智博专升本高数详解1-10章全部

第一 函数、极限和连（二）函数的几种特有界单调奇偶例如：f(xcosx、f(xx2、常数等都是偶函f(xsinxf(xarctanx等是奇函f(xsinxcosx、arccosx、arccotx等为非奇非偶函数．两个奇函数的乘积是偶偶函数与奇函数的乘积是奇函周期（四）基本初等函数与初等函基本初等函幂函数yx（R是常数指数函数yax（a0a对数函数ylogax（a0a1，特别当ae时记为ylnx三角函数ysinxycosxytanxycotxysecxycscx；反三角函数：yarcsinx，yarccosxyarctanxyarccotx．以上五类函数统称为基本初等函数（1）反正弦函数yarcsinx：定义域为[1,1，值域

] （2）反余弦函数yarccosx：定义域为[1,1，值域为[0,]．( （3）反正切函数yarctanx：定义域为(，值域

) （4）反余切函数yarccotx：定义域为(，值域为(0,二、极（一）数列的极数列极限中自变量n的趋向只有一种，即n收敛数列的性性质（1）：（唯一性）如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一（二）函数的极函数极限的函数的左极限

f(xA或f(xA0右极限0

f(xA或f(xA；0函数f(xx0

时极限存在的充要条件是左右极限都存在并且相等，即f(x

f )．0x时函数的极限：函数f(xx时的极限包含

f(x)A

f(x)A两种情函数极限的性质（以xx0为例

f(x)存在，那么这极限唯一2．准则 单调有界数列必有极准则II单调有界函数必有极（五）两个重要极sin(x) (

(x) (x)0即可（(x0或(x0时亦成立1 lim(1(x))(x)((x)0或(x)0时亦成说明：数列亦有第二种极限形式，即lim(11

e （六）无穷小和无穷在自变量的同一变化过程中，如果f(x为无穷大

f

为无穷小；反之，如果f(x为无穷小且f(x0

为f无穷大无穷小的比设均为自变量同一趋向下的无穷小，且0如果lim如果lim如果lim

0，则称是比高阶的无穷小，记作，则称是比低阶的无穷c0，则称与是同阶无穷小

如果lim如果lim

1，则称与是等价无穷小，记作~c0k0，则称是关于k阶无穷小无穷小的性有限个无穷小的和是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷有限个无穷小的乘积是无穷有界函数与无穷小的乘积是无穷小求两个无穷小之比的极限分子及分母都可用等价无穷小来，，，均为自变量同一趋向下的无穷小

~，~

limlim存在

（

表示自变量的任一趋向下的极限，以后文中出现此符号时均为此意 解释等价无x0时sinx~x，可引申为(x)0时sin(x~(xx0tanx~x，可引申为(x)0时tan(x~(x)；x0arcsinx~x，可引申为(x)0时arcsin(x~(xx0时

cosx

12

，可引申为(x)0时，1cos(x)

12

(x)n1xn1

1

1x，可引申为(x0时n

1

1(x)nn1(x)x0ex1~x，可引申为(x)0时ex)1n1(x)x0时ln(1x~x，可引申为(x)0时ln(1(x~(x)．三、连（一）连续的概1．连续的定limylim[f(x0x)f(x0)]0 则称函数yf(x在点x0连续（即自变量的变化量趋于零时函数值的变化量也趋于零

f(x)

f(x0，则称y

f(x在点x0一切初等函数在其定义区间内都是连续（二）函数的间断定义：设函数f(x在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一xx0处没有定义（2）虽在xx0处有定义，但（3）虽在xx0处有定义，且

f(x不存在f(x存在，但

f(x)

f(x0)，则函数f(x在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x的不连续点或间断点分类 （1）第一类间断点：左极限f(x0和右极限f(x0都存 f(xf(x时称x为可去间断点 f(xf(x时称x为跳跃间断点 无穷间断点和振荡间断点．（三）闭区间上连续函数的性2．零点定理：设函数f(x在闭区间[a,b上连续，且f(a与f(b异号（即f(af(b0，那么在开区间内至少有一点，使得f(0【例1-3】判断函数的奇偶性2．判定函数f(x)ln(xx2解：因f(x)ln(x2

x21)的奇偶性(x)21)ln(x

x2x21x21

xf(x)，故原函数为奇函数【例1-4】计算下列极限1．lim(12 n)n 解：当n时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，先变形化简再计算1n(1n)lim(1n)

lim12 nlim

1n

2． )

n2

n2

n2 n2

，并且 1n21

n2

n2 n2

n2n2n21

1，故原极限值为 准则3．lim(122)n 2n 2n

n2n(．．

)n

)nlim(1

)

