专题04 圆锥曲线与外心问题（解析版）

PAGE1专题4、圆锥曲线与外心问题：从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．三角形的外心：三角形三条垂直平分线的交点知识储备：(1)、O是的外心(或)；(2)、若点O是的外心，则=0.(3)、若O是的外心，则;(4)、多心组合：的外心、重心、垂心共线，即∥经典例题例1．已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（）A． B．3 C． D．5【答案】C【分析】由题意得：直线垂直平分，设点，，则，可得方程组：，求得，将代入双曲线方程得，化简可得：.【详解】不妨设点在第二象限，设，，由为的中点，、、三点共线知直线垂直平分，则，故有，且，解得，，将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即，当点在第三象限时，同理可得.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，运用平面几何的知识分析出直线垂直平分，并用表示出点的坐标是解决此题的难点，属于中档题.例2．设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】先由可确定、、三点共线,则根据外心的性质可得,再由点为焦点的中点,根据中位线性质可得,则,进而在中利用勾股定理求解.【详解】由题,因为,所以、、三点共线,因为点为线段的中点,的外心为,所以,即,设双曲线的左焦点为,则点为线段的中点,则在中,,即,所以是直角三角形,所以,因为,由双曲线定义可得,所以,则,因为,整理可得,所以,则,故选:D【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的定义的应用.例3．（2020·四川高三月考）已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为（）A．4 B． C． D．【答案】A【解析】由于外心在的垂直平分线上,故外心在轴上,而方向朝着轴的负半轴,故点位于椭圆的上顶点,此时三角形面积为.所以,故选.【点睛】本小题主要考查椭圆的基本性质,考查与焦点三角形有关的概念,考查三角形外心的几何性质,考查向量运算的几何意义.本题的突破口在如何确定点的位置.首先根据点是的外心,外心是三角形各边垂直平分线的交点,再结合向量运算的几何意义可以判断出点恰好就是椭圆上顶点.例4．已知椭圆和双曲线其中若两者图像在第二象限的交点为A，椭圆的左右焦点分别为B、C，T为△ABC的外心，则的值为_____.【答案】16.【分析】由已知可得两曲线焦点相同，设，利用椭圆和双曲线的定义求出，用利用两点间的距离公式求出点的横坐标，因为为中点，△ABC的外心在轴上，将，代入所求式，即可求解.【详解】已知椭圆和双曲线焦距相等所以焦点相同，设，为两曲线在第二象限的交点，，，，设，，，，因为为中点，△ABC的外心在轴上，，【点睛】本题考查求椭圆与双曲线交点的坐标，考查向量数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.例5．已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为__________.【答案】【分析】取的中点为C，连接BC、、，由垂直向量的数量积关系推出，再利用双曲线的定义求出即可推出为等边三角形，求出BC，在中利用勾股定理列出关于a、c的齐次式即可求解离心率.【详解】取的中点为C，连接BC、、，如图所示：因为，所以，又C为的中点，所以为等腰三角形且，因为点恰好为的外心，所以点在直线BC上，且，由双曲线的定义知，则，所以为等边三角形，则，在中，即，化简得，同时除以可得，解得或(舍去).故答案为：【点睛】本题考查双曲线的定义及简单几何性质、等边三角形的性质、双曲线离心率的求法，涉及垂直向量的数量积关系、平行四边形法则，属于中档题例6．（2020.广东省高三期末）已知椭圆的下顶点为，若直线与椭圆交于不同的两点、，则当_____时，外心的横坐标最大．【答案】【分析】由已知可得、的坐标，求得的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得的垂直平分线方程，两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标，再由导数求最值．【详解】如图，由已知条件可知，不妨设，则外心在的垂直平分线上，即在直线，也就是在直线上，联立，得或，的中点坐标为，则的垂直平分线方程为，把代入上式，得，令，则，由，得（舍）或．当时，，当时，.当时，函数取极大值，亦为最大值．故答案为：.【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中等题．例7．（2019年成都七中半期16题）,分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，满足，若的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为_______.【答案】【解析】∵，∴，即为直角三角形，∴，，则，.所以内切圆半径，外接圆半径，由题意，得，整理得，∴双曲线的离心率.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查向量数量积为零的意义，考查双曲线离心率的求法，考查方程的思想，考查运算求解能力，属于中档题.例8．