《医药数理统计方法》题库

第二章随机事件与概率

例1从某鱼池中取100条鱼，做上记号后再放入该鱼池中。现从该池中任意捉来50条鱼，发

现其中有两条有记号，问池内大约有多少条鱼？

解：设池内大约有"条鱼，令

左｛从池中捉到有记号鱼｝

则从池中捉到有记号鱼的概率

P(A)=—

n

由统计概率的定义知，它近似于捉到有记号鱼的频率（⑷=2,即

50

-1-0-0«——2

n50

解之得h2500,故池内大约有2500条鱼。

例2口袋里有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求总值超过一角

的概率.

解一：令A=｛总值超过一甭｝,现将从10个硬币中任取5个的每种取法作为每个基本事件,

显然本例属于古典概型问题，可利用组合数来解决.所取5个硬币总值超过一角的情形，其币值

由大到小可根据其中有2个伍分、有1个伍分和没有伍分来考虑。则

尸⑶二I—。5

。252,

解二：本例也可以先计算其对立事件

无二｛总值不超过一角｝

考察5个硬币总值不超过一角的情形，其币值由小到大先根据壹分硬币、贰分硬币的不同

个数来计算其有利情形的组合数。则

C；+C；C；+C；(C；+C；C；)+C；C；126

P(A)=1-P(A)=1--------------T-1-VO5

0----252

或「⑷:「pa）=|_c；+c；（q+cC）=］一些二o.5

0252

例3将“个人等可能地分配到〃（"W"）间房中去，试求下列事件的概率:

（1）作｛某指定的〃间房中先有一人｝;

(2)后｛恰有77间房，其中各有一人｝;

(3)/｛某指定的房中恰有勿(加《〃)个人｝。

解:把"个人等可能地分配到人间房中去，由于并没有限定每一间房中的人数，故是一可重复

的排列问题，这样的分法共有川种.

(1)对事件4对指定的"间房，第一个人可分配到该"间房的任一间，有〃种分法；第二

个人可分配到余下的〃一1间房中的任一间，有八一1种分法，以此类推，得到彳共含有"！个基本

事件，故

P(4)=r

N〃

(2)对事件8,因为"间房没有指定，所以可先在N间房中任意选出〃间房(共有种选法)，

然后对于选出的某"间房，按照上面的分析，可知8共含有C1・"！个基本事件，从而

p(8)=生电

N”

(3)对于事件C,由于m个人可从"个人中任意选出，故有种选法，而其余"一勿个人可

任意地分配到其余的〃一1间房中，共有(”-1)沙种分配法，故C中共含有个基

本事件，因此

z1zi1\n-m

PC)二二c，R(，)

Nn

注意：可归入上述“分房问题”来处理的古典概型的实际问题非常多，例如:

(1)生日问题：〃个人的生日的可能情形，这时他365天(,W365)；

(2)乘客下车问题：一客车上有〃名乘客，它在〃个站上都停，乘客下车的各种可能情形;

(3)印刷错误问题：〃个印刷错误在一本有人页的书中的一切可能的分布(〃不超过每一页

的字符数)；

(4)放球问题：将〃个球放入〃个盒子的可能情形。

值得注意的是，在处理这类问题时，要分清什么是“人”，什么是“房”，一般不能颠倒.

例4(1994年考研题)设48为两事件，且P(⑷二2P(49)=P(AB),求夕(夕。

解：由于

P(AB)=P(A+B)=1-P(A+B)=1-[P(A)+P(B)-P(4B)],

现因为"(力夕二P(A8),则

P(AB)=1-P(A)-产(3)+P(AB)

又p(⑷二P,故

P(Z?)=l-P(A)=l-/?o

注意：事件运算的德-摩根律及对立事件公式的恰当应用。

例5设某地区位于河流甲、乙的交汇处，而任一何流泛滥时，该地区即被淹没。已知某时

期河流甲、乙泛滥的概率分别为0。2和0。3,又当河流甲泛滥时，“引起”河流乙泛滥的概率为

0.4,求

(1)当河流乙泛滥时，”引起“河流甲泛滥的概率；

(2)该时期内该地区被淹没的概率。

解：令尔｛河流甲泛滥｝，8｛河流乙泛滥｝

由题意知

P(⑷二0.2,P(.8)=0.3,P[8\>4)=0.4

再由乘法公式

P(AB);P(⑷P｛B\A)=0.2X0.4=0.08,

则(1)所求概率为

24⑶二也叽幽二。.267

P(B)0.3

(2)所求概率为

P(汆8)=PC4)+P(心一P(48)=0o2+0.3-0o08=0.42.