解

4．lim(2n3)nn2n12n

2n1解： )n

)n

)42n1e2

2n

2n

2n11-6】已知f(x是多项式，且

f(x)

2，

f(x)

3，求f(x)．解：利用前一极限式可令f(x2x32x2axb再利用后一极限式

3limf(x)lim(ab，

a3，b0 故f(x)2x32x23x【例1-8】分段函数在指定点处的连续 x 0x1．f(x) x

x1处的连续性1 x解：①因f(1x②f(1)limf(x)lim 2x f(1)limf(x)lim(1x)2，③limf(x)2

1-11】证明方程x34x210在区间(0,1内至少有一个根．证：①函数f(x)x34x21在闭区间[0,1]上连续，②f(010，f(120，根据零点定理，在(0,1内至少有一点，使得f(0，3421

（01），该等式说明方x34x210在区间(0,1内至少有一个根第二 导数与微（一）导数的相关概1．函数在一点处的导数的定①f

)

f(x0h)h

f(x0②f(x)

f(x)f(x0

x而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在并且相说明：如果函数f(x在开区间(a,b内可导，且f(a及f(b都存在，就说f(x在闭区间[a,b上可导导数的几何切线方程yy0

f(x0)(xx0)；法线方程yy0

f

)(xx0)．（二）基本求导法则与导常数和基本初等函数的导（5）(tanx)sec2

（6）(cotx)cscx（7）(secx)secxtanx （8）(cscx)cscxcotx（9）(ax)axln

（11）

；xln（15）(arctanx)

111 （16）(arccot1111 1（四）隐函数的导隐函数的求导方法主要有以下两种方程两边对x求 例如：求由方程

xye0所确定的隐函数的导 解：方程两边分别对x求导(eyxye)0) 得eydyyxdy

dy

xeydy．一元隐函数存在定．y

例如：求由方程

xye0所确定的隐函数的导 解

F(x,y)eyxye

(eyxy

(eyxy

ey（六）幂指函数的导一般地，对于形如u(x)vx（u(x)0，u(x1）的函数，通常称为幂指函数．对于幂指函数的导数，通常有以下两种方法复合函数求例如：求幂指函数y

的导 解

xxexln

，故dydexlnxexlnxxlnx)xx(1lnx 对数求导对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求y对x的导数例如：求幂指函数y

的导 解：对幂指yxx两边取对数，得lnyxlnx，该式两x求导，其中yx的函数，得1dy1lnx 故dyy(1lnxxx(1lnx)．二、函数的2．可导与可微的关可微﹤＝﹥【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题1．讨论函数f1．讨论函数f(x

x

x1处的可导性x2

x解：根据导数的定义

2x3

f(x)f(1)lim

2lim(x2x1)2

x1

x1 3x2

f(x)f(1)

3

x1

x1故f(xx1处的左导数f(12，右导数不存在，所以f(xx1处不可 x2 x3．已知函数f(xax

x1处连续且可导，求常数ab的值x解：①由连f(1)1，f(1)limf(x)lim

f(1limf(xlim(axbab，从而ab②再由可导

f(x)f

x2f(1)

x

x

lim(x1)2

f(x)f(1)limaxb

，而由①可得b1a，代入f(1)

x

x

f(x)

f(1limaxaa，再由f(1

f(1可得a2，代入①式

x

x bf(x)sin

x 2-3】已

x

，求

(x)x0时，f(x)sinx)cosxx0时，f(x)x)1x0时的导数需要用导数定义来求f(0)

f(x)f(0)limsinx

x

f(0)

f(x)

f x 1，

x

cosf(0f(01，故f(01，从而f(x

x．

x【例2-5】求下列幂指函数的导yxsinx（x0解 y(xsinx)(esinxlnx)esinxlnx(sinxlnesinxlnx(cosxlnxsinx1xxsinx(cosxlnxsinx)x说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数yxsinx两边取对数，得lnysinxlnx，该式两边对x求导，其中y的函数，

