高考数学大一轮复习.4双曲线及其性质课件

考点一

双曲线的定义及其标准方程考点清单考向根底1.双曲线的定义平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a(2a<|F1F2|)的

点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点之间的距

离叫做双曲线的焦距.注意:(1)当2a=|F1F2|时,P的轨迹是两条射线;(2)当2a>|F1F2|时,P点不存在.双曲线的焦点在y轴上,那么双曲线方程为②

 - =1(a>0,b>0)

.2.双曲线的标准方程假设双曲线的焦点在x轴上,那么双曲线方程为①

 - =1(a>0,b>0)

;假设考点二

双曲线的几何性质考向根底

焦点在x轴上焦点在y轴上图形

标准方程

-

=1(a>0,b>0)

-

=1(a>0,b>0)

焦点在x轴上焦点在y轴上

范围|x|≥a|y|≥a焦点F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)顶点A1(-a,0)、A2(a,0)A1(0,-a)、A2(0,a)对称性关于x轴、y轴对称,关于原点对称实、虚轴长实轴长为2a,虚轴长为2b离心率双曲线的焦距与实轴长的比e=①

渐近线方程y=±

x②

y=±

x

知识拓展(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,双曲线为等轴双曲线⇔

双曲线的离心率e= ⇔两条渐近线互相垂直.(2)过焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,那么AB与另一个焦点F2构成的

△ABF2的周长为4a+2|AB|.

(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 .(4)P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,那么△F1PF2

的面积为 .

(5)焦点到渐近线的距离为b.(6)设A,B分别为双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右顶点,P为双曲线上不同于A,B的任意一点,那么kPA·kPB= .方法1

求双曲线的标准方程的方法1.定义法:根据题目的条件,假设满足定义,求出相应的a,b的值即可求得方程.2.待定系数法:(1)利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤:①定位:确定焦点位置;②

定型:由焦点位置设方程;③定值:根据条件确定相关参数的值.(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法:①与双曲线 - =1共渐近线的方程可设为 - =λ(λ≠0);方法技巧②假设双曲线的渐近线方程为y=± x,那么双曲线的方程可设为 - =λ(λ≠0;③假设双曲线过两个点,那么双曲线的方程可设为 + =1(mn<0)或mx2+ny2=1(mn<0).例1(1)(2021天津文,5,5分)双曲线 - =1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原

点),那么双曲线的方程为 ()A. - =1

B. - =1

C. -y2=1

D.x2- =1(2)设双曲线与椭圆 + =1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交点的坐标为( ,4),那么此双曲线的标准方程是

.解析(1)不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1, ),所以 = ,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=3,故所求双曲线的方程为x2- =1,故选D.(2)解法一:椭圆 + =1的焦点坐标是(0,±3),设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),根据双曲线的定义知2a=| - |=4,故a=2.又b2=32-a2=5,故所求双曲线的标准方程为 - =1.解法二:椭圆 + =1的焦点坐标是(0,±3).设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),那么a2+b2=9①,又点( ,4)在双曲线上,所以 - =1②,联立①②解得a2=4,b2=5.故所求双曲线的标准方程为

-

=1.解法三:设双曲线的方程为

+

=1(27<λ<36),由于双曲线过点(

,4),故

+

=1,解得λ1=32,λ2=0,经检验,λ1=32,λ2=0都是分式方程的根,但λ=0不符合题意,应舍去,所以λ=

32.故所求双曲线的标准方程为

-

=1.答案(1)D(2)

-

=1方法2

双曲线的渐近线与离心率的求法1.双曲线的渐近线的求法(1)定义法:首先确定焦点所在的坐标轴,然后利用定义直接求解

焦点

在x轴上,渐近线方程为y=±

x,焦点在y轴上,渐近线方程为y=±

x

.(2)方程法:求双曲线

-

=1(a>0,b>0)的渐近线方程的方法是令

-

=0,即得两渐近线方程为

±

=0

.双曲线的离心率e=

=

,求双曲线的离心率只需根据一个条件得到关于a,b,c的齐次方程,结合c2=a2+b2即可求出.2.双曲线的离心率的求法例2

(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线

-

=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为

c,则其离心率的值是

.解析本题考查双曲线的性质.双曲线的一条渐近线方程