例6设两个相互独立的事件力和8都不发生的概率为1/9,彳发生8不发生的概率与8发

生力不发生的概率相等，求P。).

解：由题设可知因为力和3相互独立，则

P(AB)=P(A)P(0)f

再由题设可知

P(AB)=P(A)P(B)=^f

P(AB)=P(AB)

又因为

P(A耳)=P(AB),

即P(4一8)二P(B-A),

由事件之差公式得

P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB)

则有P")=P(8),从而有

P(A)=P(8)

故有

(P(A))2=1,P(A)=1

一2

即F(A)=1-F(A)=-O

例7(1988年考研题)玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率

相应为0,0.8,0.1和0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开

箱随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求

(1)顾客买下该箱的概率a；

(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。o

解：由于玻璃杯箱总共有三类，分别含0,1,2只残次品。而售货员取的那一箱可以是这三

类中的任一箱，顾客是在售货员取的一箱中检查的，顾客是否买下这一箱是与售货员取的是哪

一类的箱子有关系的，这类问题的概率计算一般可用全概率公式解决，第二问是贝叶斯公式也即

条件概率问题。

首先令尔｛顾客买下所查看一箱｝;

生｛售货员取的箱中恰好有/件残次品｝,二0,1,2.

显然，区,5,8构成一组完备事件组。且

P(B0)=0.8,P(BI)=0.1,P(B2)=0.1,

P(4|"J=1,尸(.用)=等=*)=/=M

。20J匕201V

(1)由全概率公式，有

2A12

tz=p(A)=P()P(A|By)=0.8x1+0.1x-+O.lx—«0.94

»=o519

(2)由逆概率公式，得

P(B0)P(4|B0)0.8x1

/?=P(B0|A)=«0.85

P(A)0.94

注意：本题是典型的全概率公式与贝叶斯公式的应用。

例8.(小概率事件原理)设随机试验中某事件力发生的概率为E,试证明，不论£〉0如

何小，只要不断独立重复地做此试验，事件彳迟早会发生的概率为1o

证：令4={第7次试验中事件力发生},7=1,2,3,…

由题意知，事件4,4,…，4,…相互独立且

P(4)=,/=1,2,3,-,

则在/7次试验中事件A发生的概率

P(A+&+…+A“)=1—P{A}A2•••A„)

二I一P(A)P(4)…P(4)=I-(I—£)“

当1+8,即为事件力迟早会发生的概率

夕(4+4+…+A”+…)=lim1—(1—£)"=。

"一＞田

四、习题二解答

1.考察随机试脸：“掷一枚骰子，观察其出现的点数”.如果设

/二{掷一枚骰子所出现的点数为/},/=1,2,•••,6

试用/来表示该试验的基本事件、样本空间Q和事件4;{出现奇数点}和事件后{点数至少是

4}o

解:基本事件:{0},{1},{2},{3},{4},{5},{6}o

样本空间{0,1,2,3,4,5,6}.

事件走{1,3,5};A{4,5,6}o

2.用事件48、C表示下列各事件：

(1)/出现，但8、C不出现；

(2)48出现，但C不出现；

(3)三个都出现;

(4)三个中至少有一个出现；

(5)三个中至少有两个出现；

(6)三个都不出现；

(7)只有一个出现；

(8)不多于一个出现；

(9)不多于两个出现。

解：(1)ABC(2)ABC(3)ABC

(4)ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC

或A^B^-C^Q.-ABC

(5)ABC+ABC+ABC+ABC

(6)N否6或一(班30或4+3+C

(7)ABC+ABC+~ABC

(8)ABC+ABC+~ABC+~ABC

(9)ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC

或一ABC%ABC

3.从52张扑克牌中，任取4张，求这四张花色不同的概率.