1ycosxlnxsinx1 yy(cosxlnxsinx1)xsinx(cosxlnxsinx) 第三 微分中值定理与导数的应一、微分中值定罗尔定如果函数y

f(x满足下述的三个条件（1）在闭区间[a,b]上连续（2）在开区间(a,b)内可导在区间端点处的函数值相等，即f(a

f(b)那么在(a,b内至少有一点（ab），使得f(0说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）f(x00，则称点x0为函数f(x的驻点拉格朗日中值定如果函数y

f(x满足下述的两个条件（1）在闭区间[a,b]上连续（2）在开区间(a,b)内可导那么在(a,b)内至少有一点（ab），使得下式（拉格朗日中 ）成立f(b)

f(a)

f()(ba)三、函数单调性的判单调性判定设函数y

f(x在[a,b上连续，在(a,b内可导（1）如果在(a,b内f(x0，那么函数y

f(x在[a,b上单调增加（2）如果在(a,b内f(x0，那么函数y

f(x在[a,b上单调减少说明：①如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立②若判定法中f(x在(a,b内只有有限个点上f(x0，而在其余点上恒有f(x0（或f(x0），则函数f(x在区间[a,b上仍然是单调增加（或单调减少）的．单调区间的（1）求出函数f(x的定义域（2）求出函数f(x的导数f(x，并令f(x0求出函数的驻点；此外，再找出导数不存在的点（一般是使得f(x分母为（3）用函数f(x)的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性用单调性证明不等函数f(x的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下将不等式的一边变为零，不等于零的一边设为f(x)，根据要证明的式子找出不等式成x的范围I（2）求f(x的导数f(x，判断f(x在上述I范围内的符号（即正负（3）根据范围I的边界值与f(x的情况，导出所需要证明的不等式即例如：试证明当x1时

31xxx证明：原不等式即为

3xxxxx

，故令f(x

31，x0xxx则f(x

1xx

1(x

f(x在[1上连续(1

f(x0，因此在

f(x)单调增加，从而当x1时，f(x

f(1)，又由于f(10，故f(x0，即xx 310，亦即xxx

31x四、函数的凹凸性与函数凹凸性的定利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示函数凹凸性的判定设函数f(x在区间[a,b上连续，在(a,b内具有一阶和二阶导数，那（1）若在(a,b内f(x0，则f(x在[a,b上的图形是凹（2）若在(a,b内f(x0，则f(x在[a,b上的图形是凸说明：若(a,b内除有限个点f(x0外，其它点上均有f(x0（或f(x0）同样可以判定曲yf(x在[a,b上为凹曲线（或凸曲线曲线的拐点的求y

f(x在区间I上连续，x0I的内点（端点I内的点）果曲线y

f(x)在经过(x0,f(x0时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0为这曲线的拐点我们可以按照下述步骤求区间I上的连续y（1）求f(x

f(x的拐点（2）令f(x0，解出这方程在I内的实根，并求出在区间I内f(x不存在的点（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f(x)在x0左、右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，(x0,f(x0是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0,f(x0不是拐点．在[a,b上单3．基本初等函数的说明：若要求函数yf(x)的凹凸区间，则用（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间I分成 分区间，然后在这些分区间上判定f(x的符号，若f(x0，则该部分区间为凹区间，若f(x0，则该部分区间为凸区间五、函数的极值与最函数取得极值的必要函数f(xx0处可导，且在x0处取得极值，那么f(x00可导函数f(x的极值点必定是它的驻点．但反过来，函数的驻点却不一定是极值点．例如，f(x)x3的导数f(x)3x2f(00，因此x0是这函数的驻点，但x0却不是这函数的极值点此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．如，函数f(xx在点x0处不可导，但函数在该点取得极小5．判定极值的第二充分设函数f(xx0处具有二阶导数且f(x00，f(x00，那（1）当f(x00时，函数f(xx0处取得极大值（2）当f(x00时，函数f(xx0处取得极小值说明：该极值判定条件表明，如果函数f(x在驻点x0处的二阶导数f(x00，那么该驻点x0一定是极值点，并且可按f(x0的符号来判

f(x0是极大值还是极小值．但

f(x0)0，则该判定条件失效．事实上

f(x0)0f(x0时，f(xx处可能有极大值，可能有极小值，也可能没有极值．例如，f(xx4，

x4 3f(xx3这三个函数在x0处就分别属于上述三种情况．因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定3如果f(x在定义区间内部只有一个x0，那么不必讨论f(x0是不是极值，就可以断定f(x0是最大值或最小值六、函数的渐近线的水平渐近若limf(x)a（包括

