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文档简介
考点一
双曲线的定义及其标准方程考点清单考向根底1.双曲线的定义平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a(2a<|F1F2|)的
点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点之间的距
离叫做双曲线的焦距.注意:(1)当2a=|F1F2|时,P的轨迹是两条射线;(2)当2a>|F1F2|时,P点不存在.双曲线的焦点在y轴上,那么双曲线方程为②
- =1(a>0,b>0)
.2.双曲线的标准方程假设双曲线的焦点在x轴上,那么双曲线方程为①
- =1(a>0,b>0)
;假设考点二
双曲线的几何性质考向根底
焦点在x轴上焦点在y轴上图形
标准方程
-
=1(a>0,b>0)
-
=1(a>0,b>0)
焦点在x轴上焦点在y轴上
范围|x|≥a|y|≥a焦点F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)顶点A1(-a,0)、A2(a,0)A1(0,-a)、A2(0,a)对称性关于x轴、y轴对称,关于原点对称实、虚轴长实轴长为2a,虚轴长为2b离心率双曲线的焦距与实轴长的比e=①
渐近线方程y=±
x②
y=±
x
知识拓展(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,双曲线为等轴双曲线⇔
双曲线的离心率e= ⇔两条渐近线互相垂直.(2)过焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,那么AB与另一个焦点F2构成的
△ABF2的周长为4a+2|AB|.
(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 .(4)P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,那么△F1PF2
的面积为 .
(5)焦点到渐近线的距离为b.(6)设A,B分别为双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右顶点,P为双曲线上不同于A,B的任意一点,那么kPA·kPB= .方法1
求双曲线的标准方程的方法1.定义法:根据题目的条件,假设满足定义,求出相应的a,b的值即可求得方程.2.待定系数法:(1)利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤:①定位:确定焦点位置;②
定型:由焦点位置设方程;③定值:根据条件确定相关参数的值.(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法:①与双曲线 - =1共渐近线的方程可设为 - =λ(λ≠0);方法技巧②假设双曲线的渐近线方程为y=± x,那么双曲线的方程可设为 - =λ(λ≠0;③假设双曲线过两个点,那么双曲线的方程可设为 + =1(mn<0)或mx2+ny2=1(mn<0).例1(1)(2021天津文,5,5分)双曲线 - =1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原
点),那么双曲线的方程为 ()A. - =1
B. - =1
C. -y2=1
D.x2- =1(2)设双曲线与椭圆 + =1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交点的坐标为( ,4),那么此双曲线的标准方程是
.解析(1)不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1, ),所以 = ,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=3,故所求双曲线的方程为x2- =1,故选D.(2)解法一:椭圆 + =1的焦点坐标是(0,±3),设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),根据双曲线的定义知2a=| - |=4,故a=2.又b2=32-a2=5,故所求双曲线的标准方程为 - =1.解法二:椭圆 + =1的焦点坐标是(0,±3).设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),那么a2+b2=9①,又点( ,4)在双曲线上,所以 - =1②,联立①②解得a2=4,b2=5.故所求双曲线的标准方程为
-
=1.解法三:设双曲线的方程为
+
=1(27<λ<36),由于双曲线过点(
,4),故
+
=1,解得λ1=32,λ2=0,经检验,λ1=32,λ2=0都是分式方程的根,但λ=0不符合题意,应舍去,所以λ=
32.故所求双曲线的标准方程为
-
=1.答案(1)D(2)
-
=1方法2
双曲线的渐近线与离心率的求法1.双曲线的渐近线的求法(1)定义法:首先确定焦点所在的坐标轴,然后利用定义直接求解
焦点
在x轴上,渐近线方程为y=±
x,焦点在y轴上,渐近线方程为y=±
x
.(2)方程法:求双曲线
-
=1(a>0,b>0)的渐近线方程的方法是令
-
=0,即得两渐近线方程为
±
=0
.双曲线的离心率e=
=
,求双曲线的离心率只需根据一个条件得到关于a,b,c的齐次方程,结合c2=a2+b2即可求出.2.双曲线的离心率的求法例2
(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线
-
=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为
c,则其离心率的值是
.解析本题考查双曲线的性质.双曲线的一条渐近线方程
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