解：现将从52张扑克牌中任取4张的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序无关，故

可用组合数来解决该古典概型问题.

=0.1055o

n52x51x50x49/4!

4.在一本标准英语词典中共有55个由两个不同字母组成的单词，现从26个英文字母中任

取两个字母排成一个字母对，求它恰是上述字典中单词的概率.

解:现将从26个英文字母中任取两个字母件的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序

有关，故可用排列数来解决该古典概型问题。

八"25555八”“

P=—=—=-----=0.0846o

nA；(y26x25

5.某产品共20件，其中有4件次品。从中任取3件，求下列事件的概率c(1)3件中恰

有2件次品；(2)3件中至少有1件次品；(3)3件全是次品；(4)3件全是正品。

解：现将从20件产品中任取3件的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序无关，故可

用组合数来解决该古典概型问题.

(1)尸⑷=竺=邑强=0.0842;

〃以

电二1.组

⑵P(B)=\-P(B)=\=1-0.4912=0.5088

〃£

或尸(8)=生=仁e+《《+《以

=0.5088;

〃G)

(3)P(C)=—=-^-=0.0035:

〃。20

(4)P(D)='=鼻=0.4912。

〃G

6.房间里有10个人，分别佩戴着1〜10号的纪念章，现等可能地任选三人，记录其纪念

章号码，试求：(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率.

解：设小｛任选三人中最小号码为5｝,代｛任选三人中最大号码为5｝

(1)对事件4所选的三人只能从5〜10中选取，而且5号必定被选中.

p(A)=—==—=0.0833;

nGo12

(2)对事件员所选的三人只能从1〜5中选取，而且5号必定被选中。

P(B)=—=^^-=—=0.05.

nG：20

7.某大学学生中近视眼学生占22%,色盲学生占2%,其中既是近视眼又是色盲的学生占1%.

现从该校学生中随机抽查一人，试求：(1)被抽查的学生是近视眼或色盲的概率；(2)被抽查的

学生既非近视眼又非色盲的概率.

解：设左｛被抽查者是近视眼｝，尺｛被抽查者是色盲｝;

由题意知，P(心二0。22,P(B)=0o02,P(48)=0。01,则

(1)利用加法公式，所求税率为

P(A+B)=P(Q+P(8)——=0.22+0.02-0.01=0o23；

(2)所求概率为

。(无巨)二。(而)二1-PU+8)=1-0.23=0.77o

注意：上述计算利用了德•摩根对偶律、对立事件公式和(1)的结果。

8.设户(⑷二0。5,P⑻=0。3且PG48)=0.Io求：(1)P(A+B)；(2)PCA+S)O

解：(1)P(A+ED二夕(⑷-P(小一P(A出=0.5+0.3—0.1=0c7；

(2)户(彳+8)=P(A)+P(夕一"(不夕=[1—P(/I)]+P(8)-P(B-A)

二1一月(⑷+P(周一[P㈤-P38)]=1一夕(⑷+P(Aff)

=1—0.5+0o1=0o6o

注意：上述计算利用了加法公式、差积转换律、对立事件公式和事件之差公式。

9.假设接受一批药品时，检脸其中一半，若不合格品不超过2%,则接收，否则拒收。假设

该批药品共100件，其中有5件不合格，试求该批药品被接收的概率.

解：设本｛50件抽检药品中不合格品不超过1件｝,

据题意，仅当事件力发生时，该批药品才被接收，故所求概率为

5=*尹川8"。

10.设48为任意两个事件，且夕(⑷>0,P⑻>0.证明:

(1)若力与8互不相容，则力和8不独立;

⑵若"(8/用二P(8|不)，则4和8相互独立.