f(x)a

f(xa），则直线ya就是函数f(x的水平渐近

垂直渐近线（或称铅直渐近线渐近线

f(x（包括

f(x或

f(x则直线xx0就是函数f(x的垂（铅直3-3】不求导数，判断函数f(xx1)(x2)(x3)(x4的导数有几个零点，这些零点分别在什么范显然f(x是连续可导的函数f(1

f(2)

f(3)

f(40

上满足罗尔定理的条件，所以在区间(12)内至少存在一点1，使得f(10，即1f(x的一个零点；在区间(2,3内至少存在一点2，使得f(20，即2f(x的一个零点；又在区间(34)内至少存在一点3，使得f(30，即3也是f(x的一个零点．又因为f(x是三次多项式，最多只能有三个零点，故f(x恰好有三个零点，分别在区间(12)，(2,3和(34)内．arctanxarccotx2

，x(,【例3-7】利用函数的单调性证明不等1．试证当x0时xln(1x成立证明：设f(xxln(1x)，则

f(x)

1

1f(x在区间[0上连续，在(0内可导，且故f(x在区间[0上单调增加，又因为f(00，所以当x0时，f(x0

f(x)0即xln(1x0，也即xln(1x成立3-8】证明方程x5x10在区间(10内有且仅有一个实根．证明：①令f(xx5x1，因为f(x在闭区间[10]上连续，②f(110，f(010，根据零点定理，f(x在区间(0,1内至少有一个零点③另一方面，对于任意实数x，有f(x5x410，所以f(x()内单调增加，因此曲线f(xx5x1x轴至多有一个交点④综上所述，方程x5x10在区间(10内有且仅有一个实根【例3-11】求下列曲线的凹凸区间和拐1．f(x)3x44x31．解：函数的定义域为(，且有f(x)12x312x2，f(x)36x(x2)，3令f(x0，得x0x2 列表讨论如f凹凸凹 2

由上表可得f(x)的凹区间为(,0]和 ,)，凸区间为 ]，拐点为(0,1)和 ) 3第四 不定积【考试内容一、原函数与不定积分的概简单地说就是，连续函数一定有原函数5．不定积分与导数的关（1）由于f(x)dx是f(x的原函数，dx df(x)dx

f

df(x)dx

f(x)dx （2）由于F(x是F(x的原函数 F(x)dxF(x

dF(x)F(x)C二、基本积14．tanxdxlncosx15．cotxdxlnsinx16．secxdxlnsecxtanx117．cscxdxlncscxcotx1

a2

dx1arctanxC xx19． dxxx x 20．21．

dxarcsin Ca2x2 a21 dxln(a21a2x2x2

)22．

dxlnx Cx2a2三、第一类换元法（凑微分法定若f(u)(x及(x都是连续函数f(u)duF(uC，f[(x)](x)dxF[(x)]C四、第二类换元a2当被a2

，可令xasinta2当被a2

，可令xatantx2当被x2

，可令xasect五、分部积udvuvvdu注意事如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次（这里假定幂指数是正整数．如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u（有时也可利用变量代换．根据范围I的边界值与f(x的情况，导出所需要证明的不等式即第五 定积2．定积分存在的充分条件（可积的条件（1）设f(x在区间[a,b上连续，则f(x在[a,b上可积（2）设f(x在区间[a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x在区间[a,b上可积．故函数f(x在区间[a,b上连续是f(x在[a,b上可积的充分非必要条二、定积分的性b性质1．当ab时af(x)dx0b 性质2．当ab时af(x)dx

f(x)dx 性质3af(xg(x)]dxbf(x)dx

g(x)dx说明：该性质对于有限个函数都是成立 性质4akf(x)dxk

f

（k是常数 性质5af(x)dxaf(x)dx

f(x)dx性质6．如果在区间[a,b上f(x)1

a1dxadxbab性质7．如果在区间[a,b上f(x0b

af(x)dx

（ab性质9．（定积分中值定理）如果函数f(x在积分区间[a,b上连续，则在[a,b上至少存在一点，使得下式成立baf(x)dxb

f()(b

（ab说明： 称为积分中 ，f() bf(x)dx称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值．ba三、积分上限函数及其导四、牛顿——莱布尼3：如果函数F(x是连续函数f(x在区间[a,b上的一个原函数baf(x)dxF(b)F(a)．b五、定积分的换元法和分部积1．定积分的换定积分的两个简a（1）若f(x在[aa]上连续且为奇函数，则af(x)dx0；若f(x在[aa 上连续且为偶函数，则af(x)dx20f(x)dx

