专题二：变力做功的几种解题方法

专题二：变力做功的几种解题方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题进行归纳总结如下：1、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W二FScosa计算，从而使问题变得简单。例1、如图1,定滑轮至滑块的高度为h,已知细绳的拉力为F（恒定），滑块沿水平面由A点前进S至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为a和0。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。由图1可知，在绳与水分析与解：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W二FScosa直接计算。平面的夹角由a变到0的过程中，拉力由图1可知，在绳与水hhAS=S—S= —1 2sinahhAS=S—S= —1 2sinasinB=W=F.AS=Fh(F1sina2、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时,若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。例2、如图2所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：1-sin卩)A、0JB、20nJC、10JD、20J.分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故厶W=F△S,则转一周中各个小元段做功的代数和为W=FX2nR=10X2nJ=20nJ=62.8J,故B正确。3、平均力法如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式W=Fscos0求功。例3、一辆汽车质量为105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f，f是车所受的阻力。当车前进100m时，牵00引力做的功是多少？

分析与解：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f，是线性关系，故前进100m过0程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力F所做的功。由题意可知f=0.05X105X10N=5X104N,0所以前进100m过程中的平均牵引力：F=N=1X105N5X10所以前进100m过程中的平均牵引力：F=N=1X105N2・•・W=歹S=1X105X100J=1X107〕。4、用动能定理求变力做功在某些问题中，由于力F大小或方向的变化，导致无法直接由W=Fscos0求变力F做功的值.此时，我们可由其做功的结果——动能的变化来求变力F的功：W=AEk.例4、如图3所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长L=3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。图3分析与解：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，重力做功W=mgR，水平面上摩擦力做功W=-pmgL，由图3G f1于物体在AB段受的阻力是变力,做的功不能直接求。根据动能定理可知：W=0，夕卜所以mgR-umgL-W=0 即W二mgR-umgL=6(J)AB AB5、用机械能守恒定律求变力做功如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。图4例5、如图4所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以V=5m/s的初速度滑下，在D簧接触并0图4将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。分析与解：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能图6增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，则状态A：E=mgh+mV2/2图6A 0对状态B：E=—W+0由机械能守恒定律得：B 弹簧W=—(mgh+mv2/2)=—125(J)。弹簧 06、用功能原理求变力做功能是物体做功的本领，功是能量转化的量度.由此，对于大小、方向都随时变化的变力F所做的功，可以通过对物理过程的分析，从能量转化多少的角度来求解.例6、两个底面积都是S的圆筒，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为h1和钙，如图5所示，已知水的密度为p。现把连接两桶的阀门打开，最后两桶水面咼度相等，则这过程中重力所做的功等于 .

分析与解：由于水是不可压缩的，把连接两桶的阀门打开到两桶水面高度相等的过程中，利用等效法把左管高仝二4以上部分的水等效地移至右管，如图6中的斜线所示。最2后用功能关系，重力所做的功等于重力势能的减少量，选用AB所在的平面为零重力势能平面，则画斜线部分从左管移之右管所减少的重力势能为：h一h h一hh一h h一h1E一E=(r 门pgS(t 门+(t 门pgS(r 门=pgS(h一h)2pip2 2 4 2 4 4 12所以重力做的功WG=1pgS（h-h）2.G4127、图象法如果参与做功的变力，方向与位移方向始终一致而大小随时变化，我们可作出该力随位移变化的图象•如图7,那么图线下方所围成的面积，即为变力做的功.图7例7、用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm.问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）图7解题方法与技巧：解法一：（平均力法）铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=-f=kx，可用平均阻力来代替.W]=f兀产1kx]2.11W]=f兀产1kx]2.11212第二次击入深度为X1到x2,平均阻力r=1k（x2+x1），位移x2-x1x2-x1，做功为W2=f(x2-x1)=2k（x22-x12）.两次做功相等:2W]=W2.解后有：x2=2x1=1.41cm, △x=x2-x1=0.41cm.解法二：（图象法因为阻力F=kx，以F为纵坐标,F方向上的位移x为横坐标,作出F-x图象（图9）.曲线上面积的值等于F对铁钉做的功.由于两次做功相等，故有：S]=S2（面积），即：1kx12=1k（x2+x1）（x2-x1），所以△x=x2-x1=0.41cm22练习题1、一物体静止在升降机的地板上，在升降机加速上升的过程中，地板对物体的支持力所做的功等于（BDA.物体势能的增加量 B.物体动能的增加量加上物体势能的增加量C.物体动能的增加量 D.物体动能的增加量加上克服重力所做的功2、 一人坐在雪橇上，从静止开始沿着高度为15m的斜坡下滑，到达底部时速度为10m/s。人和雪橇的总质量为60kg求人下滑过程中克服阻力做功等于多少”（取g=10m/s2）3、 一根粗细均匀的木棒竖直插入水中，若将木棒等分成n段，且第一段进入的过程中，

浮力做功W,求第n段和全部浸入的过程中，浮力分别做多少功？4、用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d深度，如果第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么第二次钉子进入木板的深度是多少?5、 如图10所示，若在湖水里固定一细长圆管，管内有一活塞，它的下端位于水面上，活塞的底面积S=1cm2,质量不计.大气压强p0=l.OXlO5Pa.现把活塞缓慢地提高H=15m，则拉力对活塞做的功为 J.(g=10m/s2)(100J)6、 一辆汽车在平直公路上从速度v0开始加速行驶，经时间t后，前进了距离s,此时恰好达到其最大速度vmax，设此过程中发动机始终以额定功^QdX率P工作，汽车所受阻力恒为F,则在这段时间里，发动机所做的功为(BC)A.FsBPC-2mV2max+Fs-2mV02 D・F•"山叮"。•t222max图107、挂在竖直墙上的画长1.8m,画面质量为100g,下面画轴质量为200g,今将它沿墙缓慢卷起，g=10m/s2.需做 J的功.(4.5J)8、用大小不变、方向始终与物体运动方向一致的力F，将质量为m的小物体沿半径为R的固定圆弧轨道从A点推到B点，圆弧応对应的圆心角为60°，如图11所示，则在此过程，力F对物体做的功为 .若将推力改为水平恒力F，则此过程力F对物体做的功为 .仏F,竺FR3 2图119、 (2001年全国高考，22题)一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的•在井中固定插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底•在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动•开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图12所示.现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动.已知管筒半径^= 0.100m，井的半径R=2r，水的密度p=1.00X103kg/m3，大气压p0=1.00X105Pa.求活塞上升H=9.00m的过程中拉力F所做的功.(井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长.不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g取10m/s2) (1.65X104J)10、 一辆车通过一