证明：(1)用反证法.值.定力和8独立,因为已知A与8互不相容，则

P(AB)=P()=0

故夕。)夕(8)=P(AR)=0

但由已知条件p(4>o,0(例>0得"(4p(。〉0,由此导出矛盾，所以若力与8互不相容,

则彳和8不独立。

⑵由已知P(B/A)=P(8|A),又

尸网小瑞，尸("「瑞

P(A3)_P(A8)_P(8—A)_P(B)-P(AB)

则

P(A)~P(A)~l-P(A)―1-P(A)

即P(AD[i-m]=。(⑷[夕(③一夕(力用]

P(AB)-P(AB)P3)=P(A)P(8)-P3)夕(AB

故P(AB)二#3)P(8)

这即力和8相互独立.

(2)又证：由已知

P(BI小P⑻不)=虎"比4P⑻”(明

P(A)1-P(A)l-P(A)

即P(81⑷[1-P(⑷]=P(8)—P(Aff)

P(8|⑷一一(B\A)P(⑷=P⑻-P(AB)

P[B|心一户(48)=P(8)-P(AB)

P(B\A)=P(8)

这即力和8相互独立。

11.已知P(4)=0。1,夕㈤二0.3,I8)=0。2,求：(1)户(彳8)；(2)P3+8)；(3)2(8|

A;(4)P(AB);(5)P(X|J)o

解：(1)户3庾=户(8)P(A|8)=0.3X0。2=0.06；

(2)P(4+8)=P")+P(8)-P38=0.1+0。3-0o06=0.34;

⑶尸⑻小需=*=°6；

(4)PCAB)=P(A-B)=PCA)-P(AB)=OQ1-0o06=0o04；

⑸值加需=播="需…9.

12.某种动物活到12岁的概率为0.8,活到20岁的概率为0。4,问现年12岁的这种动物

活到20岁的概率为多少？

解：设走｛该动物活到12岁｝，尺｛该动物活到20岁｝;由题意知

P(⑷二0.8,P(5)=0.4

显然该动物“活到20岁”一定要先“活到12岁”，即有

B4且力依氏

则所求概率是条件概率

P(B\A)=P(A8)=夕⑻上田

P(A)-尸(A)-0.8-,

13.甲、乙、丙三人各自独立地去破译一密码，他们能译出该密码的概率分别是1/5,2/3,

1/4,求该密码被破译的概率。

解：设尔｛甲译出该密码｝，代｛乙译出该密码｝,/｛丙译出该密码｝.

由题意知，4氏C相互独立，而且

P｛A)=1/5,P(8)=2/3,P(6)=1/4

则密码被破译的概率为

、-----———413

P(z力毋C)=1-P(ABC)-y—P(A)P(B)P(C)-\一一X-X—二0.8

534

或P(A+B+C)=P3)+P(夕+P9-P(AS)-P(4C)-P(B6+PIAB6

二P(⑷+0(。+P(C)一尸(⑷P®—P(A)P(C)—P⑻P(C)+P(4)P(B)P(C)

_1211211211214

5345354345345

14.有甲乙两批种籽，发芽率分别为0。8和0.7,在两批种籽中各任意抽取一粒，求下列

事件的概率：(1)两粒种籽都能发芽；(2)至少有一粒种籽能发芽；(3)恰好有一粒种籽能发

芽。

解:设东｛甲种籽能发芽｝,代｛乙种籽能发芽｝

则由题意知，力与8相互独立，且有

P(⑷=0o8,P(B)=0.7,

则所求概率为

⑴P(附二P(⑷夕⑷二0。8X0.7=0。56；

(2)一(力坊)二1一户(A+B)=1一0(—=1—P(A)P(B)=1—0o2X0.3=0。96;

(3)P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0o8X0o3+0。2X0.7=0.38O

15.设甲、乙两城的通讯线路间有〃个相互独立的中继站，每个中继站中断的概率均为0,

试求：(1)甲、乙两城间通讯中断的概率；(2)若已知后0。005,问在甲、乙两城间至多只能设多

少个中继站，才能保证两地间通讯不中断的概率不小于0o95?