2sinnxdx 2cosnxdx，n nn为正偶数时，

n1n3 31314 n为大于1的正奇数时，

n1n3 4545六、无穷限的广义积1．函数在无穷区间[a,)上的反常积 f

f(x)dx这时也称反常积分 f(x)dx收敛；如果上述极限不存在，则函数f(x)在无穷区间[a,)上的反常积分 f(x)dx 没有意义，习惯上称为反常积分 f(x)dx发散，这时记号 f(x)dx就不再表示数值了无穷限广义积分的计算方 F

为在[a

上的一个原函数， limF

存在，则反常积a abb

f(x)dxF(x)f(x)dxF

F()F(a)limF(x)F(a)F(b)F()F(b)limF(x)；

f(x)dxF

F()F()limF(x)limF(x)．说明：F(F(有一个不存在时，反常

f(x)dx发散

七、求平面图形的面X型区X型区域是指：平面图形是由上下两条曲线y

f(xyg(x)（f(xg(x）及直线xax所围成，面积计算bAa[f(x)g(x)]dxY型区Y型区域是指：平面图形是由左右两条曲线xy)xy)（yy）及直线ycy所围成，面积计算dAc[(y)(y)]dy【例5-3】计算下列广义积分1． 解exdxex

lim(ex)(1)0101

11

2dx

dxarctan

limarctanxarctan1

解 1 解

【例5-8】求下列平面图形的面y2．求由抛物y

x，直线yxy1所围成的平面图形的面积1面 01

y)dyy．y．

lnx与直线y0x1xe所围平面图形的面积e解：因曲线y

lnx与直

xe

和xe的交点分别为 ,1)和(e,1)，故所围图形的面1e1 S1lnxdxe

lnxxlnx11x1dx111 0111e(e1)2 第六 微分方三、一阶线性微分方形如dyP(xyQ(x)

yP(x)y

的方程称为一阶线性微分方程．“线性”是指在方程中含有未函数y和它的导数y的项都是关于y、y的一次项，而Q(x)称为自由四、二阶常系数线性微分方当f(x0时，方

ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程2．二阶常系数齐次线性微分方程考查特征方程r2prq0，设rr为其两个特征根， r1r2为两个不相等的实根，则方程的通解yCer1xCer2x（CC为任意常数 r1r2为两个相等的实根，则方程的通yCC （CC为任意常数 （3）若r1ir2i为两个共轭复根，则方程的通解yex(CcosxCsinx)（CC为任意常数 其中

p， 4q4q【例6-2】求下列微分方程的通 2 (x1)2 x1解：由题意P(x)

x

，Q(x)(x1)2故原方程的通解 yeP(x)xQ(x)eP(x)xx 2dx

52 e

(x 1)2 x1dxC 2lnx1

2ln (x1)2 dxC (x1)2(x1)2dxC (x1)2

(x1)2Cx6-8】设可导函数(x满足(xcosx20(t)sintdtx1，求(x．解：令y(x)，因为函数(x可导，所以上式两边同时对x求导，得xycosxysinx1，即ytanxysecx此方程为一阶线性微分方程

P(x)tanxQ(x)secx，故方程的通解 yeP(x)xQ(x)eP(x)xx etanxdx

secxetanxdxdxC elncosxsecxelncosxdxCcosxsec2xdxCcosxtanxCsinxCcosx在原方程中

x0，得(01，代入上(x)sinxcosx

C1，故所求函数第七 向量代数与空间解析几【考试内容一、向量及其运（二）向量的运向量的数量积（点乘积向量ab的数量积记为ab

ab向量的向量积（叉乘积向量ab的向量积是一个向量ab，它的模和方向分别定义为（1）ab

b（2）ab同时垂直于ab，且abab成右手系ijkax1y1z1)bx2y2z2)，则abz1二、平面及其方1．点法式方设平面过点M0(x0y0z0)

n(A,

，则平面A(xx0)B(yy0)C(zz0)0一般式方AxByCzD

（ABC不同时为零截距式方xyz （abc均不为零 其中abc分别称为平面在xyz轴上的截两平面之间的关设有两个平面1和2，它们相应的方程2：A2xB2yC2zD2它们的法向量分别

