新教材高中数学第三章函数的概念与性质2.2奇偶性课件新人教A版必修第一册

1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会利用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.3.2.2奇偶性1|奇函数、偶函数的定义

偶函数奇函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且①

f(-x)=f(x)

,那么函数f(x)就叫做偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且②

f(-x)=-f(x)

,那么函数f(x)就叫做奇函数定义域特征关于原点对称

1.如果一个函数是奇函数,那么这个函数的图象关于③

原点

对称;反之,如果

一个函数的图象关于④

原点

对称,那么这个函数是奇函数.2.如果一个函数是偶函数,那么它的图象关于⑤

y轴

对称;反之,如果一个函数

的图象关于⑥

y轴

对称,那么这个函数是偶函数.2|奇函数、偶函数的图象特征1.已知f(x)是定义在R上的函数.若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数.

(

✕)2.对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.

(

✕)提示:对定义域内任意x,都有f(-x)=-f(x),函数y=f(x)才是奇函数.3.奇函数的图象一定过原点.

(

✕)4.函数f(x)=|x|,x∈[-1,1)是偶函数.

(

✕)提示:函数f(x)=|x|的定义域[-1,1)不关于原点对称,所以函数f(x)不具有奇偶性.5.f

(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.(√)提示:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),即2f(0)=0,所以f(0)=0.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.6.存在既是奇函数又是偶函数的函数,且不止一个.(

√

)提示:存在f(x)=0,x∈D(定义域D关于原点对称),f(x)既是奇函数,又是偶函数,由于

D有无数个,因此这样的函数也有无数个.7.若f(x)为奇函数且在区间[a,b](0<a<b)上单调递增,则f(x)在[-b,-a]上单调递增,即

奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致.

(√)1|如何判断函数的奇偶性1.判断函数奇偶性的常见方法(1)定义法:

(2)图象法:2.分段函数奇偶性的判断判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上任取自变量,再向对称区间

转化,若函数在x=0处有定义,还要验证f(0),即判断分段函数的奇偶性时,必须判定

每一段上函数是否都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征,也可以作出函数图象,结合

对称性判断.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=

;(2)f(x)=|x-2|+|x+2|;(3)f(x)=

思路点拨先求函数的定义域,必要时化简函数解析式,再计算f(-x)并判断f(-x)与f(x)的关系,

从而得出结论.解析

(1)由1-x2≥0,得-1≤x≤1,又|x+2|-2≠0,∴x≠0,且x≠-4,因此函数f(x)的定义域D={x|-1≤x≤1,且x≠0},∴函数f(x)的定义域关于原点对称,且x+2>0,∴f(x)=

=

,于是任取x∈D,都有f(-x)=

=-

=-f(x),∴f(x)为奇函数.(2)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为实数集R,关于原点对称.∵f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x),∴f(x)为偶函数.(3)函数的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,当x>0时,-x<0,则f(-x)=-

=

=f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)=

=-

=f(x).综上,可知函数f(x)为偶函数.2|函数奇偶性的应用1.由函数的奇偶性求参数(1)函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性

时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.(2)若函数解析式中含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),利用待定系数法求参数;

若定义域中含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求参数.2.由函数的奇偶性求函数值由函数的奇偶性求函数值时,若函数具有奇偶性,则利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求

解;若所给的函数不具有奇偶性,一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶

函数,然后利用其奇偶性求值.3.由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤(1)在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间.(2)把x对称转化到已知区间上,利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x).(1)若函数f(x)=

为奇函数,则a=

(

)A.

B.

C.

D.1(2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8且f(-2)=10,那么f(2)=

.思路点拨(1)利用奇函数的定义域关于原点对称即可求出a的值;(2)构造函数g(x)=f(x)+8,易得g(x)为奇函数,由f(-2)=10依次求出g(-2),g(2),f(2)的

值.解析

(1)由f(x)=

知,(2x+1)(x-a)≠0,即x≠-

且x≠a,∴f(x)的定义域为

.又f(x)为奇函数,其定义域关于原点对称,∴a=

,故选A.(2)f(x)=x5+ax3+bx-8,令g(x)=f(x)+8,则g(x)=x5+ax3+bx,易得g(x)为奇函数.∵f(-2)=10,∴g(-2)=10+8=18,∴g(2)=-g(-2)=-18,∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.函数f(x)在R上为奇函数,当x>0时,f(x)=

+1,求f(x)的解析式.思路点拨设x<0,则-x>0,结合f(-x)=-f(x),f(0)=0求f(x)的解析式.解析

设x<0,则-x>0,∴f(-x)=

+1,∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),即-f(x)=

+1,∴f(x)=-

-1,∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,∴f(x)=

3|函数奇偶性与单调性的综合应用1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间

上的单调性相反.2.区间[a,b]和[-b,-a]关于原点对称.(1)若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M;(2)若f(x)为偶函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最大值M.3.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小,关键是利用奇偶性把自变量转

化到函数的一个单调区间内,然后利用单调性比较.4.解决不等式问题时一定要充分利用已知条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根据函数的单调性列出不等式(组),要注意函数定义域对参数

的影响.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则当n∈N*时,有(

B)A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1)B.f(n+1)<f(-n)<f(n-1)C.f(n-1)<f(-n)<f(n+1)D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)思路点拨根据已知条件判断函数的单调性,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判

断即可.解析

∵对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,∴若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)>0,即若x2>x1,则f(x2)>f(x1),若x2-x1<0,则f(x2)-f(x1)<0,即若x2<x1,则f(x2)<f(x1),∴f(x)在(-∞,0]上为增函数.∵f(x)在R上是偶函数,∴f(x)在[0,+∞)上为减函数,f(-n)=f(n).∵n∈N*,∴n+1>n>n-1≥0,∴f(n+1)<f(n)<f(n-1),即f(n+1)<f(-n)<f(n-1),故选B.(1)定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围;(2)定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的

取值范围.思路点拨(1)由奇函数f(x)在[0,2]上单调递减,可得f(x)在[-2,2]上单调递减,列满足条件的关

系式求解即可;(2)两个自变量1-m,m不一定属于同一单调区间,根据偶函数的性质f(|x|)=f(x)结合

单调性列满足条件的关系式求解即可.解析

(1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减,所以f(x)在[-2,2]上单调递减,所以f(1-m)<f(m)等价于

解得-1≤m<

.所以实数m的取值范围为

.(2)因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(|x|),所以f