解：设4=｛第〃个中继站通讯中断｝,i2,n,则4,4,…，4相互独立，而

且有P(4)=p,A=1,2,…,小

(1)所求概率为

夕(4+4+・・・+4)=1一夕(A+&+…+4)=1一夕(…4)

=1-P(A)P(A>)-P(A,)=1-(P(A,)y=1-(1-p)n；

(2)设甲、乙两城间至多只能设"个中继站，由题意，应满足

P(4(1-p)"20.95,

即(1-0.005)^0.95

0o995”20。95

logo.995O。95=ln0o95/lnOo995=10.233

故方10,即甲、乙两城间至多只能设10个中继站。

16.在一定条件下，每发射一发炮弹击中飞机的概率是0。6,现有若干门这样的炮独立地

同时发射一发炮弹，问欲以99%的把握击中飞机，至少需要配置多少门这样的炮？

解：设至少需要配置〃门炮。再设

儿二｛第4门炮击中飞机｝,后，2,…，〃，

则4,4,…，4相互独立，而且有

0(4)=0.6,4=1,2,…，n.

由题意，应有

p(A+-+・・•+4)=I-P(4氏…A)=I-P(A)P0)・・・P(4)

二1一(P(A))”二1-0.4020.99

即0o4W0。01,

则有

1ogo.4。.01=In0001/1n0o4—5©026

故方6,因此至少需要配置6门炮。

17.甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球；乙袋中10只白球，6只红球，9只黑球。

现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。

解：设以4、4、4分别表示从甲袋中任取一球为白球、红球、黑球；

以3、区、区分别表示从乙袋中任取一球为白球、红球、黑球。

则所求两球颜色相同的概率为

P(48+力出+4BD-P(4)P(B*P(A)P(8)+P(4)P(B)

31076159207…

=­x—+—x—+—x—=----=0.3312。

252525252525625

18.在某地供应的某药品中，甲、乙两厂的药品各占65%、35%,且甲、乙两厂的该药品合

格率分别为90%、80%,现用4、4分别表示甲、乙两厂的药品，8表示合格品，试求：。(4)、

户(4)、夕(8I4)、P(8/4)、P(48)和P(B)。

解：由题中已知条件可得

P(4)=0o65,P(4)=0.35,-(例4)=0.9,0(8/4)=0.8,

P(AB=P(4)P(8|4)=0o65X0.9=0.585,

P(B)=P(4)P{B\A)+P(4)P(8|4)=0。65X0.9+0o35X0.8=0.865。

19.某地为甲种疾病多发区，其所辖的三个小区A”A2,A3的人口比例为9：7：4,据统计

资料，甲种疾病在这三个小区的发病率依次为4%。，2%0,5%0,求该地甲种疾病的发病率。

解：设以4、4、4表示病人分别来自小区4、A2、A3,以8表示患甲种疾病。则由题意知

P(4)=—,P(A)=—,=—

202020

P(8I4)=0。004,P(8/4)=0。002,P(8/4)=0.005,

则该地甲种疾病的发病概率为

P⑻=m)P⑻4)+P(4)P(8|4)+0(4)夕(8|4)

974,

=—x0.004+--x0.002+—x0.005=0.0035=3。5%。。

202020

20.若某地成年人中肥胖者(4)占有10%,中等者(4)占82%,瘦小者(4)占8%,又肥

胖者、中等者、瘦小者患高血压病的概率分别为20%,10%,5%。(1)求该地成年人患高血压

的概率；(2)若知某人患高血压病，他最可能属于哪种体型？

解：设B二｛该地成年人患高血压｝,则由题意知

P(4)=0o10,P(4)=0o82,P(4)=0o08,

P(8l4)=0.20,户(8/4)=0A10,2(8/4)=0.05,

(1)该地成年人患高血压的概率为

P⑦二P(4)P(8|4)+P(4)P(8|4)+P(4)P(04)

=0.1x0.2+0.82x0.1+0.08x0.05=0.106;

(2)若已知某人患高血压病，他属于肥胖者(4)、中等者(4)、瘦小者(儿)体型的概率

分别为

J(A)P(8|A)_01x02

—P(B)0.106

P(4)P(B|4)_0.82x0.1

P(4㈤二

p0।乃_P(&)P(8|4)0.08x0.05

P(A|5)>P(4®〉。(4I功

故若知某人患高血压病，他最可能属于中等体型。

21.三个射手向一敌机射击，射中概率分别为0。4,0.6和0.7。若一人射中，敌机被击

落的概率为0.2；若两人射中，敌机被击落的概率为0。6；若三人射中，则敌机必被击落。(1)