A1

C

（若式中分母为零，则规定分子也为零），则两平面1与2平行

A1A2B1B2C1C20，则两平面1与2垂直两平面的夹角就是它们的法向量的夹角n1cos

0 2三、直线及其方点向式方设直线L过点M0(x0y0z0)

smnp)Lx y z 一般式方空间直线可以看成是两个平面的交线AxByCzD0 参数方设直线L过点M0(x0y0z0)smnp为其一方向向量，则直线L的参数方xx0yy0 ，t0zz0其中t称为参数两直线之间的关设有两条直线L1和L2，它们的方程分别

xx1m

yy1

zp

向向

xx2

yn

zp

向向

两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角（通常指锐角s1s1s1cos

0 2 ，

p两直线L1L2平行若s1s2

m1m2n1n2p1p20，则两直线L1L2垂直直线与平面的关设平面的方程AxByCzD0，法向量直线L的方程为

n(A,B,C)L：x

y

z，方向向

s(m,n,p)， 直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角，nnn

0

2若ns，即ABC，则直线L与平面垂直 若ns

AmBnCp0，则直线L与平面平行第八 多元函数微分【考试内容一、多元函数的概2．二元函数的几何意D是二元函z

f(xy的定义域，则空间点{(xyz)z

f(x,y),(xyD称为二元函数zf(xy的图形，一般情下，它在空间表示一张曲面三、二元函数的全微2．可微分的条偏导数连续函数可微偏导数连续函数可微五、二元函数隐函数的求导法二元方程确定一元函数的情设函F(xyP(x0y0的某一邻域内具有连续偏导数F(x0y0)0Fy(x0y0)0，则方F(x,y)0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确 续且具有连续导数的函数y

f(x)满足条件y0

f(x0)，并

．dy． 三元方程确定二元函数的情

F(xyz)在点P(x0y0z0

F(x0,y0,z0)0Fz(x0,y0,z0)0，则方程F(x,y,z)0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确 续且具有连续偏导数函数z

f(xy)，它满足条件z0

f(x0y0)，并

zzxz

，． ，．六、二元函数的极二元函数极值的相关设函数z

f(xy的定义域为DP0(x0y0D的内点．若存在P0的某个邻域U(P0D，使得对于该邻内异于P0的任何点(xy)，都f(x,y)

f(x0,y0)则称函数f(xy在点(x0y0有极大值f(x0y0的任何点(x,y)，都有

(x0y0称为函数f(xy的极大值于该邻f(x,y)f(x0,y0)则称函数f(xy在点(x0y0有极小值f(x0y0，点(x0y0称为函数f(xy的二元函数取得极值的必要条设函数zf(xy在点(x0y0具有偏导数，且在点(x0y0处具有极值，则fx(x0,y0)0 fy(x0,y0)0说明：使fx(xy0，fy(xy0同时成立的点(x0y0称为函数z

f(xy的驻点．由上述必要条件有偏导数的函数的极值点必定是驻点二元函数取得极值的充分条设函数z

f(xy在点(x0y0)

fx(x0,y0)0fy(x0y00，令fxx(x0y0A(x0y0处是否取得极值的条件如下

fxy(x0,y0)B

fyy(x0,y0)

，则f(xy)在点（1）ACB20时具有极值，且当A0时有极大值，当A0时有极小值（2）ACB20时没有极ACB20时可能有极值，也可能没有极值（即无法确定利用此条件，具有二阶连续偏导数的函数z

f(xy的极值求解步骤如下解方程

fx(xy)0，fy(xy0，求得一切实数解，即求得所有的驻点对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值ABC定

ACB2的符号，按照上述结论判定f(x

)是不是极 说明：讨论函数的极值时，如果函数在所讨论的区域内具有偏导数，则由函数取得极值的必要条件可知，极值只可能在驻点处取得．然而，如x2y2数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点．例如函数x2y2