（2018全国高中数学联赛（湖北预赛））已知点在离心率为的双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的内切圆半径与外接圆半径之比为____.【答案】【解析】由，知.设，又，则可得，，①.②设，则，即有.③由①②③可得，所以，解得.故的内切圆半径与外接圆半径之比为例9.（2020年河南省质量检测（二）改编）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l交椭圆C于两点，过A作x轴的垂线交椭圆C与另一点Q（Q不与重合）.设的外心为G，则的值为.【答案】4【解析】由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，代入椭圆方程得.设，则，所以的中点坐标为，所以.因为G是的外心，所以G是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，的垂直平分线方程为，令，得，即，所以，所以，所以值为4.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于难题.例10（2020年湖北省宜昌市高三调研12题）设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由题,因为,所以、、三点共线,因为点为线段的中点,的外心为,所以,即,设双曲线的左焦点为,则点为线段的中点,则在中,,即,所以是直角三角形,所以,因为,由双曲线定义可得,所以,则,因为,整理可得,所以,则,故选:D【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的定义的应用.例11.（2019年衡水中学联考12题）已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（）A． B．3 C． D．5【答案】C【解析】不妨设点在第二象限，设，，由为的中点，、、三点共线知直线垂直平分，则，故有，且，解得，，将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即，当点在第三象限时，同理可得.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，运用平面几何的知识分析出直线垂直平分，并用表示出点的坐标是解决此题的难点，属于中档题.例12.（2019云南省曲靖市二模16题）已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，若的外心为为坐标原点）,则当最大时，=____.【答案】.【解析】由题意知,为外接圆的半径，在中,由正弦定理可知,(R为外接圆的半径),当,即时,取得最大值2.设,,易知,,则,得,即.设直线的方程为,即,代入得,,则,,所以,解得.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理，直线与抛物线的关系，弦长公式，属于中档题.玩转练习1．（2020·四川棠湖中学高三（理））已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为__________．【答案】4【分析】根据向量的共线定理，即可求得则P，G，O三点共线，则P位于上顶点，则bc=8，根据基本不等式的性质，即可求得a的最小值．【详解】由G是△PF1F2的外心，则G在y轴的正半轴上，，则，则P，G，O三点共线，即P位于上顶点，则△PF1F2的面积S=×b×2c=bc=8，由a2=b2+c2≥2bc=16，则a≥4，当且仅当b=c=2时取等号，∴a的最小值为4，故答案为4．【点睛】(1)本题主要考查平面向量的共线定理和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析出，得到P，G，O三点共线，即P位于上顶点.2．已知点，B、C在轴上，且，则外心的轨迹的方程；【答案】【解析】设外心为,且，B，C由G点在BC的垂直平分线上知由|GA|2=|GB|2，得故即点G的轨迹S为：3．在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为，设经过点的直线交椭圆于，两点，点.设点为椭圆的左焦点，若点为的外心，则实数的值.【答案】.【分析】由，.所以，解得,即可求出m值.【详解】设直线的方程为，代入椭圆的方程，消去，得.因为直线交椭圆于两点，所以，解得.设，，则有，.设中点为，则有，.当时，因为，所以，即.解得.当时，可得，符合.因此.由，解得.②因为点为的外心，且，所以.由消去，得，所以，也是此方程的两个根.所以，.又因为，，所以，解得.所以.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4．设点M、N分别是不等边△ABC的重心与外心，已知、，且.则动点C的轨迹E；【答案】【分析】设点，由重心坐标和外心坐标，结合圆的几何性质以及列方程，化简后求得轨迹的方程.【详解】设点，则△ABC的重心，∵△ABC是不等边三角形，∴再设△ABC的外心.∵已知，∴MN∥AB，∴.∵点N是△ABC的外心，∴，即化简整理得轨迹的方程是∴动点C的轨迹E是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）.【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和曲线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.5．（2019·广西高三期末（理））在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点．