求敌机被击落的概率；(2)已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。

解:设4、4、4分别表示第一个射手、第二个射手、第三个射手射中敌机;属、B、、&、&

分别表示无人射中、一人射中、两人射中、三人射中敌机；C表示敌机被击落。则4、4、4相

互独立，且由题意可得

P⑷二0.4,P(4)=0.6,P(A)=0o7

P(现二P(AK4)二0(4)P(^)P(4)=0.6X0.4X0.3=0.072

P⑻二PCAlA2Ai+AlA2A3-^-AlA2A3')=P(Al\Ai)+P(AiA2A3)+P(WA3)

二p（A）尸（4）p（A）+aA）尸（&）P（4）+P（A）P（H）尸（&）

=QO4X0o4X0.3+0o6X0.6X0.3+0.6X0«4X0.7=0.324

P(ft)=P(+4144)二尸(4144)+P(AA24)+P(A，2A3)

二P(A)P(4)P(4)+P(A)尸(&)P(4)+P(A)尸区)尸(4)

^0.4X0.6X0.3+0.6X0.6X0.7+0.4X0.4X0.7=0o436

P⑻二P(AA2AJ="(4)P(4)P(4)=0.4X0o6X0o7=0o168

一(C|硝=0,P(C|5)=0o2,P(Cl盼=0.6,P(Cl必二1

(1)敌机被击落的概率为

P(O=P(c|4)>⑻+P(C|险P(8)+P(cl盼P(8)+P(C/8)P⑻

=0X0o072+0.2XOo324+0o6X0。436+1X0.168=0。4944；

(2)所求概率为

P(a)P(C|8J=0168x1

P(区|C)=0.3398o

P(C)-0.4944

五、思考与练习

（一）填充题

1.若-3）=0o3,P⑻=0.6,则

（1）苦力和8独立，贝1|"（力母）=,P（B-A）=；

（2）若彳和8互不相容，则"（力场）=,P{B-A）=;

（3）若48,则PIA+B）;,P（B-A）=o

2.如果力与8相互独立，且户（⑷=P⑻=0o7,则P（无片）=.

3.在4次独立重复试验中，事件力至少出现1次的概率为震，则在每次试验中事件彳出

O1

现的概率是O

（-）选择题

1.下列说法正确的是（）

A.任一事件的概率总在（0,1）之内B.不可能事件的概率不一定为0

Co必然事件的概率一定为1Do以上均不对。

2.以彳表示事件“甲种药品畅销，乙种药品滞销”，则其力的对立事件为()

Ao甲，乙两种药品均畅销B.甲种药品滞销，乙种药品畅销

C.甲种药品滞销”Do甲种药品滞销或乙种药品畅销

3.有100张从1到100号的卡片，从中任取一张，取到卡号是7的倍数的概率为()

77

A.彳B。而

715

心疝D。而

4o设力和8互不相容，且户(⑷>0,Pe>0,则下列结论正确的是()

Ao>0BoP(>4)=P(AIB)

CoP'A⑻=0D.P(AB);P(A)P(8)

(三)计算题

1.设。={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4},B={3,4,5}。试求下列事件：(1)AB;

(2)X+仇

2.某城市的电话号话由0,1,2,…，9这10个数字中任意8个数字组成，试求下列电话

号码出现的概率：

(1)数字各不相同的电话号码(事件力)：

(2)不含2和7的电话号码(事件①;