在点(x

)处的偏导数不 在，但该函数在点(0,0)处却有极大值．因此，在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑．【典型例题【例8-3】求下列函数的所有二阶偏导1．zln(exey)y解y

z ex

，z ey x exx

ex

ex

exey2

exexeyex

ex故故

xexey

y 2， 2，

e ee2 2

exey

exxyyxyexey

y2

y

e

e2

eyexeyeyey

2ex2

yexey

y ，2．z ，

e

e解

zexey

exey ，，

exey

xexey故2故

exey exeyyey

xey22

2

exeyyexeyy(xey1)(xey1)exeyy2

xexey xexeyy(xey1)x(xey1)exey ． ．【例8-4】求下列函数的全微分x1．zxy xy解

zy1，zxx

故dz dy(y )dx(x

)dy 2．zsin(x2y)解

z2xcos(x2y)，

cos(x2y)， 故dzxdxydy2xcos(xy)dx

y)dy8-5】设zeusinvuxyvxyzz 解z

uzveusinvyeucosv1eu(ysinvcos u vexy[ysin(xy)cos(xz

uzveusinvxeucosv1eu(xsinvcos u vexy[xsin(xy)cos(x8-6】设zarcsin(xyx3ty4t2dz z z 1(x解 31(x x3

y

1(x31(x1(x1(3t4t28-7】求下列函数的偏导数（其中f具有二阶连续偏导数1．zf(xy2,x2y)解：令uxy2vx2y，则zf(uv)．为了表达简便，引入以下符号f(u,v)

(u,v)，f(u,v)f(u,v)，

(u,v) (u,v) f(u,v) (u,v)，f(u,v) (u,v)，f(u,v)

(u,v) 这里下标1表示对第一个变量u求偏导数，下标2表示对第一个v求偏导数．zfu

v

fy2f2xyy2f2xyf u

v

f f

yuyvy

f12xyf2

2xyf1xf22．wf(x2y3z,xyz)解：类似上例，根据复合函数的求导法则，w

f

fyz

fyzf w

f2

fxz2fxzf w

f3

fxy3fxyf 【例8-8】求下列方程所确定的函数的导数或方

sinyexxy20确定了函

yy(x，求dy解：设F(xy)sinyexxy2

ex

exy2 x cosy 2xycos方程

arctanx2x2

确定了函

y(x)， 解：设F(xy

arctany1ln(x2y2)arctanyx2 x2

x则

2(x2y2 1

)

x2y22

yF 2(x2y2 1

xx2y2

xyx2y2

．x．

yx

x方

x2yz

x2

确定了函

zz(x,y)， 1xyzxyzyz xyz解：设F(x,y,z1xyzxyzyz xyz则z则

1 2z2

1 方

exey

xyz xyzxyzxz xyz

zz(xy，求zz 解：设F(x,yzexeyez3xyz ex 3yz x z ez ezz．zFyey3xz3xzey．z ez ezz8-9】求函数f(xyx3y33x23y29x的极值解：先解方

yy

(x,y)3x26x90(x,y)3y26y0，求得驻点(10)(12)、(30)、(32)求出二阶偏，fxx(x,y)6x6，fxy(x,y)0，fyy(x,y)6y6在点(10)处ACB21260，又A0，故函(10)处有极小值f(105；在点(12)处ACB21260，所以f(12)不是极值；在点(30)处ACB21260，所以f(30不是极值在点(32)ACB21260A0，所以函数在(32)处有极大值f(328-10】求函数f(xy)y3x26x12y5fx(x,y)2x6fy，解：先解方程组fy，

(x,y)3y212求得驻点(3,2)、(3,2)．再求出二阶偏导fxx(xy)2，fxy(xy)0，fyy(xy)6y．在点(32)处，ACB2240，所以f(32不是极值；在点(32处ACB2240，又A20，所以函数在(32处有极大值f(32第九 二重积【考试内容一、二重积分的相关二重积分的几何意一般地，如果f(xy0，被积函数f(xy可解释为曲顶柱体的顶在点(xy处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是

f(x,y)是负的，柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负f(x,y)在D的若 分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，那么f(x,y)在D上的二重积分就等于xOy面上方的柱体体积减去xOy面下方的柱体体积所得之差．二重积分的设为常数，[f(x,y)g(x,

f(x,y)dg(x,y)d 如果闭区域DDD分为两个闭区域1和2，则f(x,y)df(x,y)df(x,y)d （3）如果在D上，f(xy1D的面积，1dd （4）如果在D上，f(xy(xy，则f(x,y)d(x,y)d 特殊地，由于

f(x,y)

f(x,y)

f(xy)，故又f(x,D

D

f(x,y)d（5）设M、m分别是f(x

在闭区域D上的最大值和最小值，是D的面积，则有mD

f(x,

M（6）（二重积分的中值定理）设函数f(x,y在闭区域D上连续D的面积D上至少存在一点(,，使f(x,y)dD

f(,)