内空气中的药物浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系式为y＝2x（0≤x≤5），其图象为图中线段OA，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．（1）点A的坐标为（5，10）；（2）当教室空气中的药物浓度不高于1.2mg/m3时，对人体健康无危害．如果后勤人员依次对一班至十班教室（共10间）进行药物喷洒消毒，当最后一间教室药物喷洒完成后，一班是否能让人进入教室？请通过计算说明．【分析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，根据题意列方程组求解即可；（2）先根据一间教室的药物喷洒时间为5min和点A在y＝2x上求出点A的坐标（5，10），则反比例函数表达式为y＝，当x＝50时，y＝1＜12，即可求解．解：（1）一间教室的药物喷洒时间为5min，当x＝5时，y＝2x＝10，故点A（5，10）；故答案为：（5，10）；（2）设反比例函数表达式为：y＝，将点A的坐标代入上式并解得：k＝50，故反比例函数表达式为y＝，∵一间教室的药物喷洒时间为5min，∴10个房间需要50min，当x＝50时，y＝＝1＜1.2，故一班学生能安全进入教室．【点评】本题主要考查反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．21．如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，∠C＝36°．（1）在线段BC上求作一点D，使得△ABC∽△DBA；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB＝2，求BC的值．【分析】（1）以A为圆心，AB为半径画弧交BC于D即可；（2）由△ABC∽△DBA，得∠DAB＝∠C＝36°，则AD＝CD＝AB＝2，再根据△ABC∽△DBA，得，代入可得BD的方程，从而得出答案．解：（1）如图所示：（2）∵△ABC∽△DBA，∴∠DAB＝∠C＝36°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝72°，∴∠CAD＝∠DCA＝36°，∴AD＝CD，又∵∠BDA＝∠CAB＝72°，∴CD＝AD＝AB＝2∵△ABC∽△DBA，∴∴，∴DB2+2DB﹣4＝0，解得：DB＝﹣1（负值舍去），∴BC＝BD+CD＝+1．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，一元二次方程是解题，等腰三角形的性质与判定等知识，准确画出图形是解题的关键．22．为丰富“大课间”的体育锻炼，我校决定在初三学生中开设：A．实心球，B．篮球，C．tabata训练，D．仰卧起坐四种项目．为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：（1）在这项调查中，共调查了150名学生，B项对应的扇形圆心角的度数是108°；（2）若喜欢“tabata训练”且基础较好的学生共有5名，其中有2名男生，3名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生领操．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到学生是一男一女的概率．【分析】（1）由A项的人数除以所占百分比求出共调查的学生人数，即可解决问题；（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中刚好抽到学生是一男一女的结果有12种，再由概率公式求解即可．解：（1）在这项调查中，共调查的学生人数为：15÷10%＝150（名），则B项的人数为：150﹣15﹣60﹣30＝45（名），∴B项对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝108°，故答案为：150，108°；（2）画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中刚好抽到学生是一男一女的结果有12种，∴刚好抽到学生是一男一女的概率为＝．【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．如图，PA切⊙O于点A，PC交⊙O于C，D两点，且与直径AB交于点Q．（1）求证：AQ•BQ＝CQ•DQ；（2）若CQ＝2，QD＝3，BQ＝1.5，求线段PD的长．【分析】（1）证明△AQD∽△CQB，可得＝，从而AQ•BQ＝CQ•DQ；（2）连接BD、AC，由（1）得AQ•BQ＝CQ•DQ，有AQ＝＝＝4，证明△ADP∽△CAP，可得＝，AP2＝PD•CP，即得AP2＝PD•（PD+5），在Rt△APQ中，AP2＝（PD+3）2﹣42，故PD•（PD+5）＝（PD+3）2﹣42，即可解得PD＝7．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠QAD＝∠QCB，∵∠BQC＝∠AQD，∴△AQD∽△CQB，∴＝，∴AQ•BQ＝CQ•DQ；（2）解：连接BD、AC，如图：由（1）得AQ•BQ＝CQ•DQ，∴AQ＝＝＝4，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝90°，∵PA切⊙O于点A，∴∠BAP＝90°，即∠DAP+∠DAB＝90°，∴∠DAP＝∠ABD，∵＝，∴∠ABD＝∠ACD，∴∠DAP＝∠ACD，∵∠P＝∠P，∴△ADP∽△CAP，∴＝，∴AP2＝PD•CP，∴AP2＝PD•（CP+CD）＝PD•（PD+5），在Rt△APQ中，AP2+AQ2＝PQ2，∴AP2＝（PD+3）2﹣42，∴PD•（PD+5）＝（PD+3）2﹣42，解得PD＝7，答：线段PD的长为7．【点评】本题考查圆中的相似三角形性质与判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理与性质定理，熟练应用相似三角形对应边成比例解决问题．24．如图①，在正方形ABCD中，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，将△ABP沿直线AP翻折得到△AEP，点Q是CD的中点，连接BQ交AE于点F，若BQ∥PE．（1）求证：△ABF∽△BQC；（2）求证：BF＝FQ；（3）如图②，连接DE交BQ于点G，连接EC，GC，若FQ＝6，求△GBC的面积．【分析】（1）根据两角相等的两个三角形相似证明即可；（2）设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，利用相似三角形的性质求出BF，FQ（用a表示），可得结论；（3）建立平面直角坐标系，求出直线BQ，DE的解析式，构建方程组确定交点G的坐标，可得结论．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CQB，由翻折的性质可知，∠E＝∠ABC＝90°∵PE∥BQ，∴∠AFB＝∠E＝90°，∴△AFB∽△BCQ；（2）