(3)5恰好出现两次的电话号码(事件C)。

3.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：

(1)第一卷出现在两边；

(2)第一卷及第五卷出现在两边；

(3)第一卷或第五卷出现在两边；

(4)第三卷正好在正中。

4.电路由电池A与两个并联的电池B、C串联而成，设电池A、B、C是否损坏相互独立，

且它们损坏的概率依次为0.3,0.2,0.2,求电路发生间断的概率。

5o设一医院药房中的某种药品是由三个不同的药厂生产的，其中一厂、二厂、三厂生产

的药品分别占1/4、1/4、1/2。已知一厂、二厂、三厂生产药品的次品率分别是7%,5%,4%o

现从中任取一药品，试求

(1.)该约品是次品的概率；

(2)若已知任取的药品是次品，求该次品是由三厂生产的概率。

6.盒中放有12个乒乓球,其中有9个球是新球.第一次比赛从盘中任取3个来用，比赛后

仍放回盒中；第二次比赛时又从盒中任取3个。(1)求第二次取出的球都是新球的概率；(2)

若已知第二次取出的球都是新球，求第一次取到的都是新球的概率.

六、思考与练习参考答案

(一)填充题

1.(1)0.72,0.42；(2)0o9,0。6；(3)0。6,0。3

2o0.09

3o-

3

(-)选择题

1oC;2.D;3.A；4.C

(三)计算题

1.A={1,5,6,7},B={1,2,6,7},则

(1)AB={1,6,7};(2){1,3,4,5,6,7}

2.(1).)=10x9x8x7*5x4x3=^=001814

ID81()8

(2)P(B)=-^-=0.1678

108

(3)MC)=QX9=0.1488

108

3o(1)p=G^=2=0.4;(2)p=^-=-L=Qo1；

A：5610

(3).小;=2■=0.7;或尸=]_^^=2_=0.7;

反10今10

或p=2C；C；A；+&A；_J7_=Q7

父io.

4

A1

(4)「二之」二0。2

A：5

4.已知夕（不）=0o3,P（豆）=0o2,P©=0.2且4B、C相互独立

则所求概率

P（X+-）=P（彳）+P（BC）-P（ABC）

=Pg+P0）P（C）-P（A）P（B）P（C）

=Oo3+0o2X0o2-0o3X0o2X0。2=0.328

5.令本｛该药品是次品｝;用二｛药品是由4厂生产的｝,H,2,3o

由题意知夕（8）二0。25,P（8）=0.25,P⑻二0。5,

P（-8）二0.07,-04|8）二0。05,P（川区）二0。04,

（1）P（⑷二夕（川㈤夕（8）+PG4IPDP⑻+P（川区）P（P

=0o07X0o25+0o05X0o25+0.04X0.50=0o05

⑵

MA|B3）P（B3）_______________

P（风IA）=

P（A|B、）P（BJ+P（A|4）尸（旦）+P（A\B、）P电）

0.04x0.50.02-A

------------------------------------------------=------=0.40

0.07x0.25+0.05x0.25+0.04x0.50.05

6.令4二｛第一次比赛任取3球中有4个新球｝,/F0,1,2,3;

｛第二次取出的球都是新球｝.

由题意得夕（4）二型£1,P｛BIA）二鼻，仁0,1,2,3o

⑴H8）=£p（4）p（8|4）=£^^.学=0.146

«=0Jt=OC|2CI2

（2）册3）夕⑷4）—P（A3）P（”4）=qq/0.146二0・238

£P（4）P⑻4j0网G32G3/

i-O

第三章随机变量及其分布

三、综合例题解析

例1（1991年考研题）一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口。每个信

号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以才表示该

汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求t的概率分布。

解：首先，由题设可知，彳的可能值为0,1,2,3。现设

A,={汽车在第7个路口首次遇到红灯},/=1,2,3,

则事件4,4相互独立，且

P（4）=P（Ai）=g（/=1,2,3）,

故有P{X=0}=P（4）=1,

2

—1

P{X=i}=P（A.）P（A2）=^

P{X=2}=p（/4）=P（QP（4）P（4）=*

P{X=3）二尸（可可可）二尸（Qp（可）P（《）=*

所以,4的分布律为

X0123

P1111

2222323

注意：利用性质：£pj=T,可检查离散型概率分布律的正确与否.同时，若X的某个取值

i

%的概率较难计算，而其他所有取值的概率已算出时，则也可以利用上述性质得到：

P(X=x0)=1-

比如本例中：

P{x=3)=1-P