若D为直线外一点，且的外心M在C上，则M的坐标为．【答案】或.【分析】三角形的外心为中垂线的交点，利用中点坐标公式得线段AB中点N的坐标，得到线段的中垂线方程，将中垂线方程与抛物线方程联立即可得到外心M.【详解】（1）联立得，设A(则，.设线段的中点为，，.则线段的中垂线方程为，即.联立得，解得或4.从而的外心的坐标为或.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，将直线方程与抛物线方程联立，其中韦达定理是解题的关键，同时考查向量知识和三角形外心的应用.6．如图，椭圆，抛物线，设相交于A、B两点，O为坐标原点.若△ABO的外心在椭圆上，则实数p的值；【答案】；【详解】由抛物线、椭圆和圆的对称性可知，△AB的外心为椭圆的上顶点M(0，1).则有MA=MB=MO=1.设，则有，解得.7．（2020·福建高三月考（理））设椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点.设过点作轴的垂线交于另一点，若是的外心，则的值为.【答案】4【分析】求得的中点坐标为，利用弦长公式求出，根据题意可得的垂直平分线方程，求出点的坐标，进而求出，进而可求解.【详解】由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，代入得，设，则，则的中点坐标为所以因为是的外心，所以是线段的垂直平分线与的垂直平分线的交点，的垂直平分线为；令，得，即，所以，.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.8．在平面直角坐标系中，已知圆：，点，，点在圆：上，直线与圆交于，两点（点在轴上方），点是抛物线上的动点，点为的外心，则线段长度的最大值为，当线段长度最大时，则外接圆的标准方程为.【答案】的最大值为；【分析】由得到、的坐标，表示出线段的中垂线，令，得到的外心的坐标，由在抛物线上得，从而得到，再由基本不等式，得到其最大值，确定出点坐标，再求出外接圆的半径，得到所求圆的方程.【详解】把代入圆的方程得，所以，，作出线段的中垂线，则的外心为直线与轴的交点.直线的方程为：.当时，.因为点在抛物线上，所以所以.由得，所以，.当且仅当时，即时取到最大值.此时点坐标为，所以外接圆的半径，所以外接圆的标准方程为.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，求三角形外接圆的方程，利用基本不等式求最值，属于中档题.9．为双曲线上一点，分别为的左、右焦点，，若外接圆半径与其内切圆半径之比为，则的离心率为（）A． B．2 C．或 D．2或3【答案】D【解析】不妨设为右支上的点，则，设双曲线的半焦距为，则，，又外接圆半径为.内切圆的半径为，因为外接圆半径与其内切圆半径之比为，故，故，所以或，即或.故选：D.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．10．（2018上海市高三模拟）已知椭圆和双曲线其中若两者图像在第二象限的交点为A，椭圆的左右焦点分别为B、C，T为△ABC的外心，则的值为_____.【答案】16.【解析】已知椭圆和双曲线焦距相等所以焦点相同，设，为两曲线在第二象限的交点，，，，设，，，，因为为中点，△ABC的外心在轴上，，【点睛】本题考查求椭圆与双曲线交点的坐标，考查向量数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.11.为双曲线右支上的一点，分别为左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，则双曲线的离心率为（）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】，点的坐标为,则的外接圆半径其内切圆半径的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，,即化简可得即解得故选【点睛】本题主要考查了计算双曲线的离心率，结合题意先计算出外接圆和内切圆的半径，然后结合数量关系求出结果，属于中档题.12．（2018年四川省棠湖中学三诊16题）已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为__________．【答案】4【解析】由G是△PF1F2的外心，则G在y轴的正半轴上，，则，则P，G，O三点共线，即P位于上顶点，则△PF1F2的面积S=×b×2c=bc=8，由a2=b2+c2≥2bc=16，则a≥4，当且仅当b=c=2时取等号，∴a的最小值为4，故答案为4．【点睛】(1)本题主要考查平面向量的共线定理和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析出，得到P，G，O三点共线，即P位于上顶点.13．F1，F2分别为双曲线（a，b>0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足0，若△PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为_____.【答案】【解析】，．的外接圆半径为，的内切圆的半径为．设的内切圆的圆心为，过作轴的垂线，连接，，则，设，，则，①不妨设在第一象限，由双曲线的定义可知，②由①②可得，，，且，分别是，的角平分线，，又，，，化简可得，故，．故答案为：．【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题14.